Soit {A_t=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&1&0\\[4pt]1&0&t\end{pmatrix}}, {t\in\mathbb{R}}.

Montrer qu’elle est diagonalisable, puis que ses valeurs propres ordonnées vérifient {a(t)\lt 0\lt b(t)\lt 2\lt c(t)}.

Déterminer leurs limites en {+\infty} et un équivalent de {c(t)}.

Soit {p\in\mathbb{N}} et {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} continue.

Montrer qu’il existe un unique {a_n\geq0} tel que {\int_0^{a_n}\sqrt[n]{f(t)+1}\,dt=n^{-p},}puis donner un équivalent de {a_n}.

Donner un équivalent de {u_n=\prod\limits_{k=1}^n(k^2+n^2)^{1/n}}.

1) Déterminer les matrices commutant avec {N}.

2) Montrer que {X^2=A} a au plus deux solutions, de la forme {\pm(I+a_1N+\cdots+a_{n-1}N^{n-1})}.

3) Résoudre à l’aide du développement limité de {\sqrt{1+x}}.

Pour {u_n=\sum\limits_{k=1}^n(1-1/n)^k/k}, montrer la divergence et donner un équivalent.

Pour {P_n=\prod\limits_{i=0}^n(X-i)}, montrer que {P_n'} a un unique zéro {r_n\in]0,1[} et en donner un équivalent.

Pour {u_0\ge0} et {u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}}, montrer {u_n\to\infty} et donner un développement asymptotique à trois termes.

Pour {f(x)=x-\log(1+x)} sur {]-1,\infty[}, montrer les bijections {f_1:]-1,0]\to\mathbb{R}_+} et {f_2:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+}.

Donner les équivalents en zéro de {f} et de ces inverses, puis le développement à l’ordre deux de {f_2^{-1}}.

Pour {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} de classe {C^1} et {P=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k}, {n\ge1}, {a_n\ne0}, supposer {f'(x)P(f(x))\to\ell>0}.

Déterminer un équivalent de {f} à l’infini.

Déterminer un équivalent de {p(n)=\operatorname{card}\left\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3:x+2y+3z=n\right\}}.

Donner un développement asymptotique de {u_n=\int_0^1dt/(1+t^n)} avec un reste {o(1/n^2)}.

Soient {a,b\in\mathbb{N}}, avec {b>a\ge1}.

Déterminer la limite de {\sum\limits_{k=an+1}^{bn}\log(1-k/n^2)}.

Pour {n\ge1}, on pose {u_n=\left(\cos\frac{n\pi}{3n+1}+\sin\frac{n\pi}{6n+1}\right)^n.}Déterminer sa limite.

1) Pour {\lambda>0}, soit {f_\lambda(x)=x^{-\lambda}e^{1/x}} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer qu’il existe un unique {g(\lambda)>0} avec {f_\lambda(g(\lambda))=1}.

2) Donner un développement asymptotique de {g(\lambda)} lorsque {\lambda\to+\infty} et lorsque {\lambda\to0^+}.

1) Rappeler l’intégration des équivalents et donner un équivalent de {\log f(x)} à l’infini.

2) Pour {u(x)=\sum\limits_{n\ge0}f(n)e^{-nx}}, déterminer le domaine et les limites aux bornes.

Pour {n\geq4}, soit {f_n(x)=x^{3n}-\sqrt n\,x+1}.

Montrer qu’il existe un unique {x_n\in[1,2]} tel que {f_n(x_n)=0}.

Étudier {\varepsilon_n=x_n-1}, en donner un équivalent, puis un développement asymptotique de {x_n} à trois termes.

1) Montrer que {f} est {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que {f} réalise une bijection de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

3) Donner le développement limité d’ordre cinq de {f^{-1}} au voisinage de un.

Trouver un équivalent de {\sum\limits_{k=1}^nk!}.

Pour {n\geq1}, déterminer la probabilité {p_n} qu’une application uniforme de {\left\{1,\ldots,n\right\}} dans {\left\{1,\ldots,n-1\right\}} soit surjective, puis un équivalent de {p_n}.

Montrer que {x^n+x^2=1} a une unique solution dans {\mathbb{R}_+}, notée {x_n}.

Déterminer un développement asymptotique à deux termes de {x_n}.

Soit {c>0}, {c\ne1}, et {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+^\star} croissante, avec {f(cx)\sim f(x)} à l’infini.

Montrer {f(dx)\sim f(x)} pour tout {d>0} et donner un exemple strictement croissant.

Soit {x_n} l’unique solution de {e^x=n-x}, {n\ge1}.

Déterminer sa limite, un équivalent et un développement asymptotique à deux termes.

1) Trouver sa limite {\ell}.

2) Donner un équivalent de {I_n-\ell}.

3) Montrer que {\int_0^1\ln(1+y)/y\,dy=\sum\limits_{k\geq0}(-1)^k/(k+1)^2}.

4) Donner un développement asymptotique de {I_n} à trois termes.

Soient {(\varepsilon_n)} i.i.d. uniformes sur {\left\{-1,1\right\}} et {X_n=n^{-1/2}\sum\limits_{i=1}^n\varepsilon_i}.

Déterminer le comportement asymptotique de {\mathbb E(\cosh X_n)} et {\mathbb E(\sinh X_n)}.