Décomposer {X^4+1} en irréductibles sur {\mathbb{C}}, {\mathbb{R}} et {\mathbb{Q}}.

Déterminer les {P\in\mathbb{C}[X]} tels que {P(X^2)=P(X)P(X-1)}.

Déterminer les {P\in\mathbb{R}[X]} tels que {e^{2i\pi P(n)}\to1}.

Montrer que ces polynômes prennent des valeurs entières sur {\mathbb{N}}, puis qu’ils sont exactement les combinaisons entières des {B_k(X)=X(X-1)\cdots(X-k+1)/k!}, avec {B_0=1}.

Montrer aussi que {(B_0,\ldots,B_N)} est une base de {\mathbb{R}_N[X]}.

Si {P\in\mathbb{R}[X]} est de degré {n\geq2}, scindé à racines simples, montrer que {P'+\lambda P} est scindé à racines simples pour tout {\lambda\in\mathbb{R}}.

Pour {P=\prod\limits_{i=1}^n(X-a_i)} à racines réelles, calculer, lorsqu’elles existent, {\sum\limits_i1/P'(a_i)} et {\sum\limits_i1/[a_iP'(a_i)]}.

Pour {P,Q\in\mathbb{C}[X]} et {a\neq b}, supposer {P^{-1}(\left\{a\right\})=Q^{-1}(\left\{a\right\})} et {P^{-1}(\left\{b\right\})=Q^{-1}(\left\{b\right\})}.

Montrer {P=Q}.

Pour {n\geq1} fixé, montrer qu’il n’existe qu’un nombre fini de polynômes unitaires entiers de degré {n} dont les racines complexes ont module {1}.

Montrer qu’un polynôme irréductible de {\mathbb{Q}[X]} a des racines complexes simples.

Pour un corps infini {K} et {P_1,\ldots,P_n\in K_{n-1}[X]}, montrer que la famille est libre si et seulement s’il existe {a_1,\ldots,a_n\in K} tels que {(P_i(a_j))} soit inversible.

Soient {x_1\lt y_1\lt \cdots\lt x_n\lt y_n}.

Montrer que {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]} et {\int_{x_i}^{y_i}P=0} pour tout {i} impliquent {P=0}.

Montrer l’existence d’un polynôme non nul de degré au plus {n} satisfaisant ces intégrales nulles.

Montrer que {I(x)=\int_0^\pi\log(x^2-2x\cos t+1)\,dt} est définie pour {x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}}.

Factoriser {X^{2n}-1} sur {\mathbb{R}} et calculer {I(x)} par une somme de Riemann.

Soit {f\in C([0,1],\mathbb{R})}.

Si {\int_0^1f(x)x^k\,dx=0} pour {0\leq k\leq n}, montrer que {f} possède au moins {n+1} zéros distincts.

Si cette égalité vaut pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer {f=0}.

Dans un anneau commutatif intègre {A}, montrer qu’un polynôme non nul de degré au plus {n} a au plus {n} racines dans {A}.

1) Montrer qu’il existe une unique suite de polynômes entiers {P_n} telle que {P_n(x+1/x)=x^n+x^{-n}} pour {x\in\mathbb{R}^\star}.

2) Si {a\in\mathbb{Q}} et {\cos(a\pi)\in\mathbb{Q}}, montrer {2\cos(a\pi)\in\mathbb{Z}}.

1) Construire {P_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {\sin((2n+1)\theta)/\sin^{2n+1}\theta=P_n(\cot^2\theta)} pour {0\lt \theta\lt \pi/2}.

2) Déterminer ses racines et leur somme.

3) Montrer {\cot^2\theta\lt 1/\theta^2\lt \cot^2\theta+1}.

4) En déduire {\sum\limits_{j\ge1}j^{-2}}.

Si {P\in\mathbb{R}[X]} est unitaire de degré {n}, montrer qu’il existe {k\in\left\{0,\ldots,n\right\}} tel que {|P(k)|\ge n!/2^n}.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, donner les conditions pour que {P} réalise une surjection de {\mathbb{C}} sur {\mathbb{C}}, de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}}, puis de {\mathbb{Q}} sur {\mathbb{Q}}.

1) Montrer que {(B_0,\ldots,B_N)} est une base de {\mathbb{R}_N[X]}.

2) Si {P(\mathbb{N})\subset\mathbb{Z}}, montrer {P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}}.

3) Si {e^{2\pi iP(n)}\to1}, montrer {P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}}.

4) Si {P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\to1}, montrer la même conclusion.

1) Pour {P_0=1}, {P_s=\prod\limits_{j=0}^{s-1}(X-j)}, montrer {P^{(s)}(1)=\sum\limits_{i\in A}a_iP_s(i)}, {0\le s\lt k}.

2) En déduire {\mu(P)\ge k+1}.

3) L’inégalité est-elle optimale ?

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant, scindé à racines simples.

Montrer que {P'-\lambda P} est scindé à racines simples pour tout réel {\lambda}.

Le résultat s’étend-il à {P''-\lambda P} ? Comment le généraliser ?

1) Montrer qu’un polynôme irréductible de {\mathbb{Q}[X]} a ses racines complexes simples.

2) Si {P\in\mathbb{Q}[X]} est non constant, {\deg P\le2k-1} et {\alpha} est racine de multiplicité {k}, montrer {\alpha\in\mathbb{Q}}.

Soit {P=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k}, avec {a_0\ge a_1\ge\cdots\ge a_n>0}.

Montrer que ses racines ont module au moins un, puis que pour toute racine {z}, {\min_{k\lt n}a_k/a_{k+1}\le|z|\le\max_{k\lt n}a_k/a_{k+1}}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {n\ge1}. On note {v(x)} le nombre de changements de signe dans la liste {(P(x),P'(x),\ldots,P^{(n)}(x))}, après suppression des termes nuls. Pour {a\lt b} avec {P(a)P(b)\ne0}, montrer {\mu(a,b)\le v(a)-v(b)} et {\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b)\pmod2}, où {\mu} compte les racines avec multiplicité.

En déduire la règle des signes de Descartes pour les racines positives.

Décomposer {P'/P} en éléments simples pour {P\in\mathbb{C}[X]\setminus\left\{0\right\}}.

Si {a} est racine de {P'}, montrer que {a} est combinaison convexe des racines de {P}, comptées avec multiplicité.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {n\ge2} ayant {n} racines réelles distinctes non nulles {a_i}.

Calculer {\sum\limits_i1/P'(a_i)} et {\sum\limits_i1/(a_iP'(a_i))}.

Pour {x,y,z\in\mathbb{Q}^\star}, montrer l’inversibilité de {\begin{pmatrix}x&y&z\\[4pt]2y&z&2x\\[4pt]z&x&2y\end{pmatrix}}.

Pour {x,y\in\mathbb{R}}, montrer que {\det\begin{pmatrix}1&0&1&0&0\\[4pt]x&1&y&1&0\\[4pt]x^2&2x&y^2&2y&2\\[4pt] x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\[4pt]x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{pmatrix}=0}si et seulement si {x=y}.

Pour {f_n(x)=\sum\limits_{k=0}^nx^k/k!}, montrer que {f_n} n’a pas de zéro si {n} est pair, et un unique zéro {r_n} si {n} est impair.

Dans ce dernier cas montrer {-2n-3\lt r_n\lt 0}.

Montrer qu’aucune fraction rationnelle réelle {F} ne satisfait {\int_0^xe^{t^2}dt=F(x)e^{x^2}} pour tout réel {x}.

1) si {\int_0^1f(t)t^kdt=0} pour {0\le k\le n}, montrer que {f} a au moins {n+1} zéros ;

2) si ces moments sont nuls pour tout {k\ge0}, montrer {f=0}.

Quelles fonctions sur {\mathbb{R}_+} sont limites uniformes de polynômes réels ?

Pour {n\ge2}, soit {Q=1+2X+\cdots+nX^{n-1}}.

Calculer {\prod\limits_{\zeta\in\mathbb{U}_n}Q(\zeta)}.

Soient {x_1\lt \cdots\lt x_m} réels et {\alpha_k\ge1} entiers.

Pour {P=\prod\limits_{k=1}^m(X-x_k)^{\alpha_k}}, déterminer le nombre de racines réelles distinctes de {P'}.

1) Montrer qu’il existe un unique {P_n\in\mathbb{Z}[X]} tel que {P_n(x+1/x)=x^n+x^{-n}} pour tout réel {x\ne0}.

2) Si {a\in\mathbb{Q}} et {\cos(a\pi)\in\mathbb{Q}}, montrer {2\cos(a\pi)\in\mathbb{Z}}.

1) Si {z_1,\ldots,z_p\ne0} et {|\sum\limits z_j|=\sum\limits|z_j|}, montrer qu’il existe {\lambda>0} tel que {z_k=\lambda z_1} pour tout {k}.

2) Justifier {|Q(z)|\le Q(|z|)} pour tout {z}.

3) Montrer que les racines de {P} ont un module strictement inférieur à {1}.

Soit {K} un sous-corps de {\mathbb{C}}.

Déterminer les {P\in\mathbb{C}[X]} tels que {P(K)\subset K}.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, déterminer quand {P(\mathbb{C})=\mathbb{C}}, quand {P(\mathbb{R})=\mathbb{R}}, et quand {P(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}}.

1) Donner la décomposition en éléments simples de {P'/P}.

2) Montrer que l’enveloppe convexe des racines de {P'} est contenue dans celle des racines de {P}.

Préciser le cas réel scindé.

3) Si un demi-plan fermé contient une racine de {P'}, montrer qu’il contient une racine de {P}.

Pour {P_1,\ldots,P_n\in K[X]}, montrer que leur liberté équivaut à l’existence de {a_1,\ldots,a_n\in K} tels que {(P_i(a_j))} soit inversible.

Soient {S\in S_n^{++}(\mathbb{R})} et {A\in M_n(\mathbb{R})} commutant avec {S^2}.

Montrer que {A} commute avec {S}.

Soient {A,B\in S_n^+(\mathbb{R})} tels que {A^2B^2=B^2A^2}.

Montrer que {AB=BA}.

Soient {A} un anneau commutatif intègre et {a_0,\ldots,a_n\in A}.

Montrer que, si {a_n\ne0}, l’équation {a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0} admet au plus {n} solutions dans {A}.

1) Montrer que {P=\lambda\prod_{i=1}^p(X-\alpha_i)^{2a_i} \prod_{j=1}^q\bigl[(X-\lambda_j)^{n_j}(X-\overline{\lambda_j})^{n_j}\bigr],}avec {\lambda>0}, {\alpha_i\in\mathbb{R}} et {\lambda_j\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}}.

2) Montrer qu’il existe {A,B\in\mathbb{R}[X]} tels que {P=A^2+B^2}.

Soient {D} le disque unité ouvert de {\mathbb{C}} et {P\in\mathbb{C}[X]} de degré {n\ge1}. On suppose que {P} possède une racine {z_0} telle que {|z_0|\lt 1}.

Montrer qu’il existe {Q\in\mathbb{C}_n[X]} tel que {|P(z)|=|Q(z)|} pour {z\in\mathbb{U}}, et {|P(z)|\lt |Q(z)|} pour {z\in D}.

Soit {P\in\mathbb{R}_n[X]} unitaire de degré {n\ge2}, dont toutes les racines sont réelles et négatives.

Montrer que {P'(0)P(1)\ge\dfrac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}P(0)}.

Montrer qu’il existe un polynôme à coefficients entiers dont {\sin(\pi/180)} est racine.

1) Montrer que {(E_n):\tan y=2n\tan(y/(2n))} possède au moins {n-1} solutions dans {]0,n\pi[}.

2) Expliciter {A,B\in\mathbb{R}[X]} tels que {\tan(2nt)=A(\tan t)/B(\tan t)} lorsque les tangentes sont définies.

3) Mettre en évidence un polynôme {P} tel que les solutions de {(E_n)} soient celles de {P(1/\tan^2(y/(2n)))=0}.

4) Dénombrer les solutions de {(E_n)} dans {]0,n\pi[}.

1) Écrire la décomposition en éléments simples de {P'/P}.

2) Montrer que {\operatorname{Conv}(\mathcal Z(P'))\subset\operatorname{Conv}(\mathcal Z(P))}.

3) Soit {H} un demi-plan fermé contenant au moins une racine de {P'}.

Montrer que {H} contient une racine de {P}, puis que {P(H)=\mathbb{C}}.

Soient {A,B\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}.

Montrer que l’ensemble des matrices de {\left\{tA+(1-t)B:t\in[0,1]\right\}} non inversibles est fini de cardinal au plus {n}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {\chi_A(X^2)=\chi_A(X)\chi_A(X-1)}.

Montrer que {n} est pair.

Montrer l’existence et calculer {\min_{P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}\sum_{i=0}^n(i^n-P(i))^2.}

1) Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)/\sqrt{1-t^2}\,dt} définit un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

2) Montrer qu’il existe une unique suite {(T_n)} de polynômes réels telle que {T_n(\cos x)=\cos(nx)} pour tous {n\in\mathbb{N}}, {x\in\mathbb{R}}.

Déterminer leur degré et leur coefficient dominant.

3) Si {U_n[X]} est l’ensemble des polynômes unitaires de degré {n}, calculer {\min_{P\in U_n[X]}\int_{-1}^1P(t)^2/\sqrt{1-t^2}\,dt}.

4) Que dire de la factorisation de {T_n} dans {\mathbb{R}[X]} ?

1) Montrer que {P_n} n’a pas de racine réelle si {n} est pair, et en a une unique sinon.

2) Si {x_n} est la racine réelle de {P_{2n+1}}, montrer que {(x_n)} est strictement décroissante et tend vers {-\infty}.

1) Montrer que {f\in C^\infty} et qu’il existe {P_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x^2}} pour {x\ne0}.

2) Montrer que {f} ne résout sur {\mathbb{R}} aucune équation {y'=a(x)y} avec {a} continue.

3) Montrer que chaque {P_n} est scindé sur {\mathbb{R}}.

1) {P(k)\in\mathbb{Z}} pour tout {k\in\mathbb{Z}} ;

2) {P(k)\in\mathbb{Z}} pour {0\leq k\leq n} ;

3) il existe {m\in\mathbb{Z}} tel que {P(k)\in\mathbb{Z}} pour {m\leq k\leq m+n}.

On pourra utiliser {H_k(X)=X(X-1)\cdots(X-k+1)/k!}.

1) Si {P=\prod\limits_{k=1}^r(X-\lambda_k)^{\alpha_k}}, montrer {P'/P=\sum\limits_k\alpha_k/(X-\lambda_k)}.

2) Si {P} est scindé sur {\mathbb{R}}, {P'(x)=0} et {P(x)\neq0}, montrer {P''(x)P(x)\lt 0}.

3) Pour deux racines réelles consécutives {x_1\lt x_2}, montrer {P'(x_1)P'(x_2)\leq0}.

4) Si {a\neq b} et {P-a,P-b} sont scindés sur {\mathbb{R}}, montrer que {P'} est scindé à racines simples.

1) Montrer que {P=X^3-X^2-X-1} a une seule racine réelle {\rho\in]1,2[} et deux racines non réelles de module inférieur à {1}.

2) Pour une pièce équilibrée lancée indépendamment, soit {u_n} la probabilité que la première apparition de trois Pile consécutifs se termine au lancer {n}.

Trouver une récurrence linéaire d’ordre {3}.

3) Étudier {\sum\limits_{n\geq3}2^nu_n}.

Pour {a,b>0}, montrer {\int_0^1t^{a-1}/(1+t^b)dt=\sum\limits_{n\ge0}(-1)^n/(a+bn)}.

Calculer ensuite les sommes pour {(a,b)=(1,3)} et {(1,4)}.

1) Montrer que, pour {\theta\in]0,\pi/2[}, {\sin\theta\lt \theta\lt \tan\theta}.

2) En déduire que {\cot^2\theta\lt 1/\theta^2\lt 1+\cot^2\theta}.

3) Montrer que {\frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{2n+1}} =\operatorname{Im}((1+i\cot\theta)^{2n+1}).}

4) Montrer qu’il existe un polynôme {P_n} tel que {\frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{n+1}}=P_n((\cot\theta)^2).}

5) Calculer la somme des racines de {P_n}.

6) Montrer que, pour {1\leq k\leq n}, {\cot(k\pi/(2n+1))} est racine de {P_n}.

7) En déduire que {\sum\limits_{m=1}^{+\infty}1/m^2=\pi^2/6}.

1) Soit {P=X^5-4X^4+2X^3+8X^2-8X}.

Montrer que {P(2)=P'(2)=0} et en déduire sa factorisation en irréductibles de {\mathbb{R}[X]}.

2) Trouver les {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que {P(M)=0} et {\operatorname{tr}M=0}.

Soit {n>3} impair, {\omega=e^{2i\pi/n}}.

Calculer {\prod\limits_{k=1}^{n-1}(1-\omega^k)/(1+\omega^k)} et en déduire {\prod\limits_{k=1}^{n-1}\tan(k\pi/n)}.

Soit {P=\sum\limits_{k=0}^da_kX^k}, {d\geq1}, {a_0a_d\ne0}, et supposer {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}}.

Calculer les intégrales moyennes de {P(e^{i\theta})e^{-ik\theta}}, puis de {P(e^{i\theta})\overline{P(e^{i\theta})}e^{-id\theta}}, et aboutir à une contradiction.

Déterminer tous les polynômes envoyant {\mathbb{U}} dans {\mathbb{U}}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n\geq1}.

Montrer qu’il est scindé sur {\mathbb{R}} si et seulement si {|P(z)|\geq|\operatorname{Im}z|^n} pour tout {z\in\mathbb{C}}.

Écrire {P=P_1+iP_2}, avec {P_1,P_2\in\mathbb{R}[X]}, et supposer que toutes les racines de {P} sont de partie imaginaire négative.

Montrer que {|P(z)|=|P(\overline z)|} impose {z} réel, puis que {P_1} est scindé sur {\mathbb{R}}.

Soient {a_k\geq0}, {a_0>0}, et {P=X^n-\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kX^k}.

Montrer qu’il possède une unique racine positive {\rho} et que toute racine complexe {z} vérifie {|z|\leq\rho}.

Pour {\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n} réels, poser {P=\prod\limits(X-\alpha_k)}.

Montrer que les racines {\beta_j} de {P'} sont simples et strictement entrelacées avec les {\alpha_k}.

Exprimer {P'/P} et {P''/P'} par les racines, puis montrer {\sum\limits_kP''(\alpha_k)/P'(\alpha_k)=0}.

Pour {c\ne0}, montrer que {P'+cP} possède au moins {n-1}, puis exactement {n} racines réelles distinctes en étudiant {P'/P}.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]} et {a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C}}, donner une condition nécessaire et suffisante de liberté de {(P(X+a_0),\ldots,P(X+a_n))}.

Pour {D(P)=P'} sur {\mathbb{R}[X]}, donner la matrice induite sur {\mathbb{R}_n[X]}.

Si un sous-espace non nul {F} de dimension finie est stable par {D}, choisir un polynôme de degré maximal {n}, montrer la liberté de ses dérivées successives et en déduire {F=\mathbb{R}_n[X]}.

Classer tous les sous-espaces stables de dimension finie.

Déterminer les images de {f(x,y)=(x+y,xy)} et {g(x,y)=(x+y,x^3+y^3)} sur {\mathbb{R}^2}.

Soit {n} naturel pair et {P=1+X+\cdots+X^n}.

Si {\alpha} est une racine de {P}, montrer que {\alpha^{2^k}} est une racine pour tout {k\in\mathbb{N}}.

Soit {P\in\mathbb{C}[X]}, différent de {X}.

Montrer que {P-X} divise {P\circ P-X}.

Soit {P\in\mathbb{Z}[X]}.

Montrer qu’il existe {Q,R\in\mathbb{Z}[X]} tels que {P(X)=XQ(X^2)+R(X^2)}.

Si {\sqrt2} est racine de {P}, montrer que {-\sqrt2} l’est avec la même multiplicité.

1) Montrer que {f'} a {n-1} racines distinctes {\beta_i} intercalées entre les {\alpha_i}.

2) Exprimer {f'/f} en fonction des {\alpha_i} et {f''/f'} en fonction des {\beta_i}.

3) Montrer {\sum\limits_{k=1}^nf''(\alpha_k)/f'(\alpha_k)=0}.

4) Pour {a\ne0}, étudier les racines de {f'+af} à l’aide du graphe de {f'/f}.

1) Si {u-\lambda I} n’est pas injectif, respectivement surjectif, montrer que {P(u)-P(\lambda)I} ne l’est pas non plus.

2) Si {P(u)-\mu I} n’est pas injectif, respectivement surjectif, montrer qu’un {\lambda} avec {P(\lambda)=\mu} rend {u-\lambda I} non injectif, respectivement non surjectif.

Pour {f(x)=e^{-x^2}}, montrer {f^{(n)}(x)=P_n(x)e^{-x^2}} avec {P_n} polynôme, et déterminer son nombre de racines.

Déterminer l’image de {(x,y)\mapsto(x+y,xy)} de {\mathbb{R}^2} dans lui-même.

Trouver tous les {P\in\mathbb{C}[X]} tels que {(X+4)P(X)=XP(X+1)}.

Déterminer les polynômes réels {P} vérifiant {P(X)P(X+1)=P(X^2)}.

a) Soit {P\in\mathbb{Z}[X]} unitaire.

Montrer que ses racines rationnelles sont entières.

b) Pour {n\ge1}, montrer qu’il existe un polynôme unitaire {P_n\in\mathbb{Z}[X]} de degré {n} tel que {P_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)} pour tout réel {\theta}.

c) Montrer {\cos(\pi\mathbb{Q})\cap\mathbb{Q} =\left\{-1,-1/2,0,1/2,1\right\}}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n}. Calculer {\sum_{k=0}^n\frac{P(k)}{\prod_{\substack{0\le i\le n\\[4pt]i\ne k}}(k-i)}.}

a) Montrer l’existence et l’unicité de {Q_n\in\mathbb{R}[X]}.

Donner son degré et son coefficient dominant.

b) Déterminer ses racines.

c) Calculer {\prod\limits_{k=0}^{n-1}(4+\tan^2(k\pi/(2n+1)))}.

a) Si {A\in M_n(\mathbb{R})} est diagonalisable et {B=I+A+A^3}, montrer que {A} est un polynôme en {B}.

b) Le résultat subsiste-t-il pour une matrice complexe ?

a) Montrer que {\varphi(P)=(X^2-1)P''+2XP'} est un endomorphisme symétrique de {\mathbb{R}_n[X]} pour {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\,dt}.

b) Déterminer ses valeurs propres.

c) Montrer qu’il existe une unique base orthonormée propre {(P_0,\ldots,P_n)} telle que {\deg P_k=k} et {\langle P_k,X^k\rangle>0}.

d) Poser {Q_k(X)=(-1)^kP_k(-X)}.

Montrer qu’elle vérifie c), et conclure.

e) Montrer que {P_n} est scindé à racines simples dans {]-1,1[}.

a) Montrer que {x_n} est bien défini pour tout {n\ge1}.

b) Étudier les variations et la convergence de {(x_n)}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}} continue. On suppose {\int_0^1f(x)x^n\,dx=0} pour {0\le k\le n}.

Montrer que {f} s’annule au moins {n+1} fois dans {]0,1[}.

a) Donner {R}.

b) On suppose désormais que {R} est celle de deux dés non pipés.

c) Quelles sont les racines de {R} ?

d) Montrer que les deux dés ne sont pas pipés.

1) Si {z} est une racine, montrer que {z\ne0} et que {1/z} est racine de même multiplicité.

2) Si {\alpha,\beta} sont les multiplicités de {1,-1}, montrer qu’il existe {q\in\mathbb{N}} et {Q\in\mathbb{R}[X]} de degré {q} tels que {P=(X-1)^\alpha(X+1)^\beta X^qQ(X+1/X).}

3) Factoriser {X^7-\frac52X^6+\frac32X^5+\frac32X^2-\frac52X+1}.

Soient {p,q\in\mathbb{N}^\star} distincts.

Déterminer les {P\in\mathbb{C}[X]} tels que {P(X^p)^q=P(X^q)^p}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {n}, à racines distinctes réelles strictement supérieures à un. On pose {Q=(X^2+1)PP'+X(P^2+P'^2)}.

Montrer que {Q} a au moins {2n-1} racines réelles distinctes.

1) Montrer que sa restriction à {\mathbb{R}_n[X]} est bijective.

2) Montrer que tout {Q\in\mathbb{R}[X]} s’écrit de manière unique {Q=R-R'}.

3) Si {Q(x)\geq0} pour tout réel {x}, montrer que {R(x)\geq0}, en considérant {e^{-x}R(x)}.

4) Si {R} est scindé réel à racines simples, montrer que {Q} l’est aussi.

1) Donner la factorisation des {L_i} et leurs valeurs en {-j}.

2) Montrer qu’ils forment une base de {\mathbb{R}_{n-1}[X]} et y décomposer {P}.

3) Calculer {\sum\limits L_k} et relier {f_n,g_n}.

4) Montrer que {f_n} est intégrable sur {\mathbb{R}_+} pour {n\geq2}.

5) Relier {1/\alpha_{n,k}} et {\binom{n-1}{k-1}}.

6) Exprimer {\int_0^\infty f_n(t)dt}.

1) Exprimer ces nombres en fonction des coefficients de {P}.

2) Déterminer les polynômes tels que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{R}}, où {\mathbb{U}} est le cercle unité.

1) Montrer qu’il existe un unique {Q_n\in\mathbb{R}[X]}, donner son degré et son coefficient dominant.

2) Déterminer ses racines.

3) Calculer {\prod\limits_{k=0}^{n-1}(4+\tan^2(k\pi/(2n+1)))}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(x)\geq0} pour tout réel {x}.

Montrer qu’il existe {Q,R\in\mathbb{R}[X]} tels que {P=Q^2+R^2}.

1) Si {\deg P\leq2}, montrer qu’il existe {\alpha,\beta\geq0}, {a\in[-1,1]} tels que {P=\alpha(X-a)^2+\beta(1-X^2)}.

2) Dans le cas général, montrer qu’il existe {A,B\in\mathbb{R}[X]} tels que {P=A^2+(1-X^2)B^2}.

Soient {P\in\mathbb{R}[X]} et {n\geq1}.

Montrer que {P(x)=o(x^{n-1})} lorsque {x\to0} si et seulement si {X^n} divise {P}.