Montrer la stabilisation à un rang {p}, puis {E=N\oplus I}, la stabilité par {u}, la nilpotence sur {N} et l’inversibilité sur {I}.

Montrer enfin l’unicité d’une telle décomposition stable.

Montrer que c’est un sous-espace, calculer sa dimension et en donner une base.

Montrer aussi l’équivalence avec {\operatorname{rang}f=\operatorname{rang}f^2}.

En déduire que {\operatorname{rang}M=p} équivaut à {D=CA^{-1}B}.

Si {V\subset M_n(\mathbb{R})} est un sous-espace dont le rang maximal est {p}, ramener le problème au cas {\operatorname{diag}(I_p,0)\in V}.

Avec {W=\left\{\begin{pmatrix}0&B\\[4pt]B^T&D\end{pmatrix}\right\}}, montrer {V\cap W=0} et conclure {\dim V\leq np}.

Pour {\lambda\neq1}, inverser {I-\lambda p}.

Montrer que {\Phi} n’est pas injective et que son noyau est de dimension infinie.

Pour {x_0\in E,w\in L(E)}, construire {v} tel que {\Phi(v)=w} et {v(e_0)=x_0}.

2) étant donnés {g:E\to G,h:F\to G}, trouver {f:E\to F} tel que {g=hf}.

Pour {A} nilpotente, poser {\varphi_A(M)=\operatorname{tr}(AM)} et {f_A(M)=AM-MA}.

Montrer {\ker f_A\subset\ker\varphi_A}, factoriser {\varphi_A} par {f_A}, puis trouver {B} tel que {A=AB-BA}.

2) Montrer que {\ker(u-I)} et {\operatorname{Im}(u-I)} sont en somme directe.

3) En dimension finie, montrer qu’ils sont supplémentaires et étudier la convergence simple puis en norme de {(v_n)}.

4) En dimension quelconque, montrer que leur supplémentarité implique la convergence simple de {(v_n)} et la fermeture de {\operatorname{Im}(u-I)}.

5) Étudier la réciproque.

Montrer que c’est un sous-espace et le déterminer, d’abord pour {n=1}, puis pour tout {n}.

Donner des exemples. En dimension infinie, montrer que les deux premières propriétés réunies équivalent à la troisième ; sont-elles séparément équivalentes ?

Si {\operatorname{rg}(u-I)=1} et {(u-I)^2=0}, montrer que {u} est une transvection.

La réciproque est-elle vraie ?

Montrer qu’un {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]} dont l’intégrale sur chacun est nulle est nul, puis qu’il existe un {P\in\mathbb{R}_n[X]} non nul ayant ces mêmes intégrales nulles.

2) Si {G,H} sont deux supplémentaires de {F}, {p} la projection sur {F} parallèlement à {G}, et {q} celle sur {H} parallèlement à {F}, montrer {\operatorname{rg}(p+q)=\operatorname{rg}p+\operatorname{rg}q}.

2) Tout sous-espace stable par {G} admet un supplémentaire stable.

2) En dimension infinie, montrer que les opérateurs de rang fini, puis ceux de rang fini pair, forment des parties denses.

Déterminer le commutant d’une partie dense.

Montrer que {\operatorname{Im}M_{ij}=F_i} ne dépend pas de {j}, que {\mathbb{K}^n=\bigoplus_iF_i}, calculer {\dim F_i}, puis montrer {M_{ij}=PE_{ij}P^{-1}} pour un même {P}.

Décrire les automorphismes de l’algèbre matricielle.

Montrer que {(Q_0,\ldots,Q_n)} est une base orthogonale.

Pour l’ensemble affine {F_{k,n}} des polynômes de coefficient de {X^k} égal à un, donner sa direction, trouver {R_k\in F_{k,n}\cap\overrightarrow F_{k,n}^{\perp}} et calculer sa norme au carré ; interpréter.

Étudier linéarité, injectivité, surjectivité et éléments propres.

Montrer que les suites de carré sommable forment un sous-espace stable, puis déterminer les quotients {\langle u,Du\rangle/\lVert u\rVert^2} non nuls.

2) Donner des contre-exemples en dimension infinie.

3) Dans toute dimension, montrer que la troisième propriété équivaut à la conjonction des deux premières.

Si un plan {F} est stable par {f}, montrer {\operatorname{Im}f\subset F}.

Montrer que leurs rangs valent {1} et {E=\bigoplus_i\operatorname{Im}p_i}.

2) Étant donnés {u}, un supplémentaire {E_1} de {\ker u} et un supplémentaire {F_1} de {\operatorname{Im}u}, montrer qu’il existe un unique tel {v} avec {\ker v=F_1}, {\operatorname{Im}v=E_1}.

2) Si {uv=0} et {u+v} est inversible, montrer {\operatorname{rg}u+\operatorname{rg}v=\dim E}, {\operatorname{Im}v=\ker u} et {E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u}.

2) Pour {x_0\in E} et {w\in L(E)}, montrer qu’il existe un unique {v} avec {\Phi(v)=w} et {v(e_0)=x_0}.

Montrer que tous leurs éléments ont le même rang.

2) Étudier la réciproque.

2) Poser {T(f)(x)=f(x)-\sum\limits_{n\ge0}f^{(n)}(0)x^n/n!}.

Montrer que {T} est un endomorphisme de {E} et que son image est un idéal.

3) Montrer que {E=\operatorname{Im}T\oplus\ker T}.

4) Déterminer le spectre de {T}.

2) Montrer que {\operatorname{Im}p_1+\cdots+\operatorname{Im}p_n} est une somme directe.

Si {\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\in\mathbb{Z}} avec {\lambda_0} impair, montrer que {\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lambda_kS^k} est inversible sur {\mathbb{Q}}.

En déduire l’existence d’un élément de rang un dans {\mathcal A}.

Montrer que {\operatorname{Im}u=\ker u^4}.

Que dire de {\varphi} ?

Montrer qu’il ne contient que des fonctions constantes.

Montrer que {\dim D=n}.

Montrer que la trace d’un projecteur est un entier naturel et que {q=r=0}.

Montrer {E=\operatorname{Im}u^k+S} pour tout {k\geq1}, puis {S=E}.

Que peut-on dire de {\overline F} si {F} est un hyperplan, en dimension finie puis en dimension quelconque ?

Calculer la matrice de la projection sur {H} parallèlement à {u}, puis l’image de la droite {D:x-y+z=0}, {2x+y-2z=0}.

Si {E=F+\operatorname{Im}u}, montrer {E=F}.

2) Donner l’image du plan {P:x-y-z=0} par {A}.

Montrer que {A=(P(x+i+j-2))_{1\le i,j\le n}} n’est pas inversible.

Montrer que {A_1\cdots A_n=0}.

2) Montrer l’unicité du pseudo-inverse s’il existe.

3) Si ces rangs sont égaux, montrer que {\ker A} et {\operatorname{Im}A} sont supplémentaires.

Étudier la réciproque de la première question.

2) Si {X\ge0} coordonnée par coordonnée, montrer que {B^{-1}X\ge0}.

3) En déduire que les coefficients de {B^{-1}} sont positifs ou nuls.

Déterminer les endomorphismes stabilisant tous les sous-espaces de dimension {d}.

Montrer que {G} est inversible si et seulement si la famille est libre, puis que {\operatorname{rg}G=\operatorname{rg}(x_1,\ldots,x_p)}.

Cette condition étant remplie, déterminer l’image réciproque de {(x_1,y_1,\ldots,x_n,y_n)}.

Montrer que {F=\ker u^k}.

Montrer que {\varphi} est injective et en déduire {\dim V\leq(n-r)^2}, où {r=\operatorname{rg}p}.

(ii) Montrer qu’il existe deux bases {b_1,b_2} de {E} telles que {\operatorname{Mat}_{b_1,b_2}(f)=\begin{pmatrix}I_r&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}.

Montrer que {\ker(p-\mathrm{id})\cap\operatorname{Im}(p-\mathrm{id})=\left\{0\right\}}.

(i) Si {u(x)=x} et {x=u(y)-y}, montrer par récurrence que {\lVert nx+y\rVert\leq\lVert y\rVert} pour tout {n\in\mathbb{N}}.

(ii) Montrer que {\ker(u-\mathrm{id})\cap\operatorname{Im}(u-\mathrm{id})=\left\{0\right\}}.

Et leur intersection ?

Est-il unique ?

Pour {x\in E}, {y\in F}, existe-t-il une application linéaire {f:E\to F} telle que {f(x)=y} ?

Montrer {\operatorname{rang}F\leq2}.

Montrer {vuv=v}, que {uv} est un projecteur, puis {uvu=u} et {v^2u=v}.

Montrer {pg=p}, puis que {p} est un projecteur d’image l’espace des vecteurs fixes ; en déduire que sa dimension est la moyenne des traces des éléments de {G}.

Montrer {\dim\ker f\geq\dim E/2}, puis {E=\ker f\oplus\ker g}, {\ker f=\operatorname{Im}f} et {\ker g=\operatorname{Im}g}.

Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace qu’il contient ?

Étudier l’espace des suites vérifiant {u_{n+k}=\sum\limits_{j=0}^{n-1}a_ju_{j+k}}, sa dimension et le décalage {u\mapsto(u_{k+1})}.

Montrer que les suites {(z_j^k)_k} en forment une base et en déduire la similitude de {\operatorname{diag}(z_j)} avec la matrice de surdiagonale {1} et de dernière ligne {(a_0,\ldots,a_{n-1})}.

Montrer que c’est un sous-espace et que {L^\alpha\cap L^\beta\subset L^\gamma} si {0\lt \alpha\lt \gamma\lt \beta}.

Montrer que {a_0\ne0} équivaut à : pour tout {Q\in\mathbb{R}[X]}, il existe un unique {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {Q=\sum\limits_{k=0}^na_kP^{(k)}}.

Montrer que {\Delta} est un endomorphisme, donner des bases de son noyau et de son image, puis une base où sa matrice n’a que des zéros et des uns.

Pour {d\in\mathbb{N}}, montrer que {\sum\limits_{k=0}^mk^d} est un polynôme en {m}.

Montrer que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]} et déterminer les coordonnées d’un polynôme dans cette base.

Déterminer les rangs de {A,B} et montrer {BA=I_2}.

Montrer que {F} est de dimension {n-1} si et seulement si {F=\ker\varphi} pour une forme linéaire non nulle.

Montrer ensuite que tout hyperplan de {M_n(\mathbb{R})} contient une matrice inversible.

Montrer de deux manières que {f} est un isomorphisme et déterminer {f^{-1}}.

2) Existe-t-il {u\in\mathcal L(\mathbb{R}[X])} tel que {u^2(P)=P'} pour tout {P} ?

Pour {B=0}, donner dimension et base de l’espace des solutions.

Montrer {\operatorname{Im}v\subset\operatorname{Im}f\iff v=fu} pour un {u\in\mathcal L(E,F)}.

Pour {f_1,\ldots,f_k\in\mathcal L(F,G)}, montrer de même {\operatorname{Im}v\subset\sum\limits_i\operatorname{Im}f_i\iff v=\sum\limits_if_iu_i}. On cherche ici {u_i\in\mathcal L(E,F)}.

Montrer {qfp=0\iff f(F)\subset F}.

Si {F} est de dimension finie et stable par {D}, montrer, lorsqu’il est non nul, qu’il contient un polynôme {R} de degré maximal {n} et que {(D^iR)_{0\leq i\leq n}} est libre.

En déduire tous les sous-espaces stables de dimension finie.

Donner un exemple sur {\mathbb{R}[X]}, discuter la dimension finie, puis montrer qu’il n’existe pas {u} avec {u^2=v}.

Si {E=S+\operatorname{Im}u}, montrer {S=E}.

Montrer {B^2A=B}.

Déterminer noyau, image et inverse ; montrer que la dimension est paire et que {(x,f(x))} est libre pour {x\ne0}. En dimension quatre, construire une base où la matrice est la somme directe de deux blocs {\begin{pmatrix}0&-4\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}.

Montrer sa linéarité, discuter injectivité et surjectivité, puis déterminer son noyau.

2) Montrer que les fonctions {e^{a_ix}}, pour des {a_i} réels distincts, sont libres.

3) L’espace des solutions de la première question est-il de dimension finie ?

b) Si {v_1,\ldots,v_k\in\mathbb{R}^n} vérifient {\sum\limits_{i=1}^kv_iv_i^{\mathsf T}=I_n}, montrer {k\ge n}.

ii) {\mathcal A=\left\{M\in M_2(\mathbb{C}):M^2=I_2\right\}}.

b) Soient {E} de dimension {n\ge2}, de base {(e_i)}, et {f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}}. On pose {p_n=(1/n!)\sum\limits_{\sigma\in\mathfrak S_n}f_\sigma}.

Montrer que {p_n} est un projecteur et expliciter son image et son noyau.

Vérifier {(AB)^2=AB}, déterminer les rangs de {A,B}, et montrer {BA=I_2}.

b) Dans une base {\mathcal B}, poser {L=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}\varphi} et {A=\operatorname{Mat}_{\mathcal B}f}.

Montrer que cette stabilité équivaut à {A^{\mathsf T}L^{\mathsf T}=\lambda L^{\mathsf T}}.

c) Trouver les droites stables de la matrice {\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}}.

b) Montrer que {n} est pair.

c) Pour {x\ne0}, montrer que {(x,f(x))} est libre.

d) Pour {n=4}, construire une base où la matrice est {\begin{pmatrix}0&-4&0&0\\[4pt]1&0&0&0\\[4pt]0&0&0&-4\\[4pt]0&0&1&0\end{pmatrix}}.

Montrer que {w} est un isomorphisme si et seulement si {u} est injective, {v} surjective et {F=\operatorname{Im}u\oplus\ker v}.

b) Montrer que {uv} est un projecteur.

c) Montrer {uvu=u}, puis {v^2u=v}.

Montrer que son image et son noyau sont supplémentaires.

b) Pour deux projecteurs {p,q}, montrer que {p+q} est un projecteur si et seulement si {pq=qp=0}.

Montrer {\operatorname{rg}(gf)\ge\operatorname{rg}f+\operatorname{rg}g-\dim F}.

Montrer que {vu} est un isomorphisme si et seulement si {u} est injective, {v} surjective et {\operatorname{Im}u\oplus\ker v=F}.

b) Si {u} est nilpotent d’indice {p}, montrer que {(\dim\ker u^k)_{k\in\mathbb{N}}} est strictement croissante, puis stationnaire.

Montrer que {A(\ker B)\subset\ker B} ou {A(\operatorname{Im}B)\subset\operatorname{Im}B}.

b) Soit {F\ne0} de dimension finie, stable par {D}.

i) Trouver {R\in F} de degré {n} tel que {F\subset\mathbb{R}_n[X]}.

ii) Montrer que {(D^jR)_{0\le j\le n}} est libre.

iii) En déduire {F=\mathbb{R}_n[X]}.

iv) Expliciter tous les sous-espaces stables par {D}.

Déterminer noyau et image de {B}.

b) Montrer {\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}A\subset\left\{|z|\lt 1\right\}\cup\left\{1\right\}}.

Si {1} n’est pas valeur propre, montrer {B=0}.

c) Montrer que la multiplicité algébrique de {1} est {\dim\ker(A-I)}.

b) En déduire que {(I,A,\ldots,A^{n-1})} est une base de {L}.

Montrer que {\dim F=n-1} si et seulement s’il existe une forme linéaire non nulle {\Phi:E\to\mathbb{K}} telle que {F=\ker\Phi}.

Montrer que {p-q} est un projecteur si et seulement si {qp=pq=q}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {v\in\mathcal L(E)} tel que {uv=0} et {u+v} soit inversible.

2) Montrer que {BA} est inversible.

3) Étudier les noyaux et images de {A,B}.

4) Déterminer {BA}.

Montrer que {\operatorname{rg}(ABC)+\operatorname{rg}B\geq\operatorname{rg}(AB)+\operatorname{rg}(BC)}.

Montrer que {A^2=B^2}, et que {A,B} ont le même noyau et la même image.

Déterminer tous les sous-espaces stables par {D}.

Simplifier {u_1\cdots u_n}.

Montrer que {A} est semblable à {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]I_n&0&0\\[4pt]0&I_n&0\end{pmatrix}}.

2) Montrer que {g:y\mapsto x} est linéaire.

3) Déterminer son noyau et son image.

2) Montrer que {\lVert T(f)\rVert_2\leq\lVert f\rVert_2/(3\sqrt{10})}.

3) Pour {F=\left\{f\in C^2([0,1]):f(0)=f(1)=0\right\}}, montrer que {\operatorname{Im}T\subset F}.

4) A-t-on égalité ?

Déterminer les sous-espaces {F} tels que : (i) {f\in F\Rightarrow |f|\in F} ;

(ii) {f\in F}, {f\geq0\Rightarrow\sqrt f\in F}. Indication : pour {g=|f|}, considérer {g,g^{1/2},\ldots,g^{1/2^n}}.