Soit {E} fini et {p:E\to E} idempotente, c’est-à-dire {p^2=p}.

Montrer qu’une telle application injective ou surjective est l’identité.

Donner un exemple différent sur deux éléments.

Montrer que l’idempotence équivaut à la fixation de tous les points de {p(E)}.

Décrire les trois applications idempotentes sur deux éléments et les dix sur trois éléments.

Enfin les dénombrer sur un ensemble de cardinal {n}.

Pour {E=\left\{1,\ldots,n\right\}}, montrer qu’il existe une unique bijection {g:\mathcal P(E)\to\mathcal P(E)} telle que {g(F)\cap F=\varnothing} pour tout {F}.

1) Pour {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {|C|\ge m+n-1}.

2) Montrer le même résultat pour {\mathbb{K}=\mathbb{C}} ; on pourra utiliser l’ordre lexicographique.

3) Pour {\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}, {p} premier, on veut montrer {|C|\ge\min(p,m+n-1)}. Supposons par l’absurde {|C|=m+n-q}, avec {q\ge2} et {m+n-q\lt p}.

Montrer qu’il existe {f:A\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} et {g:B\to\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}} telles que {\sum_{a\in A}f(a)a^k=0\ (0\le k\le m-2),\qquad \sum_{a\in A}f(a)a^{m-1}=1,}{\sum_{b\in B}g(b)b^k=0\ (0\le k\le n-1,\ k\ne n+1-q),\qquad \sum_{b\in B}g(b)b^{n+1-q}=1.}

4) Conclure en calculant de deux manières {Q=\sum_{(a,b)\in A\times B}f(a)g(b)\prod_{c\in C}(a+b-c).}

Dénombrer les suites {(a_1,\ldots,a_n)\in\left\{-1,1\right\}^n} dont toutes les sommes partielles sont positives ou nulles et dont la somme totale est nulle.

Montrer l’impossibilité pour {n} impair.

Noter {u_n} leur nombre en longueur {2n}, avec {u_0=1}.

Calculer {u_1,u_2,u_3}, obtenir une récurrence, puis une formule explicite.

Dénombrer les applications {f:\left\{1,\ldots,n\right\}\to\left\{1,\ldots,n\right\}} telles que {f\circ f=f}.

Pour {E\mathbin\Delta F=(E\cup F)\setminus(E\cap F)}, montrer {A\mathbin\Delta C=B\mathbin\Delta C\iff A=B}.

Soient {A\subset\mathbb{R}} de cardinal {n\geq2} et {B=\left\{a+a':a,a'\in A\right\}}.

Montrer {2n-1\leq|B|\leq n(n+1)/2} et donner des cas d’égalité.

Généraliser à {B_k=\left\{a_1+\cdots+a_k:a_i\in A\right\}}.

a) Montrer {2n-1\le\operatorname{Card}B\le n(n+1)/2}.

b) Donner des exemples où les bornes sont atteintes.

c) Généraliser à {B_k=\left\{a_1+\cdots+a_k:a_1,\ldots,a_k\in A\right\}}.

Calculer {\displaystyle\min_{\sigma\in\mathfrak S_n}\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\frac{\sigma(i)}i\right\rfloor}.