Montrer qu’une fonction continue {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} tendant vers {+\infty} à l’infini atteint son minimum.

Si {f} est {C^1} et {f(x)/\lVert x\rVert\to+\infty}, montrer que {\nabla f} est surjective.

Montrer {|\varphi(x)-\varphi((x+y)/2)|\leq(y-x)/2}.

Étudier continuité, régularité hors de l’origine, dérivées partielles en l’origine, variations de {g(x)=f(x,0)} et extrema de {f}.

Montrer la liberté des évaluations {\varphi_i(f)=\partial_if(0)} et la dimension finie de {D}.

2) Calculer les différentielles de {u(x)=f(x,x)} et {v(x)=f(x,x)/\lVert f(x,x)\rVert}, pour {x\ne0}.

3) Calculer le rang de {dv(x)}.

Étudier sa continuité et sa différentiabilité.

Déterminer les {f} tels que {\partial_{xx}g+\partial_{yy}g=0}.

2) Montrer que {\lVert df(x,y)\rVert_{\mathrm{op}}\le1/\sqrt2}.

3) En déduire qu’elle possède au plus un point fixe.

Pour {a\ne b} avec {[a,b]\subset U}, montrer qu’il existe {c\in]a,b[} tel que {f(b)-f(a)=df_c(b-a)}.

2) Pour connaître {\sqrt2/(e+\pi^3)} à la précision {10^{-20}}, avec quelle précision suffit-il de connaître {\sqrt2,e,\pi} ?

2) L’interpréter à l’aide de la réflexion d’hyperplan {x^\perp}.

3) Montrer qu’elle conserve les angles.

Montrer l’équivalence entre {f(tx)=t^\lambda f(x)} pour {t>0}, et {\sum\limits_{i=1}^nx_i\partial_if(x)=\lambda f(x)} pour {x\ne0}.

2) Si {\gamma'(0)\in\mathbb{R}_+\nabla f(a)}, montrer que pour {\lambda} proche de {\alpha=f(a)}, il existe un unique {t_\lambda} voisin de {0} avec {\gamma(t_\lambda)\in C_\lambda}.

Donner un équivalent de {\lVert \gamma(t_\lambda)-a\rVert}.

Montrer {a_{ijk}=a_{ikj}=-a_{kij}}, puis {a_{ijk}=0}.

2) Montrer l’équivalence de (i) et (ii).

Montrer l’équivalence entre {f(tx)=t^kf(x)} pour {t\ge0}, et {df(x)(x)=kf(x)} pour tout {x}.

Déterminer la limite lorsque {r\to0} de {\frac1{2\pi r^2}\int_{-\pi}^{\pi}f(r\cos t,r\sin t)\,dt.}

Montrer que {f(x)\to+\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to\infty}.

Étudier ses extrema sur {\mathbb{R}^2}, puis sur le triangle fermé délimité par {x=1}, {y=1} et {y=1-x}.

Montrer {f(x)\to+\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to+\infty}.

2) Montrer {A=\left\{|1+z|+|1-z|:|z|\leq1\right\}}.

3) Pour {F(x,y)=|1+x+iy|+|1-x-iy|}, déterminer le domaine {\Omega} d’existence des deux dérivées partielles et montrer {F\in C^1(\Omega)}.

4) Déterminer les points critiques dans le disque ouvert et expliciter {A}.

Montrer sa continuité, étudier la propriété {C^1} et calculer les dérivées partielles mixtes en {0}.

Déterminer le lieu {f=1}, montrer l’absence d’extremum en zéro, trouver les points critiques hors zéro, puis les uniques maximum et minimum locaux.

Montrer {A=\left\{\lVert u+v\rVert+\lVert u-v\rVert:u\in S,v\in B\right\}}, puis {A=\left\{|1+z|+|1-z|:|z|\leq1\right\}}.

Étudier le domaine des dérivées partielles et les points critiques de {f(x,y)=|x+1+iy|+|x-1+iy|}, puis déterminer {A}.

Montrer que {\Omega} est ouvert convexe et que {f} est {C^1} sur {\Omega}.

Montrer l’équivalence entre : (i) {f(tx,ty)=t^nf(x,y)} pour tout {(x,y)} et {t\geq0} ;

(ii) {x\partial_xf+y\partial_yf=nf}.