Soit {n\in\mathbb{N}} et {f(x)=\log(1+\sqrt{1+x^n})}.

Montrer que {f} est {C^\infty} près de {0} et calculer ses dérivées en {0}.

Soit {\alpha>1} et {a_n=(\sin n/\alpha+\alpha\sin(1/n))^n}.

Étudier {\sum\limits a_n} et le rayon de convergence de {\sum\limits a_nx^n}.

Développer {\arcsin} en série entière sur {]-1,1[}.

La formule reste-t-elle valable en {\pm1} ?

Soit {u_0=1} et {u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_k/(n-k)}.

Montrer {u_n\leq1}, puis déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits u_nx^n}.

Soit {\alpha\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{N}}.

Développer {(1+x)^\alpha} sur {]-1,1[}, montrer {|a_n|\sim Cn^{-1-\alpha}} avec {C>0}, puis étudier {\sum\limits a_n} et sa somme. On note {a_n} le coefficient de {x^n}, pour {n\ge0}, et la série étudiée commence à {n=0}.

Soit {p(n)=\#\left\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3:x+2y+3z=n\right\}}.

Montrer que {G(t)=\sum\limits p(n)t^n} est définie pour {|t|\lt 1} et vaut {1/((1-t)(1-t^2)(1-t^3))}.

En déduire {p(n)} et un équivalent.

Généraliser au nombre de {m}-uplets tels que {x_1+2x_2+\cdots+mx_m=n}.

Résoudre {\sum\limits_{n\geq0}(3n+1)^2x^n=0}.

Poser {a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^nt\,dt}.

Étudier sa limite et relier {a_{n+2}} à {a_n}.

Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, étudier {\sum\limits a_nx^n/n^\alpha}.

Expliciter {\sum\limits_{n\geq1}a_nx^n} par des fonctions usuelles.

Soit {\sum\limits a_nz^n} de rayon {R>0}.

Déterminer le rayon de {\sum\limits a_nz^n/n!}.

Pour sa somme {f} sur {\mathbb{R}}, montrer qu’il existe {r>0} tel que {f(t)e^{-xt}} soit intégrable sur {\mathbb{R}_+} pour {x>r}, et exprimer son intégrale en série entière en {1/x}.

Soit {f(x)=\int_0^\pi\cos(x\sin\theta)\,d\theta}.

Montrer {f\in C^2(\mathbb{R})} et {xf''+f'+xf=0}.

Montrer que {f} est développable en série entière et calculer ses coefficients.

Déterminer le domaine de {f(x)=\arcsin x/\sqrt{1-x^2}}.

Trouver une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients polynomiaux vérifiée par {f}, puis son développement en série entière, avec rayon et coefficients.

Pour {u_n(x)=e^{-x\sqrt n}}, déterminer les domaines de {f=\sum\limits_{n\ge0}u_n} et {g=\sum\limits_{n\ge0}(-1)^nu_n}. Les relier par une équation fonctionnelle, puis étudier leur analyticité.

Déterminer le rayon et la somme de {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}x^{2n+2}/(n(n+1)(2n+1))}.

Déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits_{n\ge1}x^n/(4n^2-5n+1)}.

Déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits_{n\ge0}z^{n+(-1)^n}}.

Pour {|q|\lt 1}, montrer que {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}\sin(q^nx)} est définie, {C^\infty} et développable en série entière.

Pour {\alpha,\beta>0}, étudier {S=\sum\limits_{n\ge0}(-1)^n/(\alpha n+\beta)}.

Exprimer {S} et les restes {r_n=\sum\limits_{k>n}(-1)^k/(\alpha k+\beta)} par des intégrales.

Déterminer le rayon et le comportement aux bornes de {\sum\limits r_nx^n}.

Développer en série entière près de zéro {f(x)=\int_0^\infty\log(1+xe^{-t})dt}.

Développer en série entière en zéro {\log(x^2-\sqrt2x+1)}.

Pour {\tau\in\mathbb{R}}, développer en zéro {f(x)=\arctan(\tau(x-1)/(x+1))} et préciser le domaine exact de validité.

Déterminer rayon, domaine réel et somme de {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}\cosh(n)x^{2n}/n}.

Déterminer le développement en zéro de {\sin(\arcsin x/3)}.

Pour {n\ge2}, poser {u_n=\sum\limits_{i+j=n,\ i,j\ge1}1/(ij)^2} et {S(x)=\sum\limits_{n\ge2}u_nx^n}.

Donner un équivalent de {u_n}, le rayon et une expression de {S}, puis étudier les deux bornes du domaine de convergence.

Pour {f(x)=(\arcsin x)^2}, trouver une équation différentielle linéaire d’ordre deux et son développement en série entière avec son rayon.

Pour {a_0=a_1=1}, {a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}/(n+1)}, montrer {1\le a_n\le n^2} pour {n\ge1} et déterminer le rayon de {f(x)=\sum\limits a_nx^n}.

Montrer {(1-x)f'-(1+2x)f=0} et expliciter {f}.

Pour {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}e^{-n+in^2x}}, montrer la régularité {C^\infty} et étudier le développement en série entière.

Rappeler Stirling, déterminer le rayon de {\sum\limits_{n\ge1}\log(1+1/n)x^n}, calculer sa somme en {-1}, puis {\int_0^1(-1)^{\lfloor1/x\rfloor}/x\,dx}.

Pour {f(z)=\sum\limits_{k\ge1}(-1)^kz^k/k}, donner le rayon et calculer {e^{f(z)}}.

Montrer, pour une matrice complexe {A} et {z} assez petit, {\det(I+zA)=\exp(\sum\limits_{k\ge1}(-1)^k\operatorname{tr}(A^k)z^k/k)}.

Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}, déterminer le rayon et exprimer {f(z)=\sum\limits_{p\ge0}\operatorname{tr}(A^p)z^p} à l’aide de {\chi_A}.

Si {\sum\limits n|a_n|\lt \infty}, montrer que {\sum\limits a_nz^n} a rayon au moins un.

Si {a_1\ne0} et {|a_1|\ge\sum\limits_{n\ge2}n|a_n|}, montrer l’injectivité de sa somme sur le disque unité.

Montrer l’injectivité de {\varphi(z)=z/(1-z)^2} sur le disque ouvert unité et donner sa série.

Pour {f(z)=z+\sum\limits_{n\ge2}a_nz^n} injective sur ce disque, avec {a_n} réels, montrer que {f(z)} est réel exactement si {z} l’est, puis que les signes des parties imaginaires concordent.

Calculer {\int_0^\pi\operatorname{Im}f(Re^{it})\sin(nt)dt} et en déduire {|a_n|\le n}.

Pour {f(x)=\int_0^1dt/(1-xt+xt^2)}, déterminer le domaine réel et le développement en série entière centré en zéro.

Montrer le développement en zéro de {f(x)=\int_0^\infty\log(1+xe^{-t})dt} et l’expliciter.

Montrer {\int_{1/2}^1\log t/(1-t)dt=\int_0^{1/2}\log(1-t)/t\,dt} et calculer {\sum\limits_{n\ge1}1/(2^nn^2)}.

Soit {R>0} et {D_R=\left\{(x,y):x^2+y^2\lt R^2\right\}}. La série entière {\sum\limits a_nz^n} a pour rayon {R}.

Montrer que {f(x,y)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x+iy)^n} est {C^2} et harmonique sur {D_R}.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\ge1}\cos(2\pi n/3)x^n/n}.

Montrer que {f(x)=\log(1+e^{-x})} est développable en série entière au voisinage de {0}.

Déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits_{n\ge0}(2n+1)!\,x^n/(n!)^2}.

1) Calculer {a_0,a_1,a_2}.

2) Calculer {f(x)} pour {|x|\lt 1} et préciser son rayon.

3) En déduire {a_n}.

1) Pour {z\in\mathbb{C}}, {|z|\ne1}, montrer que {t\mapsto1/(e^t-z)} est développable en série entière au voisinage de {0}.

2) Pour {F\in\mathbb{C}(X)} sans pôle de module {1} et {\alpha\in\mathbb{R}}, montrer que {t\mapsto F(e^{\alpha t})} est développable en série entière au voisinage de {0}.

1) Déterminer les valeurs d’adhérence de {(a_n)}.

2) La suite {b_n=n^{-1}\sum\limits_{k=1}^na_k} a-t-elle une limite ?

3) Déterminer le rayon de {\sum\limits_{n\ge1}b_nx^n}.

1) Montrer que {a_n\to0}.

2) Exprimer {a_{n+2}} à l’aide de {a_n}.

3) Déterminer le rayon {R} et la somme de {\sum\limits_na_nx^n}.

Étudier le comportement en {\pm R}.

Soient {u_0=1} et {u_{n+1}=\tfrac12\sum\limits_{k=0}^n\binom nk u_ku_{n-k}}.

Trouver {u_n} en considérant {\sum\limits_{n\ge0}(u_n/n!)x^n}.

1) Montrer que {a_n\to0}.

2) Donner un équivalent de {a_n}.

3) Déterminer le rayon {R} de {\sum\limits_na_nx^n} et la convergence en {\pm R}.

4) Donner un équivalent de la somme lorsque {x\to R^-}.

1) Déterminer son rayon {R}.

2) Étudier la convergence en {\pm R} (considérer les sommes de {\sin(kt)}).

3) Exprimer la somme pour {|x|\lt R}.

1) Montrer que son rayon est supérieur ou égal à {1}.

2) Si {a_1\ne0} et {\sum\limits_{n\ge2}n|a_n|\le|a_1|}, montrer que {f} est injective sur {D}.

1) Montrer que le rayon de {\sum\limits_na_nx^n} est au moins {1}.

2) Montrer que sa somme résout {xy''-x=y^2} sur {]0,1[}.

1) Montrer que {1\le a_n\le n^2} pour {n\ge1}, et en déduire le rayon {R} de {f(x)=\sum\limits_na_nx^n}.

2) Montrer que {f} résout {(1-x)y'-(2x+1)y=0} et l’exprimer.

1) Si {z_k\in D\setminus\left\{0\right\}}, {z_k\to0} et {F(z_k)=0} pour tout {k}, montrer que {F} est nulle.

2) Si {F(0)>0} et {|F|} a un maximum local en {0}, montrer que {F} est constante.

1) Montrer que {b_n\le1/(\log2)^n}.

2) Montrer que le rayon {R} de {\sum\limits_nb_nx^n} est non nul et que sa somme vaut {1/(2-e^x)} pour {|x|\lt R}.

3) En déduire une expression sommatoire explicite de {b_n}.

1) Montrer qu’elle est développable en série entière en {0} et donner le rayon ; on écrit {f(z)=\sum\limits_na_nz^n}.

2) Donner une expression sommatoire de {a_n}.

3) Trouver une récurrence pour {(a_n)}.

4) Donner un développement asymptotique de {\log a_n}.

1) Montrer que {P(X)=\sum\limits_{k=0}^nP^{(k)}(ak)A_k(X)} pour {P\in\mathbb{C}_n[X]}.

En déduire, pour {y\ne0}, {ny^{n-1}=\sum\limits_{k=1}^n\binom nk(-ak)^k(y+ak)^{n-k}}.

2) Déterminer le rayon {R} de {\sum\limits_{n\ge1}(-n)^{n-1}x^n/n!}.

3) Si {S} est sa somme, montrer que {x(1+S)S'=S} et déterminer {h(x)=S(x)e^{S(x)}}.

1) Montrer que {f(z)\in\mathbb{R}} si et seulement si {z\in\mathbb{R}}.

2) Montrer que {\operatorname{Im}f(z)>0} si et seulement si {\operatorname{Im}z>0}.

3) Calculer {\int_0^{2\pi}\operatorname{Im}f(re^{it})\sin(nt)dt} pour {n\ge1} et {0\le r\lt 1}.

1) Pour {n\ge1} et {y>a_0}, montrer qu’il existe un unique {x_n(y)\ge0} avec {S_n(x_n(y))=y}, que {x_n(y)\to T(y)}, et que {T(y)\le R}.

2) On suppose {T(y)\le R}.

Calculer {(S\circ T)(y)}.

Qu’en déduire ?

1) Montrer que {I(r)=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta =\sum\limits_{n\ge0}|a_n|^2r^{2n}}, et que {I} est croissante sur {[0,R[}.

2) Si {f\ne0}, montrer que {I(r)>0} pour {0\lt r\lt R}.

3) Montrer que {t\mapsto\log I(e^t)} est convexe sur {]-\infty,\log R[}.

Soient {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {2} et {f(x)=e^{P(x)}}.

Montrer que {f} est développable en série entière en {0} et que deux coefficients consécutifs ne sont jamais simultanément nuls.

1) Quel est son rayon de convergence ?

2) Déterminer les limites de {f(x)} et {(1-x)f(x)} en {1^-}.

1) Déterminer les fonctions {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}, continues en {0}, telles que {f(x+y)=f(x)+f(y)}.

2) Montrer que la convergence absolue de {\sum\limits_na_n} implique {\mathcal P}.

Étudier la réciproque.

3) Déterminer les {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} qui envoient toute suite vérifiant {\mathcal P} sur une suite {(f(a_n))} vérifiant {\mathcal P}.

Soit {\lambda\in\mathbb{R}}.

Montrer que les solutions de {y''+(\lambda-1)x^2y=0} sont de la forme {y(x)=H(x)e^{-x^2/2}} avec {H} développable en série entière.

1) Résoudre sur {\mathbb{R}_+^\star}.

2) Montrer qu’une unique solution admet une limite finie en {0}.

3) Existe-t-il des solutions ayant une limite finie en {+\infty} ?

4) Déterminer les solutions développables en série entière.

1) Rappeler le développement en série entière de {(1-x)^{-1/2}}.

2) Pour quel réel {r} les nombres {\mathbb{P}(X=n)=r(2n)!/(2^{3n}(n!)^2)} définissent-ils une loi sur {\mathbb{N}} ?

3) Calculer alors l’espérance et la variance.

1) Montrer que {f\in C^\infty}.

2) Calculer {f^{(n)}(x)} et {f^{(n)}(0)} en fonction de {f(0)}.

3) Déterminer le rayon de {\sum\limits_{n\ge0}a^{n(n-1)/2}x^n/n!}.

4) On suppose désormais {0\lt a\lt 1} et on note {g} la somme de cette série.

Montrer que {g\in C^\infty(\mathbb{R})} et {g'(x)=g(ax)}.

5) Si {f(0)=0}, montrer que {f=0}.

6) Résoudre {y'(x)=y(ax)}.

1) Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}f(n)x^n/n!} pour tout {x}.

2) Montrer que {f(k)=-\sum\limits_{n\ge k+2}f(n)/(n-k)!} pour {k\in\mathbb{N}}.

3) Montrer que {f=0}.

1) Déterminer le rayon {R} de {\sum\limits a_nx^n}.

2) Étudier la convergence en {R}.

1) Montrer que {f\in C^\infty(\mathbb{R})}.

2) Montrer qu’elle est développable en série entière près de zéro.

1) Déterminer son domaine.

2) Développer en série entière et exprimer {f} avec les fonctions usuelles.

Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^nt\,dt}.

Déterminer le rayon de {\sum\limits a_nx^n}, étudier les bords et calculer sa somme.

1) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^n\binom knD_k=n!}.

2) Pour {S(x)=\sum\limits_{n\ge0}D_nx^n/n!}, montrer que le rayon est au moins un.

3) Calculer {e^xS(x)} et en déduire {D_n}.

1) Déterminer le domaine de {f}.

2) Montrer que {|b_n|\le n!}.

3) Montrer que {f(z)=\sum\limits_{n\ge0}b_nz^n/n!} près de zéro, avec un rayon dans {[1,2\pi]}.

4) En considérant {f(z)+z/2}, calculer les {b_n} d’indices impairs.

5) Développer {\tan} en série entière en fonction des {b_n}. Indication : considérer {f(z)+f(-z)}.

Soit {p\in\mathbb{R}}. La fonction {f(x)=(x+\sqrt{1+x^2})^p} est-elle développable en série entière près de zéro ?

1) Montrer la convergence simple vers une fonction {u}, sans chercher à l’expliciter.

2) Montrer que {u} est continue.

3) Montrer qu’elle est développable en série entière près de zéro.

1) Montrer que {f} est bien définie et {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer qu’elle n’est pas développable en série entière près de zéro.

1) Déterminer la limite de {(u_n)} et le comportement de {(a_n)}.

2) Montrer la divergence de {\sum\limits u_n^2} et la convergence de {\sum\limits u_n^3}.

3) Déterminer le rayon de {\sum\limits a_nx^n} et le comportement de sa somme en un et moins un.

1) Montrer que son rayon est au moins un.

2) Si {a_1\ne0} et {\sum\limits_{n\ge2}n|a_n|\le|a_1|}, montrer que {f} est injective sur le disque unité ouvert.

1) Montrer que le rayon est au moins un et que {G(t)=1/((1-t)(1-t^2)(1-t^3))} pour {|t|\lt 1}.

2) Expliciter {p(n)} et donner un équivalent.

Soient {I} un intervalle ouvert et {f\in C^\infty(I,\mathbb{R})} avec {f^{(n)}\ge0} pour tout {n\in\mathbb{N}}.

Montrer qu’au voisinage de chaque {x\in I}, {f} est somme d’une série entière.

1) Déterminer les endomorphismes continus du groupe {(\mathbb{R},+)}.

2) On dit que {(a_n)} vérifie {\mathcal P} si {\sum\limits a_nx^n} a un rayon au moins un et une limite finie en {1^-}.

Montrer que la convergence absolue de {\sum\limits a_n} implique {\mathcal P} et étudier la réciproque.

3) Déterminer les fonctions {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} envoyant toute suite vérifiant {\mathcal P} sur une suite {(f(a_n))} vérifiant {\mathcal P}.

1) Trouver une récurrence et un équivalent de {I_n}.

2) Donner le rayon de {\sum\limits I_nx^n}.

3) Montrer que {I_{2n}=(-1)^n\sum\limits_{k=n}^\infty(-1)^k/(2k+1)} et exprimer de même {I_{2n+1}}.

1) Exprimer {u_n^h} avec {f}.

2) Si {a_n^h=u_n^h(0)}, montrer que {S(x,h)=\sum\limits_{k\ge0}a_k^hx^k/k!} est définie pour {x\ge0}.

3) L’exprimer avec {X_h\sim\mathcal P(x/h)} et calculer sa limite lorsque {h\to0^+}.

Pour {x>0}, poser {f(x)=(\cosh(\sqrt[4]x)-\cos(\sqrt[4]x))/\sqrt x}. Pour {x\lt 0}, poser {f(x)=2\sinh(\sqrt[4]{-x/4})\sin(\sqrt[4]{-x/4})/\sqrt{-x}}.

Montrer qu’elle se prolonge en une fonction {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.

Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n\geq2}(-1)^n/(n+x)} est définie et {C^\infty} sur {]-1,1[}, puis la développer en série entière.

On note {a_n} la {n}-ième décimale de {\pi}.

Déterminer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq1}a_nz^n}.

Soient {q\in]-1,1[} et {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue telle que {f(x)=(1-qx)f(qx)} et {f(0)=1}.

La fonction {f} est-elle développable en série entière ?

Développer en série entière {\arccos(1-x)/\sqrt x} sur {]0,1[}, puis donner une expression de la somme sur {]-1,0[}.

Soit {f} la somme de {\sum\limits_{n\geq0}\frac{n!}{\prod\limits_{k=0}^n(2k+1)}x^{2n+1}}.

Déterminer son rayon, montrer qu’elle vérifie {(x^2-2)f'+xf+2=0}, puis préciser son domaine et une expression simple.

Développer {e^x\sin x} en série entière de deux façons, puis en déduire l’identité de coefficients suivante, pour {n\ge1} : {\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!(n-2k-1)!} =\frac{(\sqrt2)^n}{n!}\sin(n\pi/4).}

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {2}.

Montrer que {e^{P(x)}=\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n} sur {\mathbb{R}}, et que deux coefficients consécutifs ne peuvent être nuls.

Soit la suite {a_0=a_1=1} et {a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}} pour {n\geq2}.

Montrer {a_n\leq n!}, que {S(x)=\sum\limits a_nx^n/n!} a un rayon d’au moins {1}, puis que {S'=(1+x)S} sur {]-1,1[}.

En déduire une expression de {a_n}.

Soit {\alpha>0}. Déterminer les rayons de {\sum\limits_{n\geq1}\cos(n\alpha)x^n/n} et {\sum\limits_{n\geq1}\sin(n\alpha)x^n/n}.

Expliciter la somme de la première sur {]-1,1[}.

Déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits_{n\geq0}\sinh(n)x^{2n}/(2n)!}.

Soit une suite réelle telle que {na_n\to0}.

Montrer que {\sum\limits a_nx^n} a un rayon d’au moins {1}, puis que sa somme est {o(\log(1-x))} lorsque {x\to1^-}.

1) Donner le rayon et la somme de {\sum\limits_{n\geq1}nx^n}.

2) Pour {x\geq0}, étudier et sommer {\sum\limits_{n\geq1}nx^ne^{-nx}}.

3) Montrer {\int_0^{+\infty}xe^{-x}/(1-xe^{-x})^2\,dx =\sum\limits_{n\geq1}n!/n^n}.

Soit {J(x)=\int_0^\pi\cos(x\sin t)\,dt}.

Montrer qu’elle vérifie {(E):xy''+y'+xy=0}.

Déterminer toutes les solutions sur {\mathbb{R}} développables en série entière autour de {0}.

Rechercher les solutions de {y''+xy'+2y=0} développables en série entière, et préciser l’intervalle de validité.

Selon {\lambda\in\mathbb{R}}, déterminer la dimension de l’espace des solutions sur {\mathbb{R}} de {xy''+\lambda y'+xy=0} qui sont sommes d’une série entière.

1) Développer {\sqrt{1+x}=\sum\limits_{k\geq0}a_kx^k} et préciser rayon et domaine réel de validité.

2) Pour {A} nilpotente complexe, prouver {\sum\limits_{k\geq0}a_kA^k=I+A}.

3) Toute matrice complexe possède-t-elle une racine carrée ?

Développer en série entière {f(x)=\int_1^\infty e^{-t}dt/(x+t)}.

Soient {u_0=u_1=1} et {u_n=u_{n-1}+2u_{n-2}+(-1)^n} pour {n\geq2}.

Pour {S(z)=\sum\limits u_nz^n}, montrer que le rayon est supérieur à {1/2}, calculer la somme et en déduire {u_n}.

Soient {a_n\ne0} complexes et {R,R'} les rayons de {\sum\limits a_nz^n} et {\sum\limits z^n/a_n}.

Si {R,R'} sont finis, montrer {RR'\leq1}.

Donner un exemple avec {0\lt RR'\lt 1}.

Poser {a_n=\int_0^1((1+t^2)/2)^ndt}.

Montrer {1/(n+1)\leq a_n\leq2/(n+1)}, la convergence de {\sum\limits(-1)^na_n}, puis déterminer le rayon et la somme de {\sum\limits a_nx^n}.

Soient {u_n=\int_1^\infty e^{-t^n}dt}, {n\geq1}, et {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}u_nx^n}.

Déterminer {\lim u_n}, le domaine de {f}, puis {\lim_{x\uparrow1}f(x)}.

Pour {|x|\lt 1}, poser {f(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty(-1)^n/(x+n)}.

Montrer que {f} est {C^\infty} et développable en série entière au voisinage de zéro.

Pour {|z|\lt 1}, poser {L(z)=\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n-1}z^n/n}.

Montrer {L(z)=\ln|1+z|+i\arctan(\operatorname{Im}z/(1+\operatorname{Re}z))}. Indication : étudier {t\mapsto L(tz)} sur {[0,1]}.

Soit {F(x)=\int_0^\infty e^{-t^2}\sin(xt)dt}.

Calculer {\int_0^\infty t^{2n+1}e^{-t^2}dt}, développer {F} en série entière avec son rayon, puis trouver une équation différentielle et une autre expression de {F}.

Pour {F(x)=\int_0^\infty e^{-t^2}\cosh(2tx)dt}, déterminer le domaine.

Pour {I_n=\int_0^\infty t^{2n}e^{-t^2}dt}, avec {I_0=\sqrt\pi/2}, montrer {I_n=\frac{\sqrt\pi}{2}(2n)!/(2^{2n}n!)}, puis développer {F} en série entière et trouver une équation différentielle et une expression simple.

Déterminer les solutions développables en série entière près de zéro de {y''+xy'+2y=0}.

Soit {u_1\in\mathbb{R}} et {u_{n+1}=nu_n-1} pour {n\ge1}.

Montrer que {u_1=e-1} équivaut à l’existence d’un réel {a} tel que {u_n=O(n^a)}.

Préciser le domaine de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}e^{-n}e^{in^2x}}.

Montrer qu’elle est {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.

Est-elle développable en série entière ?

a) Montrer qu’elle est {C^\infty}.

b) Montrer qu’elle est développable en série entière.

a) Déterminer {\lim u_n}.

b) Déterminer le domaine de convergence.

c) Déterminer la limite de {f} à sa borne droite.

a) Trouver des entiers {p_n} tels que {na-p_n\in[-1/2,1/2]}.

b) Montrer qu’il existe {c>0} tel que {\sin(na\pi)\ge c/n} pour {n\ge1}.

c) En déduire le rayon de {\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n/\sin(n\pi\sqrt2)}.

a) Montrer {|b_n|\le n!}.

b) Pour {|z|\lt 1}, montrer {\sum\limits_{k\ge0}b_kz^k/k!=z/(e^z-1)}.

c) Montrer que {\cot x-1/x} est développable en série entière en {0}.

d) Relier les deux questions, en posant éventuellement {z=2i\pi x}.

a) Donner son rayon {R} et montrer {x(x-4)S'+(x+2)S=2}.

b) En déduire {S} sur {]0,R[}.

c) Calculer {\sum\limits_{n=0}^{\infty}1/\binom{2n}{n}}.

Montrer l’existence d’une fonction {\varphi} développable en série entière en {0} et vérifiant {\varphi'=x+\varphi^2} près de {0}.

a) Trouver les solutions développables en série entière et leur rayon.

b) Les exprimer à l’aide des fonctions usuelles.

1) Pour {n\geq2}, montrer que {f_n(x)=0} a une unique solution {x_n\in]0,1[}.

2) Montrer que {(x_n)} décroît et converge.

3) Calculer sa limite.

1) Montrer que {2|x|/\pi\leq|\sin x|} pour {|x|\leq\pi/2}.

2) Donner le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq1}z^n/\sin(n\pi\sqrt3)}.

Pour {p\geq1}, donner le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{k\geq0}x^{kp}/(kp)!}.

1) Donner un exemple.

2) Montrer que {f(x)=\sum\limits a_nx^n} est continue sur {[-R,R]}.

3) Pour {g(t)=t^{-1}\ln|(1-t)/(1+t)|} : (i) montrer que {\int_0^1g} converge ;

(ii) développer {g} sur {]-1,1[} et calculer cette intégrale ;

(iii) calculer {\int_1^\infty g}.

1) Déterminer son rayon {R}.

2) Montrer qu’elle vérifie {(x^2-2)y'+xy+2=0}.

3) En déduire une expression de {f}.

4) La série converge-t-elle en {x=R} ?

1) Donner un équivalent de {u_n}.

2) Donner le rayon de {\sum\limits u_nz^n}.

1) Calculer {T_1,T_2,T_3,T_4}.

2) Montrer que {T_{n+1}=X\sum\limits_{k=0}^n\binom nkT_k}.

3) Pour {\phi(t)=\exp(e^t)}, montrer que {\phi^{(n)}(t)=T_n(e^t)\phi(t)}.

4) Développer {T_n(x)e^x} en série entière.

1) Montrer que le rayon de {\sum\limits a_nz^n} est au moins un.

2) Pour {f(z)=\sum\limits a_nz^n} sur {D}, si {a_1\ne0} et {\sum\limits_{n\geq2}n|a_n|\leq|a_1|}, montrer que {f} est injective.

1) Calculer {f(x,0),f(x,1)} lorsque cela est possible.

2) Donner le rayon à {s} fixé.

3) Donner le domaine de définition réel.

4) Relier {f(x,s)} à {f(x,s-1)}.

5) Donner {f(x,-1),f(x,-2)}.

6) Pour {p\geq1}, donner un équivalent de {f(x,-p)} en {1^-}.

1) Montrer que le rayon de {\sum\limits a_nx^n} est au moins un.

2) Montrer que {\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n=o(\ln(1-x))} en {1^-}.

1) Montrer que {I} est bien définie.

2) Montrer que les {u_n} le sont.

3) Trouver un équivalent de {u_n} et indiquer comment obtenir le terme suivant.

4) Donner le domaine de convergence de {\sum\limits a_nx^n}.

1) Rappeler la définition du rayon de convergence.

2) Montrer que {\left\{R>1\right\}} est l’événement où les coefficients sont finalement nuls, puis que sa probabilité est zéro.

3) Pour {0\leq c\lt 1}, montrer que {\mathbb{P}(R\leq c)=0}.

4) Montrer que {\mathbb{P}(R=1)=1}.