Montrer {b-a\geq\pi} et donner un exemple avec égalité.

Pour {1\leq k\leq n-1}, montrer {\sum_{i=1}^{n-1}\frac{k^i}{i!}f^{(i)}(x) =f(x+k)-f(x)-g_k(x),\qquad |g_k(x)|\leq\frac{k^n}{n!}\sup_{[x,x+k]}|f^{(n)}|.}En déduire {f^{(i)}(x)\to0} pour {1\leq i\lt n}.

Montrer que l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.

Montrer que {f^{(n)}(t)=P_n(t)/(1+t^2)^{n+1/2}} avec {P_n\in\mathbb{R}[X]}.

Trouver une relation linéaire entre {P_{n+2},P_{n+1},P_n}.

Montrer que {f} est dérivable en {0} si et seulement si {x\mapsto(f(2x)-f(x))/x} possède une limite en {0}.

À quelle condition {g} se prolonge-t-elle continûment à {I} ? Le prolongement est-il de classe {C^1} ?

2) Montrer qu'il existe une suite {(x_n)} strictement croissante avec {f^{(n)}(x_n)=0} pour tout {n\in\mathbb{N}}.

2) En déduire que {f',\ldots,f^{(n-1)}} sont bornées.

Montrer que sa restriction à un cercle de rayon strictement positif n'est pas injective.

Si {f(a_n)\to\ell\in\mathbb{R}}, montrer que {f(x)\to\ell} à l'infini.

Montrer que ses points de discontinuité forment un ensemble au plus dénombrable.

Si {\Gamma\ne\varnothing}, montrer qu'il n'est ni majoré ni minoré.

Montrer qu'elle possède un point fixe si elle est continue, puis si elle est seulement croissante. Dans le second cas, considérer {\sup\left\{x:f(x)\geq x\right\}}.

Calculer {\lim_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^nf(k/n^2)}.

2) Pour {f\in E}, déterminer sa limite en zéro et montrer que {f,f^{-1}} sont {C^\infty}.

3) Montrer {x=o(f(x))} à l'infini et que {f} possède un unique point fixe.

Montrer que chaque réel a une infinité d'antécédents.

Déterminer ses domaines de définition, continuité et dérivabilité, puis sa limite et un équivalent en {+\infty}.

Et une surjection continue {]0,1[\to[0,1]} ?

Déterminer les fonctions dérivables telles que {(f(x)-f(y))/(x-y)=f'(px+qy)} pour {x\ne y}.

Montrer que si {f\ne\operatorname{id}} elle est strictement décroissante, possède un point fixe {d}, et que sa restriction {g} à {[d,\infty[} est continue strictement décroissante de {d} à {-\infty}.

Réciproquement, prolonger toute telle {g} en une involution continue.

Montrer que {f'(0)=\ell/(1-k)}.

Montrer {f(x)=x}.

2) Pour {a,b,c>0} distincts, déterminer les fonctions {C^\infty} avec {f(ax)+f(bx)+f(cx)=0}.

Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} possèdent chacune un unique point fixe.

Montrer qu'il existe {c} avec {f(c)=g(c)}.

2) Même question pour {f:\mathbb{R}\to]-1,1[} avec {f(2x)=2f(x)/(1+f(x)^2)}.

Montrer qu'il existe {x\in]a,b[} tel que {f'(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)}.

b) Si {f(x_0)=0}, montrer {f(x_0/2^n)=0}, puis {f\equiv0}.

c) Déterminer toutes les solutions continues.

Montrer qu'il n'existe aucune fonction dérivable {f} telle que {\cos=f\circ f}.

Montrer qu'il existe {x\in]a,b[} tel que {f'(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)}.

Montrer {f=0}.

Montrer que {a} est {C^\infty} et que son graphe est symétrique par rapport à {y=-x}.

Montrer {f'(x_0)=0}.

Montrer que {Q=P+P'+\cdots+P^{(n)}} est minoré sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que chaque réel a une infinité d'antécédents.

Montrer que {f\circ g} et {g\circ f} ont chacun un unique point fixe.