Soit {f\in L(\mathbb{R}^2)} avec une base {(x,f(x))} et {f^n=I} pour un {n\geq2}.

Montrer que sa matrice est {\begin{pmatrix}0&a\\[4pt]1&b\end{pmatrix}} avec {a=\pm1}, et que {X^2-bX-a} divise {X^n-1} et a des racines simples.

Si ses racines ne sont pas réelles, déterminer {a}, encadrer {b}, et exprimer {f^k} avec {\theta=\arccos(b/2)}.

Montrer que si {A\in M_n(\mathbb{C})} est diagonalisable, l’algèbre {\mathbb{C}[A]} est isomorphe à {\mathbb{C}^m} pour un certain {m}.

Examiner la réciproque.

Déterminer pour quels {n\geq1} il existe {f\in L(\mathbb{R}^n)} tel que {f^3-f=I} et {\operatorname{tr}f\in\mathbb{Q}}.

Pour {A,B\in M_2(\mathbb{C})}, montrer que {(AB)^2=0} implique {(BA)^2=0}.

Pour {n\geq3}, compter les classes de similitude réelles des solutions {A^3=A-I}, et donner un représentant de chacune.

Montrer que tout élément d’un sous-groupe fini de {GL_n(\mathbb{C})} est diagonalisable.

Si {A,B\in M_n(\mathbb{C})} n’ont aucune valeur propre commune, montrer que {\chi_A(B)} est inversible, puis que pour tout {M} il existe un unique {X} tel que {AX-XB=M}.

Pour {u^n=I} sur un espace réel de dimension finie, résoudre {x+\lambda u(x)=b}, avec {\lambda\in\mathbb{R}}.

Soit {U} la matrice à {1} sur la surdiagonale et {0} ailleurs, et {V} celle à {1} strictement au-dessus de la diagonale et {0} ailleurs.

Calculer le polynôme minimal de {U} et montrer que {U,V} sont semblables.

Pour {u_A:M\mapsto AM} sur {\mathcal M_n(\mathbb{R})}, caractériser son inversibilité, calculer sa trace et son déterminant, puis montrer qu’il est diagonalisable exactement lorsque {A} l’est.

Si {B} est diagonalisable réelle et {AB^3=B^3A}, montrer {AB=BA}.

Généraliser.

Pour quels {n\in\mathbb{N}} existe-t-il {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {A^3-A^2=I} ?

Déterminer les {n\ge1} pour lesquels il existe {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} tel que {f^3+f^2-I=0} et {\operatorname{tr}f\in\mathbb{Q}}.

Une permutation {p} des couples {(i,j)} définit {u(A)=(A_{p(i,j)})_{i,j}}.

Montrer que {u} est un endomorphisme et dire s’il est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Si {A\in\mathcal M_2(\mathbb{R})} vérifie {A^{2^n}=I} pour un {n\ge1}, montrer que {A^2=I} ou qu’il existe {k\ge1} tel que {A^{2^k}=-I}.

Pour {A\in GL_n(\mathbb{C})}, montrer que {A} est triangulaire supérieure exactement lorsque toutes les {A^k}, {k\ge2}, le sont.

Donner un contre-exemple sans inversibilité.

Montrer que le commutant {C(A)} d’une matrice complexe de taille {n} a dimension au moins {n}, avec égalité exactement lorsque le polynôme caractéristique égale le polynôme minimal.

Pour {a_1\lt \cdots\lt a_p}, poser {P=\prod\limits_i(X-a_i)} et {E=\left\{M\in\mathcal M_n(\mathbb{R}):P(M)=0\right\}}.

Déterminer les traces possibles, les matrices de trace {na_1}, puis les points isolés de {E}, en commençant par {a_1I} et {\operatorname{diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)}.

Soient {a\ne b} complexes et {(u-aI)(u-bI)=0}. Posons {p=(u-aI)/(b-a)} et {q=(u-bI)/(a-b)}.

Calculer {p^2,q^2,pq,qp,p+q}, puis montrer {E=\ker p\oplus\ker q}.

1) Montrer {fP(g)-P(g)f=P'(g)} pour {P\in K[X]}.

2) Montrer que {(g^n)_{n\ge0}} est libre.

3) Donner un exemple sur {E=\mathbb{R}[X]}.

1) Déterminer les réels {\alpha,\beta} tels que {\omega^2=\alpha\omega+\beta}.

2) Montrer que tout complexe s’écrit uniquement {\lambda+\mu\omega}, avec {\lambda,\mu\in\mathbb{R}}.

3) Si {E} est réel de dimension {2n} et {u^2=\alpha u+\beta I}, montrer que {(\lambda+\mu\omega)*x=\lambda x+\mu u(x)} en fait un espace vectoriel complexe.

4) Pour une base complexe {(e_1,\ldots,e_p)}, montrer que {(e_1,u(e_1),\ldots,e_p,u(e_p))} est une base réelle.

5) Donner la matrice et le polynôme caractéristique de {u}.

Pour {B\in M_3(\mathbb{R})}, donner une condition nécessaire et suffisante pour l’existence de {A\in M_3(\mathbb{R})} telle que {A^3=B}.

1) Justifier l’existence, l’unicité et le degré de ces polynômes.

2) Si {P_n(A)=0} pour {n\ge1}, montrer que {A} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

3) Résoudre {x_i=x_{i-1}+x_{i+1}}, {1\le i\le n}, avec {x_0=x_{n+1}=0}.

1) Si un plan {F} est stable, montrer qu’un polynôme non nul de degré au plus {2} annule {f} sur {F}.

2) Si un polynôme de degré {2} divise le polynôme minimal de {f}, montrer qu’il existe un plan stable contenu dans son noyau évalué en {f}.

1) Montrer que {\chi_A(B)} est inversible.

2) Pour toute {M}, montrer l’existence d’une unique {X} telle que {AX-XB=M}.

Déterminer quand le commutant d’une matrice complexe {A} ne contient aucune matrice nilpotente non nulle.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {e^A} est un polynôme en {A}.

Est-ce que {A} est un polynôme en {e^A} ?

1) Calculer {A^n} pour {n\in\mathbb{Z}}.

2) Trouver {B\in\mathcal M_4(\mathbb{Q})} telle que {B^2=A}.

Soient {M\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} et {k\in\mathbb{N}^\star} avec {kM^{k+1}=(k+1)M^k}.

Montrer que {I_n-M} est inversible et déterminer son inverse.

1) Vérifier que {fP(g)-P(g)f=P'(g)} pour {P\in\mathbb{K}[X]}, et montrer que {(g^n)_{n\in\mathbb{N}}} est libre.

2) Pour {E=\mathbb{R}[X]}, donner un exemple.

Soient {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} et {N\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} nilpotente, avec {AN=NA}.

Montrer qu’il existe {B} telle que {B^2=A+N}.

1) Montrer que {M} est inversible si et seulement si {1\notin\operatorname{Sp}(M)}.

2) Montrer que {M} est diagonalisable.

3) Déterminer les solutions dans {\mathcal S_n(\mathbb{R})}, puis dans {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

1) Montrer que {E_2\subset E_1}.

2) Pour {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} et {X\in\mathbb{R}^n}, poser {I_X=\left\{Q\in\mathbb{R}[X]:Q(A)X=0\right\}}.

Montrer qu’il existe un polynôme unitaire {P_{A,X}} tel que {I_X=P_{A,X}\mathbb{R}[X]}.

3) Montrer que {\mathbb{R}^n=\bigcup_{X\in\mathbb{R}^n}\ker P_{A,X}(A)}.

4) Montrer qu’on peut restreindre cette union à un ensemble fini de vecteurs {U}.

5) Si des formes linéaires {\phi_1,\ldots,\phi_p} vérifient {\mathbb{R}^n=\bigcup_i\ker\phi_i}, montrer que l’une est nulle.

6) Montrer que {E_1\subset E_2}.

1) Montrer que {I_x} est un idéal non nul, et noter {\mu_x} son générateur unitaire.

2) Si {\mu_x\wedge\mu_y=1}, montrer que {\mu_{x+y}=\mu_x\mu_y} et {E_{x+y}=E_x\oplus E_y}.

3) Si {\pi_u} est le polynôme minimal de {u}, montrer qu’il existe {x} avec {\mu_x=\pi_u}.

1) Pour {x\ne0}, montrer que {P_x=\operatorname{Vect}(x,u(x))} est un plan stable.

2) Si {F} est stable et {x\notin F}, montrer que {P_x\cap F=\left\{0\right\}}.

3) Construire une base où la matrice de {u} est diagonale par blocs identiques de taille deux et de polynôme minimal {\pi_u}.

1) Si {F} est un plan stable, montrer qu’il existe {P\in\mathbb{K}_2[X]} avec {F\subset\ker P(f)}.

2) S’il existe {P\in\mathbb{K}_2[X]} avec {\dim\ker P(f)\ge2}, montrer que ce noyau contient un plan stable.

1) Si {u} est nilpotent d’indice {p}, montrer que {p=n} équivaut à {\dim\ker u=1}, puis que {p=n} équivaut à l’existence d’un nombre fini de sous-espaces stables.

2) Dans le cas général, montrer que {u} possède un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si {\deg\pi_u=n}, où {\pi_u} est son polynôme minimal.

Soit {E=\left\{A\in\mathcal M_n(\mathbb{R}):A^3=A\right\}}.

Montrer que {E} est réunion d’un nombre fini de classes de similitude, que l’on précisera.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {3A^3=A^2+A+I_3}.

Montrer que {(A^k)_{k\ge0}} converge et préciser sa limite.

Soit {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}.

Exprimer le polynôme minimal de {A^{-1}} en fonction de celui de {A}.

1) Pour {r>0} assez grand, montrer que {(re^{it}I-A)^{-1}=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{A^k}{r^{k+1}e^{i(k+1)t}}.}

2) Pour {P\in\mathbb{C}[X]} et {r} assez grand, montrer que {P(A)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi re^{it}P(re^{it})(re^{it}I-A)^{-1}\,dt.}

3) En déduire Cayley–Hamilton.

1) Si {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} vérifie {A+A^T=A^2}, trouver un polynôme annulateur de {A}.

2) Caractériser toutes ces matrices.

Soient {n,m\ge1}, {S\in\mathcal S_m(\mathbb{R})} et {A=(\operatorname{tr}(S^{i+j-2}))_{1\le i,j\le n}}.

Montrer que {\operatorname{rg}A=\min(n,\deg\pi_S)}, où {\pi_S} est le polynôme minimal de {S}.

1) Montrer qu’il existe {P:[0,1]\to\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} avec {A(t)=P(t)A(0)P(t)^{-1}}.

2) Si {A(t)X=\lambda X}, montrer que {A(t)A'(t)X=(5-\lambda)A'(t)X}.

3) Montrer qu’on peut choisir {P} de classe {C^1}.

Déterminer l’image de {\varphi:M\in M_3(\mathbb{R})\mapsto M^3}.

Soient {M\in M_2(\mathbb{Z})} et {n\geq1} tels que {M^n=I_2}.

Montrer {M^{12}=I_2}.

Montrer qu’il existe {(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^n} tel que {P(X+n)+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0} pour tout {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}.

Résoudre dans {M_n(\mathbb{R})} : {A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0}.

Déterminer le plus petit {n\geq1} tel qu’il existe {M\in M_n(\mathbb{R})} avec {2M^3-M^2-13M+5I=0} et {\operatorname{tr}M=0}.

1) Vérifier {P(2)=P'(2)=0} et factoriser {P} sur {\mathbb{R}}, puis {\mathbb{C}}.

2) Déterminer les {n\geq1} pour lesquels une matrice réelle {M} satisfait {P(M)=0}, {\det M=\pm1} et {\operatorname{tr}(M^3)=0}.

Soient {E} réel de dimension {n} et {\alpha\ne0}.

Déterminer {u\in\mathcal L(E)} tels que {\alpha u^3=\operatorname{tr}(u^2)u}.

Montrer que {A=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}} n’admet pas de racine carrée.

1) Montrer que {X^r=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}} n’a pas de solution dans {M_2(\mathbb{C})}.

2) Résoudre {X^r=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}} dans {M_2(\mathbb{C})}.

1) Montrer que l’indice de nilpotence en taille {n} est au plus {n}.

2) Montrer que {(A+\lambda B)^n=0} pour tout {\lambda\in\mathbb{C}}.

3) Montrer que {A} et {B} sont nilpotentes.

1) Pour {n\in\mathbb{N}}, montrer qu’il existe {P_n} de degré au plus {n} tel que {X+1-P_n(X)^2} soit divisible par {X^{n+1}}.

2) Si {N\in M_n(\mathbb{C})} est nilpotente, montrer qu’il existe {B\in GL_n(\mathbb{C})} tel que {B^2=I+N}.

1) Montrer qu’il existe {d} avec {A^3+dA=0}.

2) Déterminer {d} et exprimer {A^{2n}} pour {n\ge1}.

3) Trouver {\alpha,\beta} tels que {e^A=I+\alpha A+\beta A^2}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} avec {A^3-A-I=0}.

Montrer que {\det A>0}.

1) Pour {P\in\mathbb{C}[X]} non constant et {n\ge1}, montrer qu’il existe {M\in M_n(\mathbb{C})} avec {P(M)=0}.

2) Pour {Q\in\mathbb{R}[X]} de degré deux, trouver {M\in M_2(\mathbb{R})} avec {Q(M)=0}.

Résoudre {M^3-2M=\operatorname{diag}(-1,4)} dans {M_2(\mathbb{R})}.

Résoudre dans {M_3(\mathbb{R})} l’équation {X^2=\left(\begin{smallmatrix}1&0&0\\[4pt]1&1&0\\[4pt]1&0&4\end{smallmatrix} \right)}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} telle que {\operatorname{tr}A=0} et {A^2+A^T=I}.

Montrer que ses valeurs propres vérifient {\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0} et en déduire que {n} est multiple de {4}.

Si {A\in M_n(\mathbb{R})} satisfait {A^3-A-I=0}, déterminer le signe de son déterminant.

Si chaque orbite positive d’un automorphisme {f} en dimension finie est finie, montrer {f^k=I} pour un {k\geq1}.

Que peut-on dire pour un endomorphisme ?

a) Montrer que {\phi} est bijective de deux manières différentes.

b) Soit {Q} l’antécédent de {P} par {\phi}. On suppose {Q\ge0}.

Montrer que {P\ge0}.

Exprimer {P} en fonction de {Q}.

Soient {n\ge2} et {A,B\in M_n(\mathbb{K})} tels que {ABAB=0}. A-t-on nécessairement {BABA=0} ?

Soit {u} nilpotent sur un espace de dimension finie. Tout sous-espace stable par {u} admet un supplémentaire stable.

Montrer que {u=0}.

Redémontrer qu’une matrice diagonalisable admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

a) Quel est son rang ?

b) Montrer {A^2=\operatorname{tr}(A)A}.

c) Si {M} a rang {1}, montrer qu’il existe des vecteurs lignes {X,Y} tels que {M=X^{\mathsf T}Y}.

d) Trouver toutes les {M\in M_3(\mathbb{R})} telles que {M^2=0}.

e) À quelle condition {A} est-elle diagonalisable ?

a) Montrer {M} inversible et déterminer son inverse.

b) Montrer que {A,B} sont des projecteurs.

c) {M} est-elle diagonalisable ?

Déterminer son spectre.

Soit {A\in M_2(\mathbb{R})}. S’il existe {n\ge1} tel que {A^{2^n}=I_2}, montrer que {A^2=I_2} ou qu’il existe {k\ge1} tel que {A^{2^k}=-I_2}.

a) Montrer qu’il existe {N\ge1} tel que {u^N=I}.

b) {u} est-il diagonalisable ?

a) Trouver {V} tel que {AV\ne0} et {A^2V=0}.

b) Déterminer {\left\{\langle AX,X\rangle:X\in\mathbb{R}^n\right\}}.

c) Trouver les {B} telles que {\left\{\langle BX,X\rangle:X\in\mathbb{R}^n\right\}=\left\{0\right\}}.