Dans une urne de {k} boules blanches et {n-k} noires, on tire toutes les boules sans remise.

Calculer l’espérance du rang {X} de la dernière blanche.

Calculer les espérances de leur minimum {X} et de leur maximum {Y}.

Justifier que {M} est une variable aléatoire, calculer {\mathbb{P}(M=\infty)}, montrer {\mathbb{P}(M\geq n)=\sum_{k=0}^{m-1}\binom{n-1}k p^k(1-p)^{n-1-k},}puis calculer son espérance et sa variance.

Exprimer {\mathbb E(R_n)} avec les événements {\bigcup_{i=1}^n\left\{X_i=k\right\}}.

Montrer que {X} est presque sûrement constante, successivement sous l’hypothèse d’un moment d’ordre {2}, sous celle d’une minoration, puis sans hypothèse supplémentaire.

Montrer que son espérance est finie et que {X\leq\lambda \mathbb E(X)+X\mathbf1_{\left\{X\geq\lambda \mathbb E(X)\right\}}} pour {\lambda>0}.

Si {\mathbb E(X^2)>0}, établir {\mathbb{P}(X\geq\lambda \mathbb E(X)) \geq(1-\lambda)^2\frac{(\mathbb E(X))^2}{\mathbb E(X^2)}}pour {0\lt \lambda\leq1}.

Si {X_1,\ldots,X_n} ont un moment d’ordre {n}, montrer que leur produit est intégrable et {\mathbb E(\prod\limits X_i)\leq\sum\limits \mathbb E(X_i^n)}.

Justifier l’existence de {m=\mathbb E(X_1)} et {V_4=\mathbb E(X_1-m)^4}. Montrer {\mathbb{P}\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-m\right|\geq\varepsilon\right) \leq\frac{3V_4}{\varepsilon^4n^2}.}

Deux joueurs lancent chacun {n} fois une pièce équilibrée, indépendamment. Soit {X} leur différence de nombres de Pile.

Déterminer sa loi, son espérance, sa variance et {\mathbb E(|X|)}.

Calculer {\mathbb E(X)}.

Si {d_k} compte les permutations de {k} éléments sans point fixe, montrer {n!=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk d_k}, en déduire {d_n}, puis le nombre de permutations ayant exactement {k} points fixes.

Montrer que {Y_k} est intégrable et calculer son espérance.

Montrer que {\sum\limits\mathbb{P}(X\geq n)} converge et que {X} est intégrable.

Montrer que sa fonction génératrice est convexe sur {[0,1]}, puis {\mathbb E(\frac1{X+1})\leq1-\frac23\mathbb E(X)+\frac16\mathbb E(X^2).}

Déterminer sa loi et sa variance.

Si {X} est le rang de la dernière blanche, calculer sa loi, son espérance et sa variance.

Poser {X_1=1} et, pour {i\geq2}, {X_i=1} si le {i}-ième numéro est nouveau, {0} sinon.

Poser {Y_i=\sum\limits_{j=1}^iX_j}.

Déterminer les lois des {X_i}, l’espérance et la variance de {Y_i}, un équivalent de {\mathbb E(Y_n)}, les probabilités {P(X_i=X_j=1)} et l’indépendance.

Si {X_n} est son abscisse, calculer {\mathbb E(X_n)} et {\mathbb E(X_n^2)}.

Montrer {V(X)\leq(m-a)(b-m)} et l’optimalité de cette borne.

Montrer {\mathbb E(X/Y)\geq1}. Indication : commencer par le cas indépendant.

2) Montrer que {\mathbb E(\sqrt{P_n})\to0} équivaut à la convergence en probabilité de {(X_n)} vers zéro.

2) Montrer {P(A_n^\varepsilon)\leq3V_4/(n^2\varepsilon^4)}.

3) Montrer {P(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p^\varepsilon)=0}.

4) En déduire {n^{-1}\sum\limits_{i=1}^nX_i\to m} presque sûrement.

2) Pour {\mathbb E(Y)=m} fixé, donner une condition nécessaire et suffisante sur les {p_i} pour que la variance soit maximale, puis la loi de {Y}.

2) Calculer leurs variances, celle de {X_1+X_2} et {\operatorname{Cov}(X_1,X_2)}.

3) Sont-elles indépendantes deux à deux ? Mutuellement indépendantes ?

Dans ce cas, montrer qu’elle admet une variance et la calculer.

Comparer {\mathbb E(X^\alpha)} et {\mathbb E(X)^\alpha} dans la droite réelle achevée.

Minorer aussi précisément que possible {\mathbb E(X/Y)}.

2) Calculer {\mathbb{P}(2X\lt Y)}.

3) Comparer les probabilités que {X} soit pair ou impair.

Montrer que si {\sum\limits_n\mathbb{P}(E_n)} converge, {Z} est d’espérance finie.

Montrer que {Y} admet une espérance et la calculer.

2) Montrer {\mathbb E((X_1-X_2)^2)=2V(X_1)}, puis calculer la variance de {Y}.

2) Dans ce cas, montrer que {\mathbb{P}(Y\ge m)\le n!/(m(1-\lambda)^{n+1})} pour {m\ge1}.

2) Soient {Y,Z} indépendantes de loi {\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}.

Calculer {\mathbb E(1/(X+Y))}.

2) Montrer que {\mathbb E(1/(X+1))\le1-\tfrac23\mathbb E(X)+\tfrac16\mathbb E(X^2)}.

2) Montrer qu’il existe une variable {X} telle que {(k+n)\mathbb{P}(X=k+1)=(k+m)\mathbb{P}(X=k)} pour tout {k\ge0}.

3) Montrer que {X} est intégrable et calculer son espérance.

Calculer {\mathbb E(Y)}.

Montrer que {\mathbb E(\frac1{X+1})\le1-\frac23\mathbb E(X)+\frac16\mathbb E(X^2),}et caractériser l’égalité.

Calculer {\mathbb{P}(E_n)}.

Calculer {\mathbb E(N)}.

Montrer l’existence de {\ell\in\mathbb{R}} telle que, pour tout {\alpha>0}, {\mathbb{P}\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^n\cos(k/n+E_k)-\ell\right|>\alpha\right)\longrightarrow0.}

Donner des équivalents de {\mathbb E(X_n)} et {\mathbb E(X_n^2)} à l’infini.

Montrer que {\bigl(\mathbb E(f(X)^n)\bigr)^{1/n} \longrightarrow\sup\left\{f(x):\mathbb{P}(X=x)>0\right\}.}

Montrer que {\mathbb E(f(S_n/n))\to f(\mathbb E(X))}.

Pour {M=\max(X,Y)}, justifier sa qualité de variable aléatoire et déterminer sa loi.

Calculer son espérance et sa variance à l’aide de {m=\min(X,Y)}.

Calculer son espérance et sa variance, et en donner des équivalents.

Poser {Z=X} si {Y\leq m}, et {Z=Y} sinon.

Donner sa loi, calculer les trois espérances et déterminer les {m} maximisant {\mathbb E(Z)}.

Donner les probabilités des singletons, les espérances des {X_i} et de {N}, les covariances des {X_i}, puis la variance de {N}.

b) Déterminer {\mathbb E(X)} et {V(X)} si elles existent.

b) Établir une récurrence linéaire d’ordre deux vérifiée par {(\mathbb{P}(T=n))}.

c) Calculer l’espérance de {T}.

b) Calculer son espérance.

c) Si {p=q}, montrer que {\mathbb E(U)>1}.

Si {Y} est le numéro obtenu, montrer qu’elle a une espérance finie et la calculer.

Exprimer {B,S}, calculer leurs variances et covariance, étudier leur indépendance et donner la loi de {B}.

Montrer que {1/X} est d’espérance finie.

Montrer ensuite {1/\mathbb E(X)\leq \mathbb E(1/X)}.

Donner la loi de {X_k}, l’espérance de {Y} et la covariance de {X_k,X_\ell} pour {k\neq\ell}.

Montrer que les {\varphi_n} sont des polynômes convergeant uniformément vers {\varphi}.

b) Calculer l’espérance et la variance de {S_n}, puis leurs limites.

b) Calculer {\operatorname{Cov}(X_i,X_j)}.

b) Montrer qu’elle est presque sûrement finie.

c) Calculer son espérance.

Montrer qu’elles ont la même loi.

Montrer que {\mathbb E(X^k)=\int_0^\infty kt^{k-1}\mathbb{P}(X>t)dt}.

2) Donner sa loi, son espérance et sa variance.

Montrer que pour tout {\varepsilon>0}, {\mathbb{P}\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^nY_k-3p\right|\geq\varepsilon\right)\to0.}

Montrer que {\mathbb E(f(S_n/n))\to f(\mathbb E(X_1))}.

2) Montrer par récurrence que {V(D_n)=n!}.