Pour un endomorphisme {p} d’un espace euclidien, montrer l’équivalence de : {p} est un projecteur orthogonal ; {p^2=p=p^\star} ; {p^2=p} et {\lVert p(x)\rVert\leq\lVert x\rVert} pour tout {x}.

Dans {E=\mathbb{R}_n[X]}, muni de {\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ}, on pose {u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)\,dt}.

Montrer que {u} est un endomorphisme symétrique et calculer sa trace.

Soit {f} un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien non nul {E}, et {S} sa sphère unité.

Montrer que {x\mapsto\langle f(x),x\rangle} atteint son maximum en {x_0}, que {x_0} est vecteur propre, puis retrouver le théorème spectral.

Montrer que tout endomorphisme {f} d’un espace euclidien admet une base orthonormée dont l’image par {f} est orthogonale.

Soit {M\in O_n(\mathbb{R})} et {M'} obtenue en changeant le signe de sa dernière colonne.

Montrer que {M} ou {M'} possède la valeur propre {-1}.

Montrer que {A\in M_n(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si {P^{-1}AP} a une diagonale nulle pour toute {P\in O_n(\mathbb{R})}.

Soit {f} symétrique défini positif.

Montrer {\langle f(x),x\rangle\langle f^{-1}(x),x\rangle\geq\lVert x\rVert^4} et préciser le cas d’égalité.

Soit {A\in S_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe {\alpha>0} tel que, pour {|x|\lt \alpha}, {\det(I_n+xA)=\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}k\operatorname{tr}(A^k)x^k\right).}

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} telle que {M^T=M^2} et {\operatorname{Sp}(M)\cap\mathbb{R}=\varnothing}.

Déterminer {\chi_M}, montrer {M\in O_n(\mathbb{R})} et décrire l’endomorphisme associé, pour {n=2} puis en général.

Soit {U\in\mathbb{R}^n} unitaire et {A=I_n-2UU^T}.

Montrer {A\in O_n(\mathbb{R})} et caractériser son endomorphisme.

Soit {A\in S_d(\mathbb{R})} telle que {A^n\to B}.

Montrer {\sum\limits_{i,j}|b_{ij}|\leq d\sqrt{\operatorname{rg}B}}.

Soit {A\in S_3(\mathbb{R})} inversible, {U_0=I_3} et {U_{n+1}=(U_n+A^2U_n^{-1})/2}.

Montrer que ces matrices sont bien définies et inversibles, que {U_n\to B}, puis calculer {B^2} et montrer {B} symétrique.

Soit {S\in S_n(\mathbb{R})} et un intervalle {I} contenant {0}.

Déterminer l’unique fonction dérivable {M:I\to S_n(\mathbb{R})} telle que {M'=SM+MS}, {M(0)=I_n}.

Montrer {M(t)} définie positive et calculer son déterminant.

Si {A,B} sont deux sous-espaces orthogonaux d’un espace euclidien, montrer que leurs symétries orthogonales commutent et ont pour produit la symétrie par rapport à {(A+B)^\perp}.

Trouver les endomorphismes euclidiens préservant l’orthogonalité, puis étudier {u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f^k} pour un tel endomorphisme.

Énoncer la réduction d’une rotation de {\mathbb{R}^3}.

Montrer que deux rotations de même axe commutent, ainsi que deux demi-tours d’axes orthogonaux.

Montrer que ces cas décrivent les rotations qui commutent.

1) montrer {A\in SO_3} exactement lorsque {a,b,c} sont les racines de {X^3-X^2+t}, pour {t} dans un intervalle à déterminer ;

2) trouver une droite et un plan stables ;

3) caractériser l’endomorphisme si {A\in SO_3}.

Pour deux projecteurs orthogonaux {p,q}, montrer que {qp} est un projecteur exactement lorsqu’ils commutent.

Déterminer les matrices réelles commutant avec toutes les matrices de {O_n}, puis avec toutes celles de {SO_n}.

En dimension euclidienne quatre, déterminer les {f\ne0} tels que {\operatorname{tr}f=0}, {f+f^4=0} et {f^\star=-f^2}.

Pour {M\in O_n(\mathbb{R})}, étudier {C_k=(k+1)^{-1}\sum\limits_{j=0}^kM^j}.

Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle est semblable à {\operatorname{diag}(B,0)} avec {B} inversible, et que sa taille est paire.

Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle se réduit en blocs antisymétriques de taille au plus deux.

Si {A^TA=B^TB} pour deux matrices réelles, montrer {B=QA} avec {Q} orthogonale.

Pour {A} symétrique positive, montrer que son déterminant et ceux de ses sous-matrices principales initiales sont positifs ou nuls.

Si {A} est symétrique réelle et {A^k\to B=(b_{ij})}, montrer {\sum\limits_{i,j}|b_{ij}|\le n\sqrt{\operatorname{rg}B}}.

Pour {A\in O_n(\mathbb{R})}, montrer {|\sum\limits_{i,j}a_{ij}|\le n\le\sum\limits_{i,j}|a_{ij}|\le n\sqrt n}.

Pour {A} symétrique réelle, montrer {(\operatorname{tr}A)^2\le\operatorname{rg}A\sum\limits_{i,j}a_{ij}^2}.

Pour {S} symétrique positive, calculer {\max_{O\in O_n}\operatorname{tr}(OS)}.

Pour {u} euclidien, montrer que {T=\left\{\operatorname{tr}(uv):v\in O(E)\right\}} est majoré.

Montrer {e^{tu}\in O(E)} si {u} est antisymétrique.

Montrer que le maximum de {T} est atteint en {I} exactement lorsque {u} est symétrique positif.

Si les coefficients diagonaux d’une matrice symétrique réelle sont ses valeurs propres avec multiplicité, montrer qu’elle est diagonale.

Si {\sum\limits_ix_i=0}, montrer {|x_j|\le\sqrt{(n-1)/n}\lVert x\rVert_2}.

En déduire, pour une valeur propre {\lambda} de {A} symétrique, {\left|\lambda-\frac{\operatorname{tr}A}{n}\right| \le\sqrt{\frac{n-1}{n}}\sqrt{\lVert A\rVert_2^2-\frac{(\operatorname{tr}A)^2}{n}}.}

Si {A} est symétrique et {a\lVert X\rVert^2\le\langle X,AX\rangle\le b\lVert X\rVert^2} pour tout {X}, et si {P>0} sur {[a,b]}, montrer {P(A)} définie positive.

Pour {A} antisymétrique réelle, montrer que ses valeurs propres sont imaginaires pures et que {(I+A)(I-A)^{-1}} est orthogonale.

Pour {Q\in SO_2}, résoudre {(I+A)(I-A)^{-1}=Q} parmi les {A} antisymétriques.

Pour {A} symétrique définie positive et {B} symétrique positive, construire {C} définie positive avec {C^2=A^{-1}}.

Pour {D=CBC}, montrer {\det(I+D)^{1/n}\ge1+\det(D)^{1/n}}, puis {\det(A+B)^{1/n}\ge\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}. Étendre au cas où {A,B} sont seulement positives.

Montrer qu’une matrice symétrique {A} est positive exactement si {\operatorname{tr}(AB)\ge0} pour toute matrice symétrique positive {B}.

Pour {q(x,y,z)=(x+z)^2+2xy+4yz}, déterminer {a,b,c} tels que {q=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2}.

Est-elle définie positive ?

Trouver les plans sur lesquels sa restriction est définie positive.

Pour un intervalle {I\subset\mathbb{R}}, poser {S_n(I)=\left\{M\in\mathcal S_n(\mathbb{R}):\operatorname{Sp}M\subset I\right\}}.

Montrer sa convexité et {\overline{S_n(I)}=S_n(\overline I)}.

Déterminer {T_{I_n}SO_n(\mathbb{R})}, puis {T_MSO_n(\mathbb{R})} pour {M\in SO_n(\mathbb{R})}.

Soit {(a,b,x_0)} une famille libre d’un espace euclidien {E}.

Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {u\in\mathcal L(E)} tel que {u(x_0)=a} et {u^\star(x_0)=b}.

Soient {E} un espace euclidien et {p,q} des projecteurs orthogonaux.

Montrer que {q\circ p} est un projecteur si et seulement si c’est un projecteur orthogonal.

Soient {E} un espace euclidien et {u,v\in O(E)} tels que {\det(u)\det(v)\lt 0}.

Calculer {\lVert v-u\rVert_{\mathrm{op}}}.

1) Montrer que {M} est diagonalisable.

2) Déterminer {\operatorname{rg}M}.

3) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de {M}.

1) Montrer que {G} est un sous-groupe de {GL_{2n}(\mathbb{R})}.

2) Caractériser les éléments de {O_{2n}(\mathbb{R})\cap G}.

Décrire {\left\{e^A:A\in A_n(\mathbb{R})\right\}}.

Soient {f:M_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}_+^\star} continue et {A\in A_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\inf_{x\in\mathbb{R}}f(e^{xA})>0}.

1) Trouver toutes les applications {f:\mathbb{R}^n\to GL_n(\mathbb{R})} telles que {f(Px)=Pf(x)P^{-1}} pour tous {x\in\mathbb{R}^n} et {P\in GL_n(\mathbb{R})}.

2) Même question en remplaçant {GL_n(\mathbb{R})} par {O_n(\mathbb{R})}.

1) Soit {A\in A_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A) \subset i\mathbb{R}}.

2) On note {L=\left\{M\in SO_n(\mathbb{R}):-1\notin\operatorname{Sp}(M)\right\}}.

Montrer que {\varphi:M\mapsto(I_n+M)(I_n-M)^{-1}} est une bijection de {A_n(\mathbb{R})} sur {L}.

3) Soit {Q\in SO_2(\mathbb{R})}.

Résoudre {(I_2+X)(I_2-X)^{-1}=Q} pour {X\in A_2(\mathbb{R})}.

Soit {A=(a_{ij})\in O_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\left|\sum_{i,j=1}^n a_{ij}\right|\le n \le\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|\le n\sqrt n.}

1) On fixe {\Phi}.

Montrer l’équivalence entre : (i) {\Psi} est un produit scalaire ;

(ii) il existe {a\in S^{++}_\Phi(E)} tel que {\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)}.

2) Pour {u\in O_\Phi(E)}, donner une condition nécessaire et suffisante pour que {u\in O_\Psi(E)}, à l’aide de {a}.

3) Si {\mathcal P} est l’ensemble des produits scalaires sur {E}, déterminer {\bigcap_{\Psi\in\mathcal P}O_\Psi(E)}.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe une base orthonormée {(e_1,\ldots,e_n)} de {\mathbb{R}^n} telle que {(Me_1,\ldots,Me_n)} soit orthogonale.

1) Montrer l’équivalence de : (i) {x^TSx\ge0} pour tout {x\in\mathbb{R}^n} ;

(ii) {\operatorname{Sp}S\subset\mathbb{R}_+} ;

(iii) il existe {T\in S_n(\mathbb{R})} telle que {S=T^2}.

2) Ces conditions étant réalisées, montrer que {s_{ii}x^2+2s_{ij}xy+s_{jj}y^2\ge0} pour {i\ne j} et {x,y\in\mathbb{R}}.

En déduire {s_{ij}^2\le s_{ii}s_{jj}}.

3) On suppose tous les coefficients de {S} non nuls et on pose {T=(1/s_{ij})}.

Montrer que {T\in S_n^+(\mathbb{R})} si et seulement si {\operatorname{rg}S=1}.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {S\in S_n(\mathbb{R})} telle que {A=S^2+S+I_n}.

2) À quelle condition {S} est-elle unique ?

Soit {A=(1/(i+j))_{1\le i,j\le n}}.

Montrer que {A} est diagonalisable et que son spectre est inclus dans {\mathbb{R}_+^\star}.

Soit {A_n=(1/(i+j+1))_{0\le i,j\le n}}.

Montrer que ses valeurs propres appartiennent à {]0,\pi[} et que sa plus petite valeur propre est inférieure à {1/(2n+1)}. On pourra montrer que, pour {P\in\mathbb{R}[X]}, {\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^\pi P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\,d\theta=0.}

Soient {E} un espace euclidien, {u\in S(E)}, {a\lt b} réels et {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(t)>0} sur {[a,b]}. On suppose {a\lVert x\rVert^2\le\langle u(x),x\rangle\le b\lVert x\rVert^2} pour tout {x\in E}.

Montrer que {P(u)\in S^{++}(E)}.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {M} est combinaison linéaire de quatre matrices orthogonales.

1) Montrer qu’il existe un unique couple {(O,S)\in O_n(\mathbb{R})\times S_n^{++}(\mathbb{R})} tel que {M=OS}.

2) Déterminer {\sup_{A\in O_n(\mathbb{R})}\operatorname{tr}(AM)}.

1) Pour {u\in S(E)}, montrer que {E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u}.

2) Pour {u\in S^+(E)}, montrer qu’il existe {h\in S^+(E)} tel que {u=h^2}.

3) Soient {f,g\in S^+(E)} tels que {\ker(f+g)=\ker f\cap\ker g}.

Montrer que {\operatorname{Im}(f+g)=\operatorname{Im}f+\operatorname{Im}g}.

Soient {n,k\in\mathbb{N}^\star}.

Étudier l’injectivité et la surjectivité de {f:S_n(\mathbb{R})\to S_n(\mathbb{R})}, {f(A)=A^k}.

1) Montrer qu’il existe {P\in O_n(\mathbb{R})} et {D=\operatorname{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)}, {\lambda_i>0}, tels que {P^TM^TMP=D^2}.

2) Si {V_i} sont les colonnes de {MP}, montrer que la matrice {Q} de colonnes {V_i/\lambda_i} est orthogonale.

3) Montrer qu’il existe {O,O'\in O_n(\mathbb{R})} tels que {M=ODO'}.

4) Montrer le même résultat pour {M} non inversible.

1) Pour {S\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe {P\in GL_n(\mathbb{R})} tel que {S=P^TP}.

2) Déterminer le sous-espace engendré par {S_n^{++}(\mathbb{R})}.

3) Pour {A_1,\ldots,A_k\in S_n^{++}(\mathbb{R})} et {\alpha_1,\ldots,\alpha_k\in\mathbb{R}}, montrer que {|\det(\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k)| \le\det(|\alpha_1|A_1+\cdots+|\alpha_k|A_k).}

1) Montrer que {|||u|||=\sup_{\lVert x\rVert=1}\lVert u(x)\rVert =\sup_{\lVert x\rVert\le1}\lVert u(x)\rVert}.

2) Montrer que {|||u|||=\sup_{\lVert x\rVert=\lVert y\rVert=1}|\langle u(x),y\rangle| =\sup_{\lVert x\rVert,\lVert y\rVert\le1}|\langle u(x),y\rangle|.}

3) Si {u} est symétrique, montrer que {|||u|||=\sup_{\lVert x\rVert=1}|\langle u(x),x\rangle| =\sup_{\lVert x\rVert\le1}|\langle u(x),x\rangle|.}

On munit {M_n(\mathbb{R})} de la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique. Soit {A\in GL_n(\mathbb{R})}.

Si {r} et {R} sont la plus petite et la plus grande valeur propre de {A^TA}, montrer que {\lVert A\rVert^2=R} et {\lVert A^{-1}\rVert^{-2}=r}.

Soit {S\in S_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe une unique fonction {M:\mathbb{R}\to S_n(\mathbb{R})} telle que {M(0)=I} et {M'=SMS}.

Quand est-elle bornée ?

Soient {E} un espace euclidien et {u:\mathbb{R}\to SO(E)} dérivable.

Montrer l’équivalence entre {u(s+t)=u(s)u(t)} pour tous {s,t}, et l’existence de {a\in A(E)} tel que {u(t)=e^{ta}} pour tout {t}.

Déterminer les espaces tangents en {I_n} à {SL_n(\mathbb{R})} et à {O_n(\mathbb{R})} dans {M_n(\mathbb{R})}.

1) S’ils fixent un même vecteur non nul, montrer qu’ils commutent.

2) S’ils commutent, montrer qu’ils fixent un même vecteur non nul ou qu’ils sont des symétries orthogonales par rapport à deux droites orthogonales.

Soient {E} un espace euclidien et {p} un projecteur.

Montrer l’équivalence : i) {p} est orthogonal ;

ii) {\lVert p(x)\rVert\le\lVert x\rVert} pour tout {x} ;

iii) {p} est symétrique.

1) Montrer que {x\mapsto\lVert Ax-b\rVert^2} possède un minimum atteint en un unique {x_0\in\mathbb{R}^p}.

2) Montrer que {x_0} est l’unique solution de {A^TAx=A^Tb}.

Soit {M\in\mathrm O_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\left|\sum_{i,j=1}^nm_{ij}\right|\le n\le\sum_{i,j=1}^n|m_{ij}|\le n^{3/2}.}

Soit {E} un espace vectoriel réel de dimension {n\ge1}, muni de deux produits scalaires {\phi,\psi}.

Si {\mathrm O(E,\psi)\subset\mathrm O(E,\phi)}, montrer que ces deux groupes sont égaux.

Montrer que deux produits scalaires sur un espace euclidien ayant le même groupe orthogonal sont proportionnels.

1) Expliciter {V_2}.

2) Pour {n\ge3}, montrer que {\exp(\mathcal A_n(\mathbb{R}))\subset\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})} et {V_n^\perp\subset\mathcal A_n(\mathbb{R})^\perp}.

3) Montrer que {V_n=\mathcal M_n(\mathbb{R})} pour {n\ge3}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} avec {A^2=0}.

Montrer que {\operatorname{Im}(A+A^T)=\operatorname{Im}A+\operatorname{Im}A^T}.

1) Montrer que {\operatorname{rg}N=n-1}.

2) Si {MN^T=N^TM=NM^T}, montrer que {\mathbb{R}^n=\operatorname{Im}M\mathbin{\oplus^\perp}\operatorname{Im}N}.

3) Étudier la réciproque.

1) Pour {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}, montrer l’équivalence entre {x^TAx\ge0} pour tout {x} et {\operatorname{Sp}A\subset\mathbb{R}_+}.

2) Montrer que {A^TA\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})} pour toute matrice réelle {A}.

3) Pour {S\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})}, montrer l’existence de {A} avec {S=A^TA}, puis déterminer toutes ces matrices {A}.

1) Montrer que {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} est antisymétrique si et seulement si tous les coefficients diagonaux de {P^{-1}AP} sont nuls pour tout {P\in\mathrm O_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer qu’une matrice antisymétrique a un rang pair.

1) Calculer {\sigma(\Omega)} pour {\Omega\in\mathrm O_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que {\sigma(\Omega^TA\Omega)=\sigma(A)}.

3) Calculer {\sigma(A)} si {A} représente une projection orthogonale dans une base orthonormée.

4) Déterminer les {P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} tels que {\sigma(P^{-1}AP)=\sigma(A)} pour toute {A}.

1) Si {u} est symétrique, montrer que {E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u}.

2) Si {u} est symétrique positif, montrer qu’il existe {h} symétrique positif tel que {u=h^2}.

3) Pour {f,g} symétriques positifs, montrer que {\ker(f+g)=\ker f\cap\ker g}.

Que dire de {\operatorname{Im}(f+g)} ?

1) Montrer que {C} est bien définie.

2) Étudier l’inversibilité de {I+C(A)} et montrer que {C} est injective.

Est-elle surjective ? Sinon, donner son image.

Déterminer les applications {f:\mathbb{R}^n\to\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {f(PX)=Pf(X)P^{-1}} pour tout {X} et tout {P\in\mathrm O_n(\mathbb{R})}.

Montrer que, si {M\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})}, alors {\operatorname{Com}(M)\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})}.

1) Montrer que {a_{ii}>0} et {a_{ij}^2\le a_{ii}a_{jj}}.

2) Montrer que {\max_{i,j}|a_{ij}|=\max_ka_{kk}}.

3) Que dire de {A_{ij}=\begin{pmatrix}a_{ii}&a_{ij}\\[4pt]a_{ji}&a_{jj}\end{pmatrix}} pour {i\lt j} ?

Soient {A,B\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}.

Si un intervalle {I} contient toutes leurs valeurs propres, montrer qu’il contient celles de {(1-t)A+tB} pour tout {t\in[0,1]}.

Montrer que le spectre de {A=(1/(i+j))_{1\le i,j\le n}} est inclus dans {\mathbb{R}_+^\star}.

1) Si {U,V\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe {R\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})} avec {U=R^2}, puis que {\operatorname{tr}(UV)\ge0}.

2) Pour un intervalle ouvert {I}, {f:I\to\mathcal M_n(\mathbb{R})} dérivable et {P\in\mathbb{R}[X]}, montrer que {\alpha:t\mapsto\operatorname{tr}P(f(t))} est dérivable et calculer sa dérivée.

3) Si {A,B,B-A\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})}, montrer que {\operatorname{tr}(e^A)\le\operatorname{tr}(e^B)}.

1) Montrer qu’il existe un unique {(O,S)\in\mathrm O_n(\mathbb{R})\times\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})} tel que {M=OS}.

2) Calculer {\sup\left\{\operatorname{tr}(AM):A\in\mathrm O_n(\mathbb{R})\right\}}.

1) Pour {V\ne0}, montrer que {x\mapsto\langle x,ux\rangle} a un maximum et un minimum sur {V\cap S}.

2) Montrer que, pour {1\le k\le n}, {\lambda_k=\min_{V\in G_k}\max_{x\in V\cap S}\langle x,ux\rangle =\max_{V\in G_{n+1-k}}\min_{x\in V\cap S}\langle x,ux\rangle.}

1) Si {M} est inversible, montrer que {df(M)} est surjective.

2) Pour {g=f|_{\mathcal S_n(\mathbb{R})}} et {M} symétrique inversible, {dg(M)} est-elle surjective ?

1) Calculer leurs différentielles.

2) Montrer que {f|S} atteint un maximum en un vecteur {e}.

3) Montrer que {e} est propre pour {u}.

Soit {J_n} la matrice dont tous les coefficients valent {1}.

Montrer {J_n=P_n\operatorname{diag}(0,\ldots,0,n)P_n^{-1}} pour une matrice orthogonale {P_n}.

Donner {P_2,P_3}, puis la dimension du commutant de {J_3}.

1) Montrer l’équivalence avec {\langle f(x),x\rangle=0} pour tout {x}.

2) Montrer {\ker f\perp\operatorname{Im}f}.

3) Pour {s=f^2}, montrer que {s} est symétrique, de spectre négatif ou nul, et {\ker s=\ker f}.

4) En dimension {3}, trouver une base orthonormée où la matrice est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-\alpha\\[4pt]0&\alpha&0\end{pmatrix}}.

Soit {(V_1,\ldots,V_m)} une famille libre de vecteurs propres réels de {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Pour {Q=(V_1\ \cdots\ V_m)} et {S=QQ^T}, montrer {S\in S_n^+(\mathbb{R})}, {\operatorname{rang}S=m} et {AS=SA^T}.

1) Montrer l’existence et l’unicité d’une racine carrée symétrique définie positive {B}.

2) Exprimer {\langle AX,X\rangle} dans une base orthonormée propre de {A}.

3) Montrer {\lVert X\rVert^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle} et caractériser l’égalité.

Pour {A\in S_n(\mathbb{R})}, montrer : {A\geq0} si et seulement si {A=B^TB} pour une matrice {B} ; {A>0} si et seulement si une telle {B} est inversible.

Si {A>0}, montrer que {X\mapsto\sqrt{X^TAX}} est une norme issue d’un produit scalaire.

Dans un espace euclidien orienté de dimension trois, soit {u} unitaire et {f(x)=\langle x,u\rangle x+u\wedge x}.

Montrer que {f} est une isométrie, la caractériser, puis trouver les isométries {g} telles que {g^2=f}.

1) Montrer que {A^TA} est semblable à une matrice diagonale {D} et dénombrer les possibilités pour {D}.

2) Montrer que {A} est orthogonalement semblable à {0_2}, {I_2}, {\operatorname{diag}(1,0)} ou {\begin{pmatrix}-1/2&-\sqrt3/2\\[4pt]\sqrt3/2&-1/2\end{pmatrix}}.

1) Pour {A,B\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer l’existence et l’unicité de {C} telle que {AC+CA=B}, puis que {C} est symétrique définie positive.

2) Pour {n=2}, trouver {A,C} définies positives telles que {AC+CA} n’ait pas un spectre strictement positif.

1) Si {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer {A^{-1}\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

2) Montrer que {A+B} est inversible pour {A,B\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

3) Trouver les couples vérifiant {(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}}.

Soit {A=\begin{pmatrix}p&q&r\\[4pt]q&r&p\\[4pt]r&p&q\end{pmatrix}}. On suppose que {(A^n)} converge.

Trouver sa limite.

Soit {f} une isométrie indirecte d’un espace euclidien de dimension trois.

Montrer qu’elle est le produit d’une rotation d’axe {\Delta} et d’une réflexion de plan {\Delta^\perp}. La décomposition est-elle unique ? Les deux facteurs commutent-ils ?

Soient {a} unitaire dans un espace euclidien et {f_\alpha(x)=x+\alpha\langle x,a\rangle a}.

Montrer que c’est un endomorphisme, calculer {f_\alpha f_\beta}, déterminer les paramètres de bijectivité, les éléments propres, les paramètres d’isométrie et d’autoadjonction.

Soit {u} un endomorphisme d’un espace euclidien.

Montrer qu’il existe une base orthonormée {(e_i)} dont les images {(u(e_i))} forment une famille orthogonale.

Déterminer les {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que {M^TMM^T=I}.

1) Montrer que {u} est autoadjoint et en déduire une propriété spectrale.

2) Montrer que c’est un isomorphisme.

3) Pour une base orthonormée propre {(P_k)} de valeurs {\lambda_k}, montrer {(x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\lambda_kP_k(x)P_k(y)}.

4) En déduire {\operatorname{tr}u=2^n/(n+1)}.

Soit {S=(s_{ij})\in S_n(\mathbb{R})} et {D=\operatorname{Diag}(s_{11},\ldots,s_{nn})}.

Si {S} et {D} sont semblables, montrer que {S=D}. Indication : considérer {\operatorname{tr}(S^2)}.

1) Montrer que {A} est semblable à {B}.

2) Déterminer {P\in O_3(\mathbb{R})} telle que {P^TAP=B}.

1) Soient {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, {B\in O_n(\mathbb{R})}.

Comparer {\operatorname{tr}A} et {\operatorname{tr}(AB)}.

2) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^\infty M^k/k!} converge pour toute {M\in M_n(\mathbb{R})} ; on note sa somme {\exp(M)}.

3) On admet {\exp(M+N)=\exp(M)\exp(N)} si {MN=NM}.

Si {B} est antisymétrique, montrer que {\exp(xB)\in O_n(\mathbb{R})} pour tout {x\in\mathbb{R}}.

1) Montrer que la somme de deux matrices de {S_n^{++}(\mathbb{R})} appartient encore à cet ensemble.

2) Si {A,B\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer que {I_n+AB} et {AB+BA} sont inversibles.

1) Montrer que {\lambda_1\lVert x\rVert^2\leq\langle u(x),x\rangle\leq\lambda_n\lVert x\rVert^2}.

2) Trouver des vecteurs non nuls réalisant chacune des égalités.

3) Trouver de tels vecteurs unitaires {y_1,y_n}.

4) Sur la sphère unité {S}, déterminer {\inf_{x\in S}\langle u(x),x\rangle} et {\sup_{x\in S}\langle u(x),x\rangle}.

1) Montrer que {\operatorname{tr}(A^TA)>0} pour {A\in GL_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que toute {S\in E} s’écrit {A^TA} avec {A} inversible.

3) Montrer que {\operatorname{tr}(SS')>0} pour {S,S'\in E}.

1) Rappeler la définition de {S_n^+(\mathbb{R})} et {S_n^{++}(\mathbb{R})}.

2) (i) Pour {A,B\in S_n(\mathbb{R})}, on note {A\leq B} lorsque {A-B\in S_n^+(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre.

(ii) Pour {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe {C\in S_n^{++}(\mathbb{R})} telle que {C^2=A}.

(iii) Pour {M\in S_n^{++}(\mathbb{R})} et {M'\in S_n(\mathbb{R})}, montrer que {M'MM'\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

3) (i) Montrer que {M\in S_n^{++}(\mathbb{R})} est inversible et {M^{-1}\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

(ii) Montrer que {f(M)=M^{-1}} est décroissante pour l’ordre précédent. Indication : montrer que si {I_n\leq B}, alors {f(B)\leq f(I_n)}.

Pour {n\geq2}, soit {A} de coefficients {1} lorsque {i=1} ou {j=1}, zéro sinon ; soit {B} de coefficients {1} lorsque {i\in\left\{1,n\right\}} ou {j\in\left\{1,n\right\}}, zéro sinon.

Étudier leur diagonalisabilité et leurs éléments propres.

Pour {v\ne0} dans un espace préhilbertien réel et {\lambda\ne0}, quand {f(x)=x+\lambda\langle x,v\rangle v} est-elle une isométrie ?

Un endomorphisme non nul d’un espace euclidien conserve l’orthogonalité.

Pour une base orthonormée {(e_i)}, utiliser {e_i+e_j\perp e_i-e_j} pour montrer que les {\lVert f(e_i)\rVert} sont égales.

En déduire {\lVert f(u)\rVert=\lambda\lVert u\rVert} avec {\lambda>0} et décomposer {f}.

Déterminer les valeurs propres de {M=\left(\begin{smallmatrix}1-a&0&a\\[4pt]0&a&1-a\\[4pt]a&1-a&0 \end{smallmatrix}\right)}, {a\in\mathbb{R}}.

Pour {A=(a_{ij})\in O_n(\mathbb{R})}, montrer {\sum\limits a_{ij}^2=n}, {|\sum\limits a_{ij}|\leq n} et {n\leq\sum\limits|a_{ij}|\leq n\sqrt n}.

Pour {B=\left(\begin{smallmatrix}0&A^T\\[4pt]A&0\end{smallmatrix}\right)}, supposer {\operatorname{tr}(B^{2k})=2n} pour {1\leq k\leq n}.

Montrer que {A\in M_n(\mathbb{R})} est orthogonale.

Pour {A} symétrique définie positive, montrer {(X^TX)^2\leq(X^TAX)(X^TA^{-1}X)}.

Sur {\mathbb{R}_n[X]}, poser {f_n(P)=\sum\limits_{k=0}^nX^k\int_0^1P(t)t^kdt}.

Montrer que c’est un automorphisme à valeurs propres strictement positives, et déterminer la limite de sa plus petite valeur propre {u_n}.

Pour {M} symétrique réelle, montrer {(\operatorname{tr}M)^2\leq\operatorname{rang}M\operatorname{tr}(M^2)} et étudier l’égalité.

Si {A} est symétrique inversible et semblable à {A^{-1}}, montrer {\operatorname{tr}(A^2)\geq n}, avec égalité exactement pour les symétries orthogonales.

Déterminer les {a,b,c\in\mathbb{R}} pour lesquels {A=\left(\begin{smallmatrix}a&b&c\\[4pt]b&a&c\\[4pt]c&c&a\end{smallmatrix} \right)} est orthogonale, puis ses caractéristiques géométriques.

Si {A} est symétrique et {F\ne0} vérifie {X^TAX>0} pour tout {X\in F\setminus\left\{0\right\}}, montrer que {A} a une valeur propre positive.

Pour {A} symétrique, de plus grande valeur propre {\lambda_1}, montrer {X^TAX\leq\lambda_1\lVert X\rVert^2}.

Si les coefficients hors diagonale sont positifs ou nuls, comparer à {|X|^TA|X|} et montrer que {|X|} est propre maximal si {X} l’est.

En supposant de plus les coefficients hors diagonale strictement positifs, montrer que l’espace propre maximal a dimension un.

Soit {u\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} avec {\ker u=\operatorname{Im}u}, et {A} sa matrice canonique.

Montrer que {A+A^T} est inversible.

Soit {A=(\min(i,j))_{1\leq i,j\leq n}}.

Trouver son unique décomposition {LU}, avec {L} triangulaire inférieure unitaire, et {U} triangulaire supérieure.

Si {N} a des uns sur la surdiagonale et des zéros ailleurs, exprimer {A^{-1}} en fonction de {N}.

Montrer {\operatorname{Sp}A\subset[0,4]}.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})}, {n\geq2}, dont la dernière ligne et la dernière colonne valent un, tous les autres coefficients étant nuls.

Montrer sa diagonalisabilité, décrire son noyau par équations, dimension et base, puis ses deux valeurs propres non nulles, leurs espaces propres et {\chi_M}.

Dans un espace euclidien, soient {a,b} libres et {f(x)=\langle b,x\rangle a+\langle a,x\rangle b}.

Montrer sa linéarité, déterminer noyau, image, diagonalisabilité et éléments propres.

Pour des réels non nuls distincts {a_0\lt \cdots\lt a_n}, munir {E=\mathbb{R}_n[X]} de {\langle P,Q\rangle=\sum\limits_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k)}.

Montrer que c’est un produit scalaire et donner une base orthonormale.

Pour {H=\left\{P:\sum\limits_kP(a_k)=0\right\}}, donner sa dimension et la distance de {Q} à {H}.

Soit {p} un projecteur euclidien.

Montrer que l’orthogonalité du noyau et de l’image entraîne {\lVert p(x)\rVert\leq\lVert x\rVert}. Sinon, trouver {x_0} avec {\lVert p(x_0)\rVert>\lVert x_0\rVert}. Pour {p\ne0}, en déduire que son caractère orthogonal équivaut à {\lVert p\rVert=1}.

Pour {M=(m_{ij})\in O_n(\mathbb{R})}, montrer {|\sum\limits_{i,j}m_{ij}|\leq n\leq\sum\limits_{i,j}|m_{ij}|\leq n^{3/2}}.

Sur {E=\mathbb{R}_n[X]}, muni de {\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1PQ}, poser {\varphi(P)=(X^2-1)P''+2XP'}.

Montrer que {\varphi} est un endomorphisme autoadjoint, déterminer ses valeurs propres, et donner pour {n=2} une base orthonormale de {E}.

Pour {M\in M_{n,m}(\mathbb{R})}, montrer {\det(M^TM)\geq0}.

Pour des parties {A_1,\ldots,A_m\subset\left\{1,\ldots,n\right\}}, montrer que {\det(|A_i\cap A_j|)_{i,j}} est positif.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, {n\geq2}, poser {F(A)=\left\{x^TAx/(x^Tx):x\ne0\right\}}.

Montrer {\operatorname{Sp}_{\mathbb{R}}(A)\subset F(A)}, puis que {F(A)} est un segment, d’abord pour {A} symétrique, puis en général.

Pour {A} symétrique définie positive et {X\ne0}, montrer que {\langle A^{k+1}X,X\rangle/\langle A^kX,X\rangle} converge vers une valeur propre de {A}.

1) Montrer {(\operatorname{tr}M)^2\leq\operatorname{rg}M\operatorname{tr}(M^2)} et étudier l’égalité.

Montrer qu’un spectre strictement positif implique l’inversibilité.

2) Pour {M} inversible, montrer {\langle MX,X\rangle\langle M^{-1}Y,Y\rangle\geq\langle X,Y\rangle^2}.

Soit {A} symétrique réelle inversible et semblable à {A^{-1}}.

Montrer {\operatorname{tr}(A^2)\geq n}.

Une symétrique réelle {A} est dite positive si {x^TAx\geq0} pour tout {x}.

Montrer que cela équivaut à des valeurs propres positives.

Si {A=(a_{ij})} et {B=(b_{ij})} sont positives, montrer que {(a_{ij}b_{ij})} est positive.

1) Exprimer {N} avec les coefficients.

2) Montrer {|\operatorname{tr}A|\leq\sqrt nN(A)} et déterminer l’égalité.

3) Montrer {N(AU)=N(UA)=N(A)} pour {U} orthogonale.

4) Montrer {N(AB)\leq N(A)N(B)}.

5) Calculer {\inf_{S=S^T}\sum\limits_{i,j}(m_{ij}-s_{ij})^2}.

6) Trouver les constantes optimales {a,b} de {aN(A)\leq\sum\limits|a_{ij}|\leq bN(A)}.

Pour {M\in S_2(\mathbb{R})}, noter {\lambda_1\geq\lambda_2} ses valeurs propres.

Étudier la continuité de {M\mapsto(\lambda_1,\lambda_2)}.

Sur un ensemble uniforme fini {\Omega} de {n\geq2} éléments, soit {F} l’espace des variables réelles.

Montrer que {\langle X,Y\rangle=E(XY)} est un produit scalaire, puis déterminer la projection orthogonale de {X} sur la droite des constantes.

Pour {a,b\in\mathbb{R}}, préciser le spectre et les espaces propres de {A=\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\[4pt]ab&a^2&b^2&ab\\[4pt] ab&b^2&a^2&ab\\[4pt]b^2&ab&ab&a^2\end{pmatrix}}.

a) Déterminer noyau et image.

b) Déterminer les éléments propres. {f} est-il diagonalisable ? Pouvait-on le prévoir sans les calculer ?

a) Montrer {\alpha(t)\lt 0\lt \beta(t)\lt 2\lt \gamma(t)}.

b) Quand {t\to+\infty}, montrer {\alpha(t)\to0}, {\beta(t)\to2} et {\gamma(t)=t+O(1/t)}.

Pour {M=(m_{ij})\in O_n(\mathbb{R})}, montrer {\sum_{i,j}m_{ij}^2=n,\qquad \left|\sum_{i,j}m_{ij}\right|\le n,\qquad n\le\sum_{i,j}|m_{ij}|\le n\ln n.}

Pour {A\in GL_n(\mathbb{R})}, montrer l’existence de {O\in O_n(\mathbb{R})} et {S\in S_n^{++}(\mathbb{R})} tels que {A=OS}.

Étudier l’unicité.

a) Montrer {A^2=B^2}.

b) Si {A} est inversible, montrer que {A,B} sont des symétries orthogonales qui commutent.

c) Sans inversibilité, montrer l’égalité de leurs images et noyaux.

1) {O_2(\mathbb{R})} est-il un sous-espace vectoriel de {M_2(\mathbb{R})} ?

2) Déterminer {\operatorname{Vect}(O_2(\mathbb{R}))}.

Soit {M\in O_n(\mathbb{R})}.

Étudier la limite de {A_k=k^{-1}\sum\limits_{i=0}^{k-1}M^i}.

1) Montrer que {\operatorname{tr}(A^2)\geq n}.

2) Montrer que {\operatorname{tr}(A^2)\geq n} si et seulement si {A} est une matrice de symétrie orthogonale.

1) Montrer qu’elle est diagonalisable.

2) Donner ses valeurs propres et vecteurs propres.

3) Donner une condition nécessaire et suffisante pour {M(a,b)^n\to0}.

1) Justifier la diagonalisabilité de {A} et préciser ce qu’on peut dire de ses espaces propres.

2) Montrer que {(X_1,\ldots,X_n)} est une base propre.

3) Calculer {S_{p,q}} pour {p\ne q}.

Soit {U=(u_1,\ldots,u_n)^T} réel de norme un et {A=I_n-2UU^T}.

Montrer que {A} est orthogonale et la caractériser.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, montrer que {AA^T} et {A^TA} sont semblables.

Montrer que {O_n(\mathbb{R})=\left\{A\in GL_n(\mathbb{R}):A^TA=AA^T, \ (A^k)_{k\in\mathbb{Z}}\text{ est bornée}\right\}.}

1) Montrer que {\Phi} est autoadjoint.

2) Montrer qu’il est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

3) Montrer l’existence et l’unicité d’une base orthonormée {(P_0,\ldots,P_n)} telle que {\deg P_k=k} et {\langle P_k,X^k\rangle>0}.

4) Pour {Q_k=(-1)^kP_k(-X)}, montrer les mêmes propriétés.

5) Conclure.

6) Montrer que {P_n} est orthogonal à {\mathbb{R}_{n-1}[X]}.

7) Montrer que {P_n} est scindé sur {]0,1[} à racines simples.

Soit {A\in S_n(\mathbb{R})} et {F\subset\mathbb{R}^n} de dimension {k}, tel que {x^TAx>0} pour tout {x\in F\setminus\left\{0\right\}}.

Montrer que {A} possède au moins {k} valeurs propres strictement positives.