Existe-t-il une fonction continue {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} s’annulant un nombre fini de fois sur chaque droite verticale et un nombre infini de fois sur toute autre droite ?

Soit {\mathcal P} l’ensemble des projecteurs orthogonaux de {\mathbb{R}^n} de rang {r}, et {p\in\mathcal P}.

Déterminer l’ensemble des vecteurs tangents à {\mathcal P} en {p}.

Soit {f(x,y)=\int_0^1|(x-t)(y-t)|\,dt} pour {(x,y)\in\mathbb{R}^2}. En quels points {f} est-elle de classe {\mathcal C^1} ?

Déterminer les extrema de {f(x,y)=3x^2+2xy+2y^2-x^4} sur le disque unité fermé et leurs points d’atteinte.

Soit {\Omega\in C^2(\mathbb{R}^d,\mathbb{R})}, avec {\nabla\Omega(0)=0}. On suppose que l’image de chaque hessienne {D_a^2\Omega} est un même sous-espace {F} de dimension {p}.

Montrer qu’un changement de coordonnées fait dépendre {\Omega} des seules {p} premières coordonnées.