Trouver {\ell} tel que {x_n=\ell+O(1/n)}.

Exprimer {u_n} à l’aide de {v_n,w_n}.

Montrer {H_n=\log n+\gamma+o(1)}, puis calculer {\lim u_n} en fonction de {\gamma}.

Discuter la convergence de {\sum\limits u_n}.

Étudier {\sum\limits u_n}.

Montrer que l’intégrale {\int_0^\infty f(e^{-t})\,dt} et les séries de termes {f(e^{-n})}, {nf(e^{-n^2})} et {n^{-1}f(1/n)} sont de même nature.

Montrer que {\sum\limits v_n} converge et en déduire l’existence de {C>0} tel que {n!\sim C\sqrt n\,n^ne^{-n}}.

Justifier {R_n=\sum\limits_{k=n}^{\infty}(-1)^k/\sqrt k} et étudier {\sum\limits R_n}.

Montrer que {\sum\limits u_n} et {\sum\limits v_n} sont de même nature et, lorsqu’elles convergent, ont même somme.

Montrer son existence et son unicité.

Déterminer le domaine réel de {F(x)=\sum\limits_{n\geq1}\lambda(n)x^n/(1-x^n)}.

Poser {\sigma(m)=\sum\limits_{d\mid m}\lambda(d)} ; exprimer {F} avec {\sigma} et calculer {\sigma(m)}.

En déduire la limite de {(1-t)\sum\limits_{n\geq1}t^n/(1+t^n)} lorsque {t\to1^-}.

Montrer que c’est une norme d’algèbre.

Étudier {\sum\limits A^k} si {\lVert A\rVert\lt 1} ; cette condition est-elle nécessaire ?

Étudier {(I+A/k)^k}.

Dans ce cas calculer {\sum\limits_{n\ge0}n(u_{n+1}-u_n)}, puis {\sum\limits u_n}.

Étudier {\sum\limits u_n}, montrer {u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)(\cos\log t+\sin\log t)/t^2dt}, puis étudier {\sum\limits v_n}.

Donner un exemple divergent qui enveloppe {a}, un exemple convergent qui enveloppe un réel positif, et un convergent qui n’enveloppe aucun réel positif.

Montrer qu’une série enveloppant strictement un réel est alternée.

2) Si {\sum\limits x_ny_n} converge pour toute suite complexe {x_n\to0}, montrer {\sum\limits|y_n|\lt \infty}.

(ii) {f(x)/x} est bornée au voisinage de {0^+}.

En déduire {\sum_{n\ge1}\frac1{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n} \le\sum_{k\ge1}u_k.}

Construire {f} avec {E_f} vide.

Montrer que sinon {E_f} est un intervalle non majoré, minoré par {2}.

Pour {\beta>2}, construire {E_f=]\beta,\infty[}.

Montrer {\log f(x)=\log2+(x-1)x^{-1}\sum\limits_{n\ge1}x^n\log(1+x^n)} pour {x>0}, puis {\log f(x)=\log2+\sum\limits_{m\ge1}(-1)^mx^m/(m(1+x+\cdots+x^m))}.

Calculer la limite en {1^-}.

Déterminer de trois façons la nature de {\sum\limits I_n}.

Quelle est la nature de la série {\sum\limits_{n\ge0}(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n} ?

Étudier la nature de {\sum\limits_nu_n}.

2) À quelle condition la suite {v_n=\prod\limits_{k=1}^nf(k)} converge-t-elle ?

2) Montrer que {\sum\limits_nu_n} est semi-convergente.

Construire à partir de {R_n} une suite {v_n>0} croissante tendant vers {+\infty} telle que {\sum\limits_nu_nv_n} converge.

Montrer que {\sum\limits_nu_n} converge.

Étudier la convergence de {\sum\limits_n(1-x_n)}.

Montrer que {\sum\limits_nv_n} converge et calculer sa somme.

2) En déduire la nature de {\sum\limits_nu_n}.

Poser {w_n=\sqrt n\,u_n}.

Montrer que {Tw\to0} si et seulement si {w\to0}.

Montrer que {s-Ts=Tv}.

2) Montrer que {S_n\ge\sqrt n} pour tout {n}.

3) Montrer que {\lim u_n>0}. Conclusion ?

Montrer que {\sum\limits_kf(k)} converge et donner un équivalent de {\sum\limits_{k=n}^\infty f(k)}.

Montrer que {\sum\limits_nu_n/n} converge si et seulement si {\sum\limits_n(u_n-u_{n+1})\log n} converge.

Déterminer les valeurs de {\alpha} pour lesquelles {\sum\limits_na_n} converge.

Montrer que {\sum_{n=0}^\infty\frac1{x(x+1)\cdots(x+n)} =e\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!(x+n)}.}

Montrer que {u_n\mid u_N} pour {0\le n\le N}.

Montrer que {\int_1^\infty f(t)/t\,dt} converge.

2) Montrer pour {0\lt x\lt 1} que {\log f(x)=((x-1)/x)\sum\limits_{n=1}^\infty x^n\log(1+x^n)+\log2}.

3) En déduire {\log f(x)=\log2+ \sum\limits_{m=1}^\infty(-1)^mx^m/(m(1+x+\cdots+x^m))}.

4) Déterminer sa limite en {1}.

2) Montrer que {\sum\limits_nu_n} converge et calculer sa somme.

3) Donner un équivalent de {u_n}.

2) Exprimer sa somme sous forme intégrale.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}\mathbb{P}(X\ge n)} converge et donner sa somme.

Déterminer la nature de {\sum\limits u_n}.

Étudier la série {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^n\sin(\arctan(n^\alpha))/n}.

Démontrer la convergence et calculer {\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n-1} \sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}.}

Montrer que, si {\sum\limits v_n} converge, alors {\sum\limits u_n} diverge.

Préciser cette nature.

Étudier {\sum\limits u_n} dans les cas : i) {n(u_{n+1}-u_n)\to1} ; ii) {n^2(u_{n+1}-u_n)\to1} ;

iii) {n^p(u_{n+1}-u_n)\to1}, avec {p>2}.

Montrer qu’elle est bien définie sur {\mathbb{R}_+^\star}, puis déterminer sa limite et un équivalent à {+\infty}.

Comparer les natures de {\sum\limits u_n} et {\sum\limits v_n}.

Déterminer la nature de la série de terme général {\int_{n\pi}^{+\infty}(\pi|\sin t|-2)/t\,dt}.

Montrer sa convergence. Établir {2u_{n+1}-u_n=1/(n+1)}.

Étudier {\sum\limits u_n} et donner un équivalent de ses sommes partielles.

Montrer {S_n\sim(-1)^{n+1}\sqrt n/2}, puis que {(S_n+S_{n+1})} a une limite finie positive.

Montrer que la limite existe si {\operatorname{Re}s>0}.

Montrer {\sum\limits_{n=1}^Nn^{-s}=\int_1^{N+1}\lfloor t\rfloor^{-s}dt}, puis {\zeta(s)=\int_1^\infty(\lfloor t\rfloor^{-s}-t^{-s})dt+\frac1{s-1}.}

2) Pour {\varphi\in C^1([0,\pi])}, montrer {\int_0^\pi\varphi(x)\sin(\lambda x)dx\to0}.

3) Exprimer {\int_0^\pi xD_n(x)dx} et en déduire {\sum\limits_{k\geq1}1/k^2}.

2) La convergence de {\sum\limits a_n} entraîne-t-elle celle de {\sum\limits a_n^2} ?

3) Montrer la divergence de {\sum\limits u_n^p} pour tout entier {p\ge2}.

2) Déterminer la bijection {\sigma} dont les premières valeurs sont {1,3,2,5,7,4,9,11,6,13,15,\ldots}.

3) Calculer {\sum\limits_{k\ge1}u_{\sigma(k)}}.

Étudier la convergence de la suite puis de la série {\sum\limits u_n}.

Est-elle suffisante ? On la suppose ensuite vérifiée.

2) Si {f} est finalement croissante, donner le signe et la limite de {u_n=\sum\limits_{k=n}^\infty(-1)^k/f(k)}.

3) Si de plus {1/f(k)+1/f(k+2)\ge2/f(k+1)} finalement, étudier {\sum\limits u_n}.

2) En déduire la convergence et une expression intégrale de la somme infinie.

3) En déduire {\sum\limits_{k\ge1}\sin(k\theta)/k=(\pi-\theta)/2}.

4) Calculer de même la série des cosinus.

Justifier les définitions pour {n\ge1} et étudier {\sum\limits u_n}.

Montrer la convergence de {\sum\limits u_n} si {\ell>1} et sa divergence si {\ell\lt 1}.

Étudier la suite et la série {\sum\limits x_n}.

Étudier {\sum\limits a_n}, {\sum\limits(-1)^na_n} et {\lim n(1-na_n)}.

Étudier {\sum\limits(-1)^nu_n} et calculer sa somme.

Étudier {\sum\limits u_n} et donner un équivalent de {S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k}.

Montrer {x_n=O(n)} si et seulement si {x_1=2e}. Indication : poser {y_n=x_n/(n-1)!}.

Montrer qu’il existe {p\in\mathbb{N}} avec {x_n=O(n^p)} si et seulement si {x_1=e-1}.

Trouver un équivalent de {u_n}.

Montrer qu’elle converge.

Montrer que {\sum\limits v_n} converge et que sa somme vaut un si {(u_n)} diverge.

Montrer que {\sum\limits e^{-a_n}} converge si {\alpha>1} et diverge si {\alpha\lt 1}.

Étudier {\sum\limits u_n}.

Montrer la convergence de {\sum\limits a_n} si {\ell>1}, et sa divergence si {\ell\lt 1}.

2) Pour {a,b,c>0} avec {a\lt b}, étudier la suite {u_n=\prod\limits_{k=0}^n(a+kb)/(a+kc)}.

Montrer que pour tout {x>0}, la série {\sum\limits_{n\geq1}a_n^x/n} converge.

Montrer {A_n\to\infty}, {a_n\to0}, {A_{n+1}\sim A_n} et {A_{n+1}^2-A_n^2\to2}.

Établir le théorème de sommation des équivalents pour une série positive divergente, puis en déduire {a_n\sim1/\sqrt{2n}}.

Réciproquement, si {b_n\sim1/\sqrt{2n}} et {B_n=\sum\limits_{k=0}^nb_k}, montrer {b_nB_n\to1}.

Justifier l’existence, déterminer la limite et la nature de {\sum\limits u_n}.

Déterminer sa limite, la nature de {\sum\limits u_n} et montrer {u_n=2\sum\limits_{k\geq0}(-1)^kn^k/(k!(2k+1))}.

Trouver une relation entre {I_n,I_{n-1}}, montrer {\frac{I_n(x)}{2^n}=\frac x2-\frac12\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\sin(kx)}{k(2\cos x)^k},}puis en déduire {x=\sum\limits_{k\geq1}\sin(kx)/(k(2\cos x)^k)} pour {0\leq x\leq\pi/3}.

b) Exprimer {u_{2n}} en fonction de {v_{2n},w_n}.

c) Montrer {H_n=\log n+\gamma+o(1)}.

d) Établir la convergence de {u_n} et préciser sa limite.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}1/a_n^2} converge.

Montrer que {a_n} décroît vers {0}, et étudier {\sum\limits a_n}.

Étudier {\sum\limits u_n} et {\sum\limits v_n}.

Justifier l’existence et étudier le signe. Indication : calculer {\int_0^1t^kdt}.

2) Étudier sa continuité.

2) Donner un équivalent simple de {u_n}.

2) Trouver un équivalent.

3) Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, donner la nature de {\sum\limits I_n^\alpha}.

Pour {t>0}, on pose {\Gamma(t)=\int_0^\infty x^{t-1}e^{-t}dx} ; on admet sa convergence.