Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, déterminer le rang de {M=((i+j+\alpha)^2)_{1\leq i,j\leq n}}.

Pour {n\geq2}, montrer que tout hyperplan de {M_n(K)} contient une matrice inversible.

Soit {D\subset M_n(\mathbb{C})} l’ensemble des matrices dont {m_{ij}=0} lorsque {i-j} est impair.

Montrer que c’est une sous-algèbre.

Pour {M} inversible, montrer {M\in D} si et seulement si {\operatorname{Com}(M)\in D}.

Si une forme linéaire {f} sur {M_n(\mathbb{C})} vérifie {f(AB)=f(BA)} pour tous {A,B}, montrer que {f} est proportionnelle à la trace.

Pour un endomorphisme {u} de trace nulle d’un espace euclidien non nul, montrer l’existence de {x\neq0} avec {\langle ux,x\rangle=0}, puis d’une base dans laquelle sa matrice a une diagonale nulle.

Si toutes les matrices semblables à {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} commutent avec {M}, déterminer {M}.

Même question sur {\mathbb{C}}.

Soit {D=\left\{M:m_{ij}=0\text{ si }i,j\text{ ont des parités différentes}\right\}}.

Montrer que {D} est une sous-algèbre et que {\operatorname{Com}(M)\in D} pour {M\in D}, d’abord inversible puis quelconque.

Si {AB=0} dans {\mathcal M_n(\mathbb{C})}, montrer {\operatorname{tr}(A+B)^k=\operatorname{tr}A^k+\operatorname{tr}B^k} pour tout {k\ge1}.

1) Si une forme linéaire {f} sur {\mathcal M_n(\mathbb{K})} vérifie {f(AB)=f(BA)}, montrer qu’elle est proportionnelle à la trace.

2) Si {g} est un endomorphisme d’algèbre de {\mathcal M_n(\mathbb{K})}, montrer {\operatorname{tr}\circ g=\operatorname{tr}}.

Soit {f:\mathcal M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}} non constante, {f(AB)=f(A)f(B)}.

Montrer que {A} est inversible si et seulement si {f(A)\ne0}.

Si {A^2=AA^T} pour une matrice réelle, montrer que {A} est symétrique.

Soit {\varphi} une forme linéaire sur {M_n(K)}.

Montrer qu’elle s’écrit {\varphi(M)=\operatorname{tr}(AM)}.

En déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} avec {A^2=0}.

Donner une condition nécessaire sur {n,A} pour l’existence de {B} avec {B^2=A}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} avec {A=B^3} et {\operatorname{rg}A=1}.

Donner une relation entre leurs traces.

1) Si {\det(A+M)=0}, déterminer {\operatorname{tr}(A^{-1}M)}.

2) Sinon, donner {(A+M)^{-1}}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, étudier l’inversibilité de {M=\begin{pmatrix}I&A\\[4pt]A&I\end{pmatrix}} et calculer son inverse lorsqu’il existe.

1) Sur un espace de dimension {n}, si {1\le p\lt n} et {u} préserve tous les sous-espaces de dimension {p}, montrer que {u} est scalaire.

2) Si {A\in M_n(\mathbb{C})} n’est pas scalaire et {M} commute avec toutes les matrices semblables à {A}, déterminer {M}.

3) Même question sur {\mathbb{R}}.

1) Montrer {(A-cI)^kB=BA^k} pour tout {k\ge0}.

2) Montrer {e^{-ct}e^{tA}B=Be^{tA}} pour {t\in\mathbb{R}}.

Une matrice est stochastique si ses coefficients sont positifs ou nuls et ses sommes de lignes valent {1}.

Déterminer quand {e^{tA}} est stochastique pour tout {t\ge0}.

Quelles matrices complexes commutent avec chaque matrice de leur classe de similitude ?

1) Montrer que {M=\begin{pmatrix}A&-B\\[4pt]B&C\end{pmatrix}} est diagonalisable.

2) Si {B=0}, donner une base de diagonalisation construite à partir de vecteurs propres de {A} et {C}.

3) Montrer que {\operatorname{rg}(EG)=\operatorname{rg}(GE)=\operatorname{rg}G} pour {E\in GL_2(\mathbb{R})} et {G\in M_2(\mathbb{R})}.

4) On suppose {A} inversible. Posant {P=\begin{pmatrix}I_2&A^{-1}B\\[4pt]0&I_2\end{pmatrix}}, calculer {MP}.

En déduire le rang de {M}.

Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{K})} et {P\in\mathbb{K}[X]} avec {P(0)\ne0}. On suppose {AB=P(A)}.

Montrer que {A} est inversible, puis que {A} et {B} commutent.

1) Soit {\phi} une forme linéaire sur {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe une unique {A} telle que {\phi(M)=\operatorname{tr}(AM)} pour tout {M}.

2) Déterminer les formes linéaires satisfaisant {\phi(MN)=\phi(NM)} pour tous {M,N}.

1) Montrer qu’il existe {a,b\in\mathbb{C}^n} tels que {M=ab^T}.

2) Montrer que {M^2=(\operatorname{tr}M)I_n}.

3) Calculer {\chi_M}.

À quelle condition {M+I_n} est-elle inversible ? Dans ce cas, expliciter son inverse.

Déterminer les matrices {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que, pour toute {B}, {AB=0} implique {BA=0}.

1) Exprimer sa dimension en fonction de celle de {V}.

2) Déterminer {V^\circ} si {V} est l’espace des matrices triangulaires supérieures.

1) À l’aide des dilatations {I_n+(\lambda-1)E_{ii}}, montrer que {A} est diagonale, puis que toute matrice de {\mathcal S(A)} est diagonale.

2) À l’aide des transvections {I_n+E_{ij}}, {i\ne j}, montrer que {A\in\mathbb{C}I_n}.

Déterminer les applications {f:\mathbb{R}^n\to\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {f(PX)=Pf(X)P^{-1}} pour tout {X\in\mathbb{R}^n} et tout {P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}.

1) Si {A} est singulière, montrer qu’elle est équivalente à une matrice nilpotente, puis que {f(A)} est singulière.

2) Montrer que {f} est un automorphisme de l’espace vectoriel {\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Soit {D_n} le sous-groupe des matrices diagonales inversibles de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}.

Déterminer les {P} inversibles telles que {PMP^{-1}\in D_n} pour toute {M\in D_n}.

Soient {A,B,C\in\mathcal M_2(\mathbb{C})} tels que {C=AB-BA} et {C} commute avec {A} et {B}.

Montrer que {C=0}.

Soient {J} la matrice complexe de taille {n} dont tous les coefficients valent un et {A} telle que {A^3=J}.

Montrer que {(\operatorname{tr}A)^3=\operatorname{tr}J}.

1) Montrer que {u:S\mapsto MSM^T} est un endomorphisme de {\mathcal S_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que {2\operatorname{tr}u=\operatorname{tr}(M^2)+(\operatorname{tr}M)^2}.

3) Montrer que {u} est un automorphisme si et seulement si {M} est inversible.

Déterminer les {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {e^{tA}} soit stochastique pour tout {t\ge0} : coefficients positifs et somme de chaque ligne égale à un.

1) Montrer que {\mathcal A} est stable par somme et produit.

2) Si {A\in\mathcal A} et {M'=AM} sur {\mathbb{R}_+} avec {M(0)\in\mathcal A}, montrer que {M(t)\in\mathcal A} pour tout {t\ge0}.

Sur {M_n(\mathbb{R})}, poser {A\sim B} s’il existe {P\in GL_n(\mathbb{R})} tel que {A=PB}.

Montrer que c’est une relation d’équivalence et caractériser ses classes.

Soit {q(x)=x_0^2-\sum\limits_{k=1}^{n-1}x_k^2} et {G=\left\{f\in GL(\mathbb{R}^n):q(f(x))=q(x)\right\}}.

Montrer la stabilité par composition et inverse, puis que {\beta(x,y)=(q(x+y)-q(x)-q(y))/2} est bilinéaire symétrique.

Avec {J=\operatorname{diag}(-1,1,\ldots,1)}, montrer {f\in G} si et seulement si {A^TJA=J}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, poser {N(A)=\operatorname{tr}(AA^T)}.

Montrer {N(AB)\leq N(A)N(B)}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} et {M=\begin{pmatrix}A&A\\[4pt]A&B\end{pmatrix}}.

Donner une condition nécessaire et suffisante d’inversibilité, puis calculer {M^{-1}}.

1) Soit {P\in GL_n(\mathbb{C})}, écrit {P=Q+iR} avec {Q,R} réelles.

Montrer qu’il existe {\lambda\in\mathbb{R}} tel que {Q+\lambda R\in GL_n(\mathbb{R})}.

2) En déduire que deux matrices réelles semblables sur {\mathbb{C}} le sont sur {\mathbb{R}}.

3) Si {A^3=B^3=I} et {\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}B}, montrer que {A,B} sont semblables.

Soit {P\in M_n(\mathbb{R})} représentant un projecteur de rang {r}.

Déterminer la trace de {\Psi:M_n(\mathbb{R})\to M_n(\mathbb{R})}, {\Psi(X)=PX-XP}.

1) Pour {M=(\binom ji)_{0\le i,j\le n}}, déterminer {M^{-1}}.

2) Exprimer {n!} à l’aide des {D_k}.

3) En déduire une expression de {D_n}.

1) Montrer que {M\in V} si et seulement s’il existe {X,Y\in\mathbb{K}^n} tels que {M=XY^T}.

2) Soient {M_1=X_1Y_1^T}, {M_2=X_2Y_2^T}.

Montrer que si {\operatorname{rg}(M_1+M_2)\leq1}, alors {(X_1,X_2)} ou {(Y_1,Y_2)} est liée.

1) Déterminer le rang de {M}.

2) À quelle condition {M} est-elle inversible ?

3) Cette condition étant vérifiée, déterminer {M^{-1}}.

Soit {n\geq2} et {\Delta=\operatorname{diag}(n,n-1,\ldots,1)}.

Déterminer l’ensemble des matrices semblables à {\Delta} et qui commutent avec {\Delta}.

1) Calculer {A^n} pour {n\in\mathbb{N}}.

2) Déterminer une base de l’espace engendré par les puissances de {A}.

3) Déterminer l’ensemble des matrices commutant avec {A}.

Montrer qu’une matrice réelle rectangulaire de rang {r>0} est somme de {r} matrices de rang un.

Pour {A=(\alpha_i\beta_j)}, donner le rang et montrer {A^2=(\operatorname{tr}A)A}.

Si la trace est non nulle, écrire l’endomorphisme comme produit d’une homothétie et d’un projecteur.

Montrer que toute matrice de rang un s’écrit {XY}, avec une colonne et une ligne non nulles.

Déterminer ensuite les {A\in M_3(\mathbb{R})} avec {A^2=0}.

Montrer de deux façons que {f(M)=M+\operatorname{tr}(M)I_n} est un isomorphisme de {M_n(\mathbb{C})} et expliciter son inverse.

Soient {A^2=A}, {B^2=B} et {AP_1=P_2B} avec {P_1,P_2} inversibles.

Montrer qu’il existe {Q} inversible tel que {AQ=QB}.

Une forme linéaire {\varphi} sur {M_n(\mathbb{R})} est invariante par similitude.

Montrer qu’elle est proportionnelle à la trace.

Montrer que {A\mapsto(M\mapsto\operatorname{tr}(AM))} est un isomorphisme de {M_n(\mathbb{R})} sur son dual.

Si {g(AB)=g(BA)} pour tous {A,B}, montrer que la forme {g} est proportionnelle à la trace.

Pour {d\geq2}, soit {H_d} l’espace des matrices réelles de trace nulle et {\gamma} linéaire vérifiant {\gamma([A,B])=[\gamma(A),B]}.

Montrer {M_d=\mathbb{R}I\oplus H_d}, que {\gamma(I)} est scalaire, et que {\gamma} envoie les matrices diagonales sur des matrices diagonales.

Trouver les matrices réelles {B} telles que {B^2=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&2\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})}.

Calculer la trace de {\varphi:M\mapsto AMB}.

1) Montrer que {A\mapsto(X\mapsto\operatorname{tr}(AX))} est un isomorphisme sur le dual de {M_n(\mathbb{R})}.

2) Si {g(AB)=g(BA)} pour une forme linéaire {g}, montrer que {g} est proportionnelle à la trace.

3) Si {h} est linéaire, {h(I)=I} et {h(AB)=h(BA)}, montrer que {h} conserve la trace.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, résoudre {X+X^T=\operatorname{tr}(X)A}.

1) Rappeler la base canonique de {M_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que la matrice de {\Phi(M)=\operatorname{tr}(M)I+M} dans cette base est symétrique.

3) Montrer {E_{ii}\sim E_{11}} et {E_{ij}\sim E_{12}} si {i\ne j}.

4) Si {N^n=0}, {N^{n-1}\ne0}, montrer {N\sim N^T}.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{K})}, poser {M=\begin{pmatrix}A+B&A-B\\[4pt]A-B&A+B\end{pmatrix}}.

Caractériser son inversibilité et calculer alors son inverse.

Pour {n\geq2}, poser {K_0=0} et, pour {1\leq r\lt n}, {K_r} la matrice ayant des uns en positions {(i,n-r+i)}, {1\leq i\leq r}, et des zéros ailleurs.

Montrer qu’elle est nilpotente.

Si {f:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}} est non constante et multiplicative, montrer {f(A)=0} si et seulement si {A} est singulière.

Soient {S} symétrique réelle à diagonale nulle et {D} diagonale réelle.

Montrer que {S+D} est semblable à {S} si et seulement si {D=0}.

Soient {A} symétrique réelle, {B} antisymétrique réelle et {M} inversible, avec {A=MBM^{-1}}.

Montrer {A=B=0}.

Soit {n\ge1}. On énumère les parties non vides {S_1,\ldots,S_k} de {\left\{1,\ldots,n\right\}} et l’on pose {a_{ij}=1} si {S_i\cap S_j\ne\varnothing}, {a_{ij}=0} sinon.

Déterminer le rang de {A=(a_{ij})}.

a) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, poser {f_A(M)=\operatorname{tr}(AM)}.

Montrer que {A\mapsto f_A} est un isomorphisme de {M_n(\mathbb{R})} sur son dual.

b) Si une forme linéaire {g} vérifie {g(AB)=g(BA)} pour toutes {A,B}, montrer qu’elle est proportionnelle à la trace.

c) Si un endomorphisme {h} de {M_n(\mathbb{R})} vérifie {h(AB)=h(BA)} pour toutes {A,B}, montrer qu’il préserve la trace.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, soit {S(A)} l’ensemble des matrices semblables à {A}.

Déterminer les {A} telles que {S(A)} soit fini.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, résoudre {X+X^{\mathsf T}=\operatorname{tr}(X)A}.

a) Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} tel que {(X,AX)} soit liée pour tout vecteur colonne {X}.

Que dire de {A} ?

b) Montrer que toute matrice complexe de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.

a) Existe-t-il {A,B\in M_n(\mathbb{R})} tels que {AB-BA=I_n} ?

b) Si {A\ne0} est de trace nulle, montrer qu’il existe {u} tel que {(u,Au)} soit libre.

c) Montrer qu’une matrice réelle de trace nulle est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} tel que {X^{\mathsf T}AX=0} pour tout {X}.

Montrer {\det A\ge0}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Résoudre {X^T+X=\operatorname{tr}(X)A}.

Soit {n\geq2} et {A\in M_n(\mathbb{R})} de rang un et de trace nulle.

Montrer qu’elle est semblable à {E_{1n}}.

1) Existe-t-il {A,B\in M_n(\mathbb{R})} tels que {AB-BA=I_n} ?

2) Si {A\ne0} a une trace nulle, montrer qu’il existe {u\in\mathbb{R}^n} tel que {(u,Au)} soit libre.

3) Montrer que toute matrice réelle de trace nulle est semblable à une matrice à diagonale nulle.

Soit {p\geq2}. Déterminer les matrices triangulaires supérieures {M\in M_2(\mathbb{C})} telles que {M^p=I_2}.

Résoudre dans {M_3(\mathbb{R})} l’équation {X^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]1&1&0\\[4pt]1&0&4\end{pmatrix}.}

Déterminer les {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que {M^2=MM^T}.