Soient {x_1,\ldots,x_p\in\mathbb{R}^n} avec {\langle x_i,x_j\rangle\lt 0} pour {i\neq j}.

Pour {x=\sum\limits_i\lambda_ix_i} et {y=\sum\limits_i|\lambda_i|x_i}, comparer leurs normes.

Si {x=0}, montrer que les coefficients sont tous nuls ou tous non nuls, puis que toute sous-famille de {p-1} vecteurs est libre.

Donner un exemple avec {p=3} dans {\mathbb{R}^2} et généraliser à {p=n+1}.

Minimiser {\int_0^\infty(x^3+ax^2+bx+c)^2e^{-x}\,dx} sur {\mathbb{R}^3}.

Pour {n\geq1} et {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}, minimiser {\varphi(P)=\sum\limits_{i=0}^n(i^n-P(i))^2}.

Dans {M_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire canonique, déterminer {S_n(\mathbb{R})^\perp} et la distance carrée d'une matrice {A} à {S_n(\mathbb{R})}.

Sur {E=C^1([0,1],\mathbb{R})}, poser {B(f,g)=\int_0^1(fg+f'g')}.

Montrer que c'est un produit scalaire.

Avec {F=\left\{f:f(0)=f(1)=0\right\}} et {G=\left\{g\in C^2:g''=g\right\}}, montrer {E=F\overset\perp\oplus G} et expliciter la projection sur {G}.

Pour {E_{a,b}=\left\{f:f(0)=a,f(1)=b\right\}}, décrire cet espace affine et minimiser {\int_0^1(f^2+f'^2)} dessus.

1) Montrer que {(Q_0,\ldots,Q_n)} est une base orthogonale de {\mathbb{R}_n[X]}.

2) Pour {0\leq k\leq n}, montrer que l'ensemble {F_{n,k}} des polynômes ayant leur coefficient de degré {k} égal à {1} est un hyperplan affine.

Préciser sa direction.

3) Trouver {P_0\in F_{n,k}\cap\overrightarrow{F_{n,k}}^{\perp}}.

4) Calculer {\min_{P\in F_{n,k}}\int_0^1P^2}.

Dans un espace euclidien de dimension {n}, montrer qu'il n'existe pas {n+2} vecteurs {v_i} tels que {\langle v_i,v_j\rangle\lt 0} pour {i\ne j}.

Donner les conditions pour que deux boules fermées, puis deux sphères, de centres {c_1,c_2} et rayons {r_1,r_2>0} d'un espace euclidien se rencontrent.

Dans un espace préhilbertien réel, une famille libre {(e_i)_{1\le i\le n}} vérifie {\lVert x\rVert^2=\sum\limits_i\langle x,e_i\rangle^2} pour tout {x}.

Montrer que c'est une base orthonormée.

Le résultat reste-t-il vrai si les vecteurs sont seulement non nuls ?

Dans un espace euclidien {E}, pour {A\subset E} poser {B=\left\{\langle x,y\rangle:x,y\in A\right\}}.

Montrer que {A} est fini si et seulement si {B} est fini.

Sur {\mathbb{R}[X]}, poser {\Phi(P,Q)=\int_0^\infty P(t)Q(t)e^{-t}dt}.

Montrer que c'est un produit scalaire, calculer {\Phi(X^p,X^q)}, orthonormaliser {(1,X,X^2)} et calculer {d(X^3,\mathbb{R}_2[X])}.

Montrer que pour {n\ge1} et {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}, {\int_0^\infty e^{-x}(P(x)+x^n)^2dx\ge(n!)^2}.

Sur {E=\mathbb{R}_3[X]}, montrer que {\varphi(P,Q)=\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt} est un produit scalaire et calculer {\inf_{a,b,c}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2dt}.

Calculer le minimum sur {\mathbb{R}^2} de {\int_0^1(t\log t-xt-y)^2dt}.

Pour {F\subset C([0,1],\mathbb{R})} sous-espace tel que {\lVert f\rVert_\infty\le C\lVert f\rVert_2}, montrer {F\ne E}. Pour une famille orthonormale {(f_1,\ldots,f_n)}, établir la borne correspondante sur ses combinaisons, puis {\dim F\le C^2}.

Soit {F=\left\{g\in C^2([a,b]):g(a)=g(b)=g'(a)=g'(b)=0\right\}}.

Montrer que {f\in C([a,b])} est de la forme {g''}, {g\in F}, exactement si {\int_a^bf=\int_a^btf(t)dt=0}.

Si {h} continue satisfait {\int_a^bhg''=0} pour tout {g\in F}, montrer que {h} est affine.

1) Montrer que c'est une base orthonormale de {E}.

2) Le résultat persiste-t-il si les vecteurs sont seulement non nuls ?

1) Pour des points distincts {u_0,\ldots,u_p}, montrer que la matrice {M_{ij}=\langle u_i-u_0,u_j-u_0\rangle} est inversible.

2) Montrer que {A} est finie.

1) Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1PQ/\sqrt{1-t^2}} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

2) Définir et étudier les polynômes {T_n} tels que {T_n(\cos x)=\cos(nx)}.

3) Pour les polynômes unitaires de degré {n\ge1}, déterminer le minimum de {\int_{-1}^1P^2/\sqrt{1-t^2}}.

Montrer l'inégalité de Hadamard {|\det M|\le\prod\limits_{j=1}^n\sqrt{\sum\limits_{i=1}^nm_{ij}^2}} pour une matrice réelle {M}.

Soit {f} sur un espace euclidien avec {\lVert f(x)\rVert\le\lVert x\rVert}.

Étudier la convergence de {u_n=(n+1)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nf^k}.

On munit {\mathbb{R}^n} de sa norme euclidienne. Soit {f\in C^0([a,b],\mathbb{R}^n)}.

Montrer que {\left\lVert \int_a^bf(t)\,dt\right\rVert=\int_a^b\lVert f(t)\rVert\,dt}si et seulement s'il existe {\Phi\in C^0([a,b],\mathbb{R}_+)} et {u\in\mathbb{R}^n} tels que {f(t)=\Phi(t)u} pour tout {t}.

Soit {f} continue sur {[0,\pi]} telle que {\int_0^\pi\cos(nt)f(t)dt=0} pour tout {n\ge0}.

Que dire de {f} ?

Soient {E} un espace euclidien et {X\subset E}.

Montrer que {X} est fini si et seulement si {\left\{\langle x,y\rangle:(x,y)\in X^2\right\}} est fini.

1) Montrer qu'il existe {x\ne0} avec {\langle ux,x\rangle=0}.

2) Montrer qu'il existe une base orthonormée dans laquelle la matrice de {u} a une diagonale nulle.

1) Montrer par Cauchy--Schwarz que {\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

2) Soient {A} et {(M_p)} avec {\lVert I-AM_0\rVert\lt 1} et {M_{p+1}=2M_p-M_pAM_p}.

Montrer que {A} est inversible et {M_p\to A^{-1}}.

3) Montrer que {M\mapsto\lVert I-AM\rVert} atteint un minimum, et le calculer en fonction de {A}.

Déterminer les {f\in C^0([0,\pi],\mathbb{R})} telles que {\int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt=0} pour tout {n\ge1}.

Soit {n\geq1}, avec {\mathbb{R}^n} muni de sa structure euclidienne canonique. Soient {v_0=0} et {v_1,\ldots,v_n} tels que {\lVert v_i-v_j\rVert\in\mathbb{Q}} pour tous {0\leq i,j\leq n}.

Montrer qu'il existe une relation de dépendance non triviale, à coefficients rationnels, entre {v_1,\ldots,v_n}.

Soit {(e_1,\ldots,e_n)} une base orthonormée d'un espace euclidien. Pour des vecteurs {u_k} vérifiant {\lVert u_k\rVert=1/n}, la famille {(e_1+u_1,\ldots,e_n+u_n)} est-elle une base ?

1) Montrer qu'il existe une unique suite de polynômes {H_n} telle que {e^{xt-t^2/2}=\sum\limits_{n\geq0}H_n(x)t^n} pour tous réels {x,t}.

2) Montrer {(n+1)H_{n+1}=XH_n-H_{n-1}} et {H_n'=H_{n-1}} pour {n\geq1}.

3) Montrer l'orthogonalité de cette famille pour {\langle P,Q\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2/2}\,dt}.

Soit {(e_k)_{k\geq0}} une famille orthonormée d'un espace préhilbertien réel {H}.

Montrer que {\ell^2(\mathbb{N})} est un espace vectoriel muni du produit scalaire {\langle u,v\rangle=\sum\limits_{k\geq0}u_kv_k}.

Pour {c_k(f)=\langle f,e_k\rangle}, montrer que {\Phi(f)=(c_k(f))_k} définit une application continue {H\to\ell^2}.

Dans un espace préhilbertien réel, montrer que {u_n\to u} et {\lambda_n\to\lambda} entraînent {\lambda_nu_n\to\lambda u}.

Si {u_n\to u}, {v_n\to v} et {u_n,v_n} sont colinéaires, montrer que {u,v} le sont en dimension finie.

Le résultat reste-t-il vrai en dimension infinie ?

Dans {E=\mathbb{R}_3[X]}, poser {L_i=\prod\limits_{0\leq k\leq3,k\ne i}(X-k)/(i-k)}.

Calculer {L_i(j)} et montrer que {(L_i)} est une base.

Montrer que {\varphi(P,Q)=\sum\limits_{k=0}^3(P(k)+P(k+1))(Q(k)+Q(k+1))} est un produit scalaire, puis trouver une base orthonormale.

Calculer {\inf_{a,b,c\in\mathbb{R}}\int_{-1}^1(t^4-at^2-bt-c)^2\,dt}.

Sur {E=\mathbb{R}_3[X]}, poser {\Phi(P,Q)=\sum\limits_{k=0}^3(P(k)+P(1))(Q(k)+Q(1))}. Soient {L_i(t)=\prod\limits_{0\le k\le3,k\ne i}(t-k)/(i-k)}.

Calculer {L_i(j)}, montrer que les {L_i} forment une base, que {\Phi} est un produit scalaire et trouver une base orthonormée.

Sur {E=\mathbb{R}_4[X]}, soient {F} les polynômes pairs et {G} les impairs.

Poser {\Phi(P,Q)=\sum\limits_{k=0}^4(P(k)+(-1)^kP(-k))(Q(k)+(-1)^kQ(-k))}.

Montrer que {\Phi} est un produit scalaire, que {E=F\mathbin{\perp\oplus}G}, et donner une base orthonormée adaptée.

Dans {M_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire canonique, soit {F=\left\{M:\operatorname{tr}M=0\right\}}.

Montrer que {F} est un sous-espace, donner sa dimension et calculer {d(A,F)} pour toute {A}.

1) Montrer {F\subset(F^\perp)^\perp}.

2) Sur {E=\mathbb{R}[X]} avec {\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ}, prendre {F=\left\{P:P(1)=P'(1)=0\right\}} et déterminer les deux orthogonaux.

3) Donner une condition suffisante pour l'égalité du premier point.

1) Montrer que {F} est un sous-espace et déterminer sa dimension.

2) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, calculer {d(A,F)}.

1) Montrer que {(X,Y)\mapsto\operatorname{tr}(X^TY)} est un produit scalaire.

2) L'endomorphisme {\varphi(X)=\operatorname{tr}(AX)B} est-il diagonalisable ?

3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\varphi} soit un projecteur orthogonal.

Pour {n\in\mathbb{N}}, montrer qu'il existe un unique {T_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {T_n(\cos x)=\cos(nx)} ; donner degré et coefficient dominant.

Minimiser {\int_{-1}^1P(t)^2/\sqrt{1-t^2}\,dt} parmi les polynômes unitaires de degré {n}.

Si {x,y} sont unitaires distincts et {0\lt t\lt 1}, montrer que {(1-t)x+ty} n'est pas unitaire.

Montrer que {\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)} est un produit scalaire sur {M_n(\mathbb{R})} et que sa norme satisfait {|\operatorname{tr}A|\leq\sqrt{n\operatorname{tr}(AA^T)}}, {\lVert AB\rVert\leq\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

Pour {f:[0,1]\to\mathbb{R}_+} continue non nulle, montrer que {\int_0^1fPQ} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

Construire des polynômes orthonormés {P_n} de degré {n} et montrer que leurs racines sont simples et dans {]0,1[}.

Représenter toute forme linéaire d'un espace euclidien par un unique produit scalaire avec un vecteur.

En déduire l'existence d'un unique {A\in\mathbb{R}_n[X]} tel que {\int_0^1AP=P(0)} pour tout {P\in\mathbb{R}_n[X]}.

Montrer {\deg A=n} et {A(0)>0}.

Pour {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1PQ\sqrt{1-t^2}\,dt}, construire l'unique {Q_n} vérifiant {\sin((n+1)u)=Q_n(\cos u)\sin u}.

Donner son degré et son coefficient dominant, puis son orthogonalité.

Calculer {\min_{a,b,c}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2\sqrt{1-t^2}\,dt}.

Pour {a_0,\ldots,a_n} réels distincts, montrer que {\langle P,Q\rangle=\sum\limits_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k)} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}_n[X]} et donner une base orthonormée.

Déterminer la dimension de {H=\left\{P:\sum\limits_kP(a_k)=0\right\}} et la distance d'un polynôme {Q} à {H}.

Dans {\mathbb{R}^4}, déterminer la projection orthogonale sur {G=\left\{x:x_1+x_2=0,\ x_3+x_4=0\right\}} et la distance de {(a,b,c,d)} à {G}.

Sur {\mathbb{R}_n[X]} avec {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1PQ}, étudier {\Phi(P)=(X^2-1)P''+2XP'} : symétrie et éléments propres.

Construire une base orthonormée {(P_k)} adaptée aux degrés, avec {\langle P_k,X^k\rangle>0}, montrer sa parité et calculer {P_0,P_1,P_2,P_3}.

Si {\langle f(x),y\rangle=\langle x,g(y)\rangle} sur un espace euclidien, exprimer noyau et image de {f} en fonction de ceux de {g}.

Montrer {F} stable par {f} si et seulement si {F^\perp} est stable par {g}.

Montrer {(\operatorname{tr}A)^2\leq n\operatorname{tr}(A^TA)} pour {A} réelle et étudier l'égalité.

Pour une base orthonormée {(e_i)} d'un espace de dimension {n}, supposer {\lVert e_i-f_i\rVert\lt 1/\sqrt n}.

Montrer que les {f_i} forment une base.

La conclusion subsiste-t-elle avec des inégalités larges ?

Montrer qu'une matrice réelle {A} est antisymétrique exactement lorsque {P^{-1}AP} a une diagonale nulle pour toute matrice orthogonale {P}.

Calculer {\inf_{a,b,c}\int_{-1}^1(t^4-at^2-bt-c)^2dt}.

Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_0^\infty P(t)Q(t)dt/\cosh t} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

Pour l'orthonormalisée {(P_0,\ldots,P_n)} de {(1,X,\ldots,X^n)}, calculer {P_0} et montrer que chaque {P_k} est scindé à racines simples strictement positives.

Soient {u_1,\ldots,u_p\in\mathbb{R}^n} tels que {\langle u_i,u_j\rangle\lt 0} pour {i\ne j}.

Montrer que chaque sous-famille de cardinal {p-1} est libre.

a) Montrer que c'est un produit scalaire.

b) Donner une base orthonormée.

c) Pour {H=\left\{Q:\sum\limits_{k=0}^nQ(a_k)=0\right\}}, déterminer sa dimension.

d) Calculer {d(P,H)}.

a) Montrer {\lVert X\rVert^4\le\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle}.

b) Montrer que ce produit est au plus {\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\lVert X\rVert^4}.

d) Montrer qu'il existe une base orthonormale {(P_0,\ldots,P_n)} de {E} telle que {\deg P_k=k} et {\langle P_k,X^k\rangle>0}.

Montrer que {M\in M_n(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si {P^{-1}MP} a diagonale nulle pour toute {P\in O_n(\mathbb{R})}.

Soient {A,B,C,D\in M_n(\mathbb{R})}, {M=\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}}, {J=\operatorname{diag}(I_n,-I_n)}.

Si {M^TJM=J}, montrer que {A,D} sont inversibles.

1) {f_\alpha} appartient-elle à {\mathcal L(E)} ?

2) Si {E} est euclidien, donner une condition pour qu'elle soit un isomorphisme.

3) Calculer {f_\alpha f_\beta}.

4) Préciser {f_\alpha^{-1}} lorsqu'il existe.

5) Qu'en est-il en dimension quelconque ?

1) Dans un espace euclidien {E}, montrer que toute forme linéaire {f} s'écrit de manière unique {f(x)=\langle a,x\rangle}.

2) Pour {E=\mathbb{R}_n[X]} muni de {\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ}, montrer qu'il existe {A\in E} tel que {P(0)=\int_0^1AP} pour tout {P\in E}.

3) Montrer que {A(0)>0} et {\deg A=n}.

4) Montrer qu'aucun polynôme {A} ne représente ainsi l'évaluation en zéro sur tout {\mathbb{R}[X]}.

5) Montrer qu'il n'existe pas de {C\in\mathbb{R}} tel que {|P(0)|\leq C\lVert P\rVert} pour tous les polynômes.

1) Montrer qu'il existe une sous-famille libre de {p-1} vecteurs.

2) Montrer que {p\leq n+1}.

3) Donner une famille de {n+1} vecteurs ayant cette propriété.

1) Montrer que {G} est inversible.

2) Pour {Y=(\langle y,f_i\rangle)_i} et {GX=Y}, montrer que {p_F(y)=\sum\limits_ix_if_i}.

1) Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.

2) Soit {V=\left\{f\in C^2([0,1],\mathbb{R}):f=f''\right\}}.

Montrer que {V} est un sous-espace de dimension finie et en donner une base.

3) Montrer que {V\oplus W=E} et {V^\perp=W}.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} de trace nulle.

Montrer qu'il existe {P\in O_n(\mathbb{R})} telle que {P^TMP} ait sa diagonale nulle.

Soient {\varphi\in\mathcal L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})} et {f(x)=\varphi(x)e^{-\lVert x\rVert^2}}.

Montrer qu'elle admet un minimum et un maximum, et les déterminer.