Pour {\alpha,\beta>0}, étudier {\int_0^\infty t^\beta\,dt/(1+t^\alpha\sin^2t)}.

Pour {a\lt b}, étudier et calculer {\int_{-\infty}^{\infty}(f(t+a)-f(t+b))\,dt}.

Montrer que {\int_1^\infty f(t)t^{-\alpha}\,dt} converge pour {\alpha>0}.

Est-ce encore vrai si {f} est continue par morceaux ?

Donner des équivalents des intégrales sur {[n\pi,(n+1)\pi]} et sur {[n\pi,\infty[} lorsque {n\to\infty}.

2) Pour une fraction rationnelle {F=P/Q} de degré au plus {-2}, à pôles simples non réels, calculer {\int_{-\infty}^\infty F}.

3) En déduire {\int_{-\infty}^\infty dx/(1+x^{2n})}, {n\geq1}.

Pour {a,b>0}, étudier et calculer {I(a,b)=\int_0^\infty(f(bx)-f(ax))\,dx/x}.

Calculer aussi {\int_0^1(x-1)\,dx/\log x} et {\int_0^\infty(\arctan(2x)-\arctan x)\,dx/x}.

Montrer que {ff''}, puis {(f')^2}, sont intégrables sur {\mathbb{R}_+}. Établir {(\int_{\mathbb{R}}(f')^2)^2 \leq\int_{\mathbb{R}}f^2\int_{\mathbb{R}}(f'')^2.}

Déterminer sa condition d'existence, une récurrence et une expression, sa limite lorsque {n\to\infty} et un équivalent {K(\alpha)n^{-1/\alpha}}.

Étudier {I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx} et donner un équivalent.

Montrer {n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx\to\sum\limits_{k=3}^\infty1/k^2}.

Développer {f} en fonctions rationnelles et en déduire ses équivalents en {0^+} et {+\infty}.

Calculer {I(5/2)}.

Montrer {\int_0^1(f')^2\ge\pi^2\int_0^1f^2} et étudier l'égalité.

Pour {a,b>0}, donner un équivalent de {I_n=\int_0^1\cos(n(au^2+bu^3))du}. Indication : poser {t=\sqrt{na}\,u}.

Justifier l'existence, relier {I_{n+1}} à {I_n}, donner la limite et un équivalent {K(\alpha)n^{-1/\alpha}}.

Donner un équivalent de {\int_0^1x^nf(x)dx} et montrer {n\int_0^1x^nf(x^n)dx\to\sum\limits_{k\ge3}k^{-2}}.

Déterminer le domaine.

Si {\lambda_n\to\infty}, montrer la convergence de {\int_0^\infty f} et la calculer, puis traiter {\lambda_n=n+1}.

Que dire de {\int_0^{+\infty}\log t/(a^p+t^p)\,dt} pour {p>2} ?

4) Retrouver le résultat par un calcul direct pour {a=1}.

Montrer que {\int_0^\infty F(t)/(t+1)^2dt} et {\int_0^\infty f(t)/(t+1)dt} sont de même nature.

2) Si {\int_0^Tf\ne0} et {a\in]0,1]}, donner un équivalent de {\int_1^xf(t)/t^a\,dt} lorsque {x\to+\infty}.

Déterminer les {n\in\mathbb{N}} pour lesquels elle est définie et donner un équivalent de {I_n}.

2) Étudier la convergence de {(I_n)} et sa limite.

3) Donner un équivalent de {I_n}.

2) En déduire la valeur de {\sum\limits_{n\ge1}1/(2^nn^2)}.

Étudier la convergence et calculer {\int_0^{+\infty}\frac{2-2\cos u-u\sin u}{u^4}\,du.}

Montrer que {S(r)=\sum\limits_{k\ge1}f(kr)} existe pour {r>0}, et donner un équivalent lorsque {r\to0^+}.

Si {\int_1^\infty f(t)/t\,dt} converge, montrer la convergence et calculer {\int_0^\infty(f(at)-f(bt))/t\,dt}.

Montrer que {x^{-1}\int_0^xf(t)\,dt\sim f(x)/3}.

Déterminer un équivalent simple de {f(x)} à l'infini.

Montrer que, pour tout {x\ge0}, {\int_x^\infty f(t)^2\,dt\le\frac23f(x)\int_x^\infty f(t)\,dt.}

Montrer que {\int_0^1f(t)^n\,dt\to0}.

Déterminer la limite de {\frac1n\left(\int_0^\infty\bigl(\log(1+e^{nf(x)})\bigr)^ne^{-x}\,dx\right)^{1/n}.}

Montrer que {\sum\limits a_n} converge exactement lorsqu'elle est {B}-convergente, avec égalité de sa somme et de l'intégrale.

Montrer que {F} est constante et calculer sa valeur.

Justifier sa définition et montrer {I_n(z)\to G(z)}.

Montrer que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}, et donner les coordonnées de {Q} à l'aide des {Q(-a_i)}.

Calculer {\int_0^\infty dt/\prod\limits_{i=0}^n(t+a_i)}.

Justifier son existence pour {n} assez grand, relier {u_{n+1}} à {u_n}, donner un équivalent et montrer la convergence de {\sum\limits(-1)^nu_n}.

Étudier {\sum\limits u_n(\alpha)} selon {\alpha}, puis calculer les sommes pour {\alpha=2,3}.

2) Pour {n\geq1}, justifier l'existence et calculer {\int_0^\infty\sin(nt)dt/(e^t-1)}.

Étudier son intégrabilité sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer que {f} est bijective, puis étudier l'intégrabilité et la convergence de l'intégrale de {F(x)=\sin(2x^7+x)} sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer la convergence de {I_1=\int_0^1ff'\cot(\pi x)dx} et {I_2=\int_0^1f^2(1+\cot^2(\pi x))dx}, les relier, puis montrer {\int_0^1f^2\le\pi^{-2}\int_0^1(f')^2}.

Montrer la convergence de {\int_0^\infty\sin t/\sinh t\,dt} et son expression {\sum\limits_{n\ge0}2/(1+(2n+1)^2)}. Adapter le calcul à {\int_0^\infty\sin t/\cosh t\,dt}.

En déduire une fonction réelle continue sur {\mathbb{R}_+}, non identiquement nulle, dont tous les moments {\int_0^\infty t^kg(t)\,dt} sont nuls.

Que dire de l'intégrabilité de {g} ?

Montrer que {f_a} est bien définie et croissante, puis donner sa limite à l'infini.

Pour {0\lt \eta\lt 1}, montrer {\frac\pi{\sqrt{1+a^2}}\leq I(a)\leq2\left( \arcsin\eta+\frac{\pi/2-\arcsin\eta}{\sqrt{1+a^2\eta^2}}\right).}

Décomposer l'intégrande en {\sum\limits_{k=1}^na_k/(t+k)}, expliciter les coefficients et en déduire {I_n=-\sum\limits a_k\ln k}.

En déduire les limites de {(n!/n^n)^{1/n}} et {(\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/(2n)))^{1/n}}.

Justifier leur existence, montrer {J_n\to0} par convergence dominée, puis calculer {J_n} avec la fonction {\Gamma}.

Montrer {0\leq J_n-I_n\leq\Gamma(a+b+1)/n^{a+b+1}} et {I_n\sim J_n}.

Justifier son existence, le représenter par une série et donner un équivalent.

Justifier l'existence de {a_n=\int_0^{+\infty}e^{-nt}f(t)/\sqrt t\,dt} et donner un équivalent.

Montrer {I(x)=\int_0^ag(t)e^{-tx}\,dt=g(0)/x+o(1/x)} à l'infini.

Exprimer {g}, puis établir {\lVert g\rVert_p\leq\lVert f\rVert_p/\omega} pour {p=\infty,1,2} lorsque la norme correspondante de {f} est finie. On utilise les normes usuelles {\lVert f\rVert_1=\int_0^\infty|f|}, {\lVert f\rVert_2=(\int_0^\infty|f|^2)^{1/2}} et {\lVert f\rVert_\infty=\sup_{x\ge0}|f(x)|}.

Montrer qu'il existe un unique réel {a} tel que {\int_1^\infty(f(t)-a)dt/t} converge.

Justifier son existence, déterminer sa limite, puis écrire l'intégrande {\sum\limits_{k=1}^na_k/(t+k)}, calculer les {a_k} et montrer {I_n=-\sum\limits_ka_k\ln k}.

Montrer qu'il existe un unique {u_n>0} avec {h(u_n)=n\pi}, déterminer les limites de {u_n} et {u_{n+1}-u_n}, puis étudier {\int_0^\infty\sin(h(t))dt}.

Montrer {\int_0^1\ln(1+y)dy/y=\sum\limits_{k\geq0}(-1)^k/(k+1)^2}, puis donner un développement de {I_n} à trois termes.

Montrer que {(u_n)} converge si et seulement si {1/f} est intégrable sur {\mathbb{R}}.

Justifier l'existence, montrer la stricte monotonie et la convergence, puis que {nI_nI_{n+1}} est constant et donner un équivalent de {I_n}.

Montrer {g(x)=g(1)|x|}, puis calculer {g} en admettant l'intégrale de Dirichlet {\pi/2}.

Pour {g'+\omega g=f}, {g(0)=0}, donner une expression de {g}.

Si {f} est bornée, montrer {\lVert g\rVert_\infty\leq\lVert f\rVert_\infty/\omega}.

Si {f} est intégrable, montrer {\lVert g\rVert_1\leq\lVert f\rVert_1/\omega}.

b) Montrer que {Q} est positif sur {\mathbb{R}}.

Montrer {tf(t)\to0} à l'infini. Indication : considérer {\int_t^{2t}f(x)dx}.

Montrer que {\int_0^\infty f^2} converge et qu'elle est au plus {(\int_0^\infty(f')^2)^{1/2}(\int_0^\infty t^2f^2)^{1/2}}.

Montrer la convergence et déterminer la limite de {I_n}.

Justifier l'existence et donner un équivalent en {+\infty}.

b) Déterminer {\lim J_n}.

c) Exprimer {J_n} avec {\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt}.

d) Donner un équivalent de {I_n} à l'aide de {J_n}.

Calculer cette somme pour {p=1,2,3}.

b) Justifier {J=\int_0^1\log(1+u)/u\,du}.

c) Montrer {I_n\sim J/n}.

d) Montrer {J=\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n^2}.

b) Pour {J=\int_0^1\log x/(x^2-1)dx}, montrer {I=2J}.

c) Exprimer {J} par une série.

d) En utilisant {\sum\limits_{n\ge1}n^{-2}=\pi^2/6}, calculer {J}.

Montrer qu'elle est bien définie et que {J=\sum\limits_{n=0}^{\infty}1/(n(n+1)^2)}.

En déduire sa valeur.

b) Montrer {g\in C^2} et {g''-g=f}.

c) Une autre solution {C^2} bornée de cette équation est-elle égale à {g} ?

Étudier et calculer {\int_{-\infty}^\infty(f(b+t)-f(a+t))dt}.

Pour {a\lt b}, montrer la convergence et calculer {\int_{-\infty}^\infty(f(b+x)-f(a+x))dx}.

Pour {A>0} et {f} continue nulle hors de {[-A,A]}, montrer que {\int_{\mathbb{R}}f\phi_n\to f(0)}.

2) Justifier et calculer {\int_0^1\ln(1+u)/u\,du}.

Donner un équivalent puis un développement à deux termes en {+\infty}.