Montrer {xf''+f'=xf}, déterminer les solutions développables en série entière, puis en déduire {\int_0^{\pi/2}\sin^{2k}t\,dt}.

En déduire les solutions de la même équation avec second membre {1/(1+t^2)}.

Existe-t-il une solution {C^\infty} sur cet intervalle ?

Montrer que {x'=a(t)x+b(t)} possède une unique solution {T}-périodique et étudier le comportement asymptotique des solutions.

Résoudre {\sum\limits_{k=0}^n\omega^{n-k}y^{(k)}=0} sur {\mathbb{R}}, à valeurs complexes.

Montrer que toute solution de {X'=S(t)X} tend vers {0} en {+\infty}.

Résoudre cette équation sur {\mathbb{R}}.

Étudier {F(x)/x} et montrer {f} bornée.

En déduire que toute solution de {g''+xg=0} sur {\mathbb{R}_+} est bornée.

Montrer que {\lVert X(t)\rVert^2} est convexe et tend vers {+\infty}.

Pour {\alpha>0}, montrer que {X\mapsto(X(0),X(\alpha))} est un isomorphisme de l’espace des solutions sur {(\mathbb{R}^n)^2}.

Montrer {X(t)\geq0} pour {t\geq0}.

En déduire que, si {a_0,\ldots,a_{n-1}\geq0} et {y^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_ky^{(k)}}, avec {y^{(k)}(0)\geq0}, les fonctions {y,\ldots,y^{(n-1)}} restent positives ou nulles.

Résoudre sur {]0,\infty[} par une expression intégrale.

Étudier les solutions ayant une limite finie en {0^+} et les solutions analytiques près de {0}.

Calculer {\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n/(2^{3n}(3n+1))}.

Dans la seconde condition, suffit-il qu’un seul {f(x_0)} soit inversible ?

2) Pour {A} inversible, montrer que {\lambda} est propre pour {\left(\begin{smallmatrix}0&A^{-1}C\\[4pt]I&A^{-1}B\end{smallmatrix}\right)} exactement lorsqu’il existe {x\ne0} tel que {y(t)=e^{\lambda t}x} résolve {Ay''-By'-Cy=0}.

Résoudre {-2y''+xy'+y=0}, {y(0)=\sqrt\pi}, {y'(0)=0}.

Est-elle solution d’une équation différentielle linéaire homogène ?

Quand {A} est-elle périodique ?

Montrer la stabilité des solutions par translation de {2\pi}.

Étudier les solutions périodiques selon {I\ne0} ou {I=0}, et illustrer.

2) Cette norme et {\lVert \cdot\rVert_\infty} sont-elles équivalentes sur {E} ?

Montrer que {f(t)\to0}.

2) Montrer que {\int_0^1(f')^2\ge\pi^2\int_0^1f^2}. Pour quelles fonctions y a-t-il égalité ?

Montrer que les solutions de {y''+y=f} sont bornées.

2) Donner une expression usuelle de {f}.

3) Résoudre l’équation à l’aide du changement {y=zf}.

2) Résoudre {x^2y''+xy'+y=\sin(a\log x)}.

Trouver les solutions sur {]-1,1[}.

Existe-t-il une solution sur {\mathbb{R}} ?

Existe-t-il une solution bornée sur {]1,+\infty[} ?

Déterminer les fonctions {y\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})} bornées telles que {y''-y=f}.

2) Pour {v''+v=0}, montrer que {\int_a^bu(x)v(x)/(4x^2)dx=(uv'-u'v)(b)-(uv'-u'v)(a)}.

3) Montrer que, pour tout {a>0}, {y} s’annule en un point de {[a,a+\pi[}.

4) En déduire que {\sum\limits_{n\ge0}(-1)^nx^{2n}/(4^n(n!)^2)} s’annule une infinité de fois.

2) Étudier les variations de {G(x)=\int_1^xe^{-t}/t^2dt}.

3) Pour {s(x)=xf(x)}, caractériser {s\in\mathcal S} par une équation sur {f'} et la résoudre.

4) Expliciter {\mathcal S} avec {G} et étudier les limites en {0^+}.

Montrer que les solutions de {y''+y=f} sont bornées sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer que {f(t)+f(t+\pi)\ge0} pour tout {t\in\mathbb{R}}.

Montrer que {A} est antisymétrique si et seulement si toutes les solutions de {Y'=AY} ont une norme euclidienne constante.

Montrer qu’il existe {\lambda\in\mathbb{C}^\star} et une solution {X} non identiquement nulle de {X'=A(t)X}, avec {X(t+T)=\lambda X(t)} pour tout {t}.

2) Poser {S_n=\sum\limits_{j=0}^n\mathbb E(X_j)}.

Montrer que {f(t)=\sum\limits_{n\ge0}S_nt^n} est définie sur {]0,1[} et vérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre.

3) Expliciter {f} et en déduire une expression de {\mathbb E(X_n)}.

Montrer que {y'-y+f=0} possède une unique solution bornée sur {\mathbb{R}}.

Montrer que toute solution non nulle de {y''+\varphi(x)y'-Ky=0} s’annule au plus une fois.

Montrer que {f(x)+f(x+\pi)\ge0} pour tout {x}.

Montrer que {f(x)\le A\exp(\int_0^xg)}.

Si {x''+ax=b}, montrer pour {t\ge0} que {x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)a(u)x(u)\,du +\int_1^t(t-u)b(u)\,du.}

Déterminer les solutions de {X'=AX}.

Montrer son existence sur {\mathbb{R}_+}. Montrer qu’elle est {C^2} sur {]0,+\infty[} et vérifie {2xy''+y'-2y=0}. Résoudre cette équation avec {y(x)=z(\sqrt x)} et expliciter {f}.

Montrer qu’une solution avec {y(0)=0} est impaire, et qu’une solution avec {y'(0)=0} est paire.

Trouver {a} pour lequel {e^{ax^2}} est solution.

Avec {y=u e^{-x^2/2}}, obtenir une équation pour {u} et décrire toutes les solutions à l’aide de {v(x)=\int_0^xe^{t^2}\,dt}.

Poser {g(x)=f(x)+\int_0^x\sin(x-t)f(t)u(t)dt}.

Trouver une équation pour {g}, en déduire une constante {c\geq0} telle que {|f(x)|\leq c+\int_0^x|f(t)u(t)|dt}, puis montrer que {f} est bornée.

Montrer que {\left\{X_0(t):t\in\mathbb{R}\right\}} est inclus dans une sphère de centre zéro.

Déterminer son domaine, une équation différentielle, puis calculer {\int_0^\infty f(t)e^{-xt}dt} pour {x>1}.

2) Montrer {(2n+3)a_{n+1}=1+(n+1)a_n}.

3) En déduire {(2x-x^2)f'+(1-x)f=\sum\limits_{n\ge0}x^n}.

4) Résoudre pour {|x|\lt 1}.

5) Retrouver la somme en intégrant la série géométrique sous l’intégrale.

2) Montrer qu’elle est {C^2} et solution de {2xy''+y'-y=0}.

3) Résoudre l’équation avec {y(x)=z(\sqrt x)}.

Donner sa structure vectorielle, sa dimension et une base ; trouver {M} tel que {f'=Mf} pour tout {f\in F}, puis son inversibilité et son spectre.

2) {x\partial_xf+y\partial_yf=\sqrt{x^2+y^2}\,f}.

Déterminer les {f} donnant {g} non constante et de laplacien nul, sur l’ouvert où son argument appartient à {I}.

Pour {g\in C^2(\mathbb{R}_+^\star)}, déterminer celles telles que {f(x)=g(\lVert x\rVert^2)} soit harmonique hors de {0}.

2) Déterminer toutes les solutions.

(ii) Montrer qu’elle est {C^2} sur {]0,1]}.

(iii) Résoudre {y''-2y/x^2=-3f}, en cherchant les solutions homogènes sous la forme {x^n}.

Si {g=\varphi^2(f)}, trouver un antécédent de {g} par {\varphi}.

Calculer {\varphi^2(g)}.

Donner un exemple où {f} est intégrable mais pas {f'+af}.

Montrer qu’il existe une unique solution bornée {\varphi(f)\in E}.

Montrer que {\varphi} est un endomorphisme, déterminer son noyau, ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

Poser {f(t)=g(e^{it})} et {F(t)=\int_0^tf(s)ds}.

Trouver l’équation fonctionnelle de {f}, montrer sa régularité {C^1}, puis {f(t)=e^{i\lambda t}} et {g(z)=z^n} pour un entier {n}.

Déterminer ensuite toutes les applications continues multiplicatives de {\mathbb{C}^\star} dans lui-même.

À quelles conditions sur {M(0)=(x(0),y(0),z(0))} la solution a-t-elle une limite finie en {+\infty}, ou est-elle périodique ?

Dans ce dernier cas, donner un plan contenant la trajectoire.

Montrer que cela équivaut à {xf_x+yf_y=nf}.

b) En considérant {\int_0^1(\pi\cot(\pi t)f(t)-f'(t))^2dt}, montrer {\int_0^1(f')^2\ge\pi^2\int_0^1f^2}.

c) Déterminer les cas d’égalité.

Trouver {f} de classe {C^\infty} au voisinage de {0} telle que {f^{(n)}(0)=a_n} pour tout {n\in\mathbb{N}}.

b) Noter {\varphi_i(u)} la valeur en {1} de la solution nulle en {0} et {\Phi(u)=(\varphi_i(u))}.

Montrer leur linéarité.

c) Pour {f_i(s)=e^{\lambda_i(1-s)}}, montrer que {(\varphi_i)} est libre si et seulement si {(f_i)} l’est.