Pour {a,b\geq1}, montrer que {\gcd(a,b)=1} si et seulement si tout entier {n\geq(a-1)(b-1)} s’écrit {au+bv} avec {u,v\in\mathbb{N}}.

Déterminer les {(m,n)\in\mathbb{N}^2} tels que {2^m-3^n=1}.

Soient {p,q\geq2} entiers.

Montrer que si {q^p-1} est premier, alors {p} est premier et {q=2}.

Si {p} est premier impair et {k} divise {2^p-1}, montrer {k\equiv1\pmod{2p}}.

Soit {a\geq2} entier. Montrer que si {a^m+1} est premier pour un {m\geq1}, alors {a} est pair et {m} est une puissance de {2}.

Pour {F_n=2^{2^n}+1}, montrer {F_n=2+\prod\limits_{k=0}^{n-1}F_k}, puis que les {F_n} sont premiers entre eux deux à deux.

En déduire l’infinitude des nombres premiers.

Supposer qu’un entier {n\geq2} divise {2^n-1}.

Pour un premier {p\mid n}, montrer que {2} est inversible modulo {p} et que son ordre divise {n} et {p-1}.

En déduire une contradiction.

Montrer que les matrices entières dont l’inverse est entier forment le groupe {GL_n(\mathbb{Z})}.

Si {A} est d’ordre fini et {A=I+pM} avec {p\geq3} premier et {M} entier, montrer {\operatorname{Sp}A=\left\{1\right\}} et conclure.

Soit {d(n)} le nombre de diviseurs de {n}, {\varphi} l’indicatrice d’Euler et {\zeta} la fonction de Riemann.

Montrer, pour {\alpha>1}, {\sum\limits d(n)/n^\alpha=\zeta(\alpha)^2}, puis, pour {\alpha>2}, {\sum\limits\varphi(n)/n^\alpha=\zeta(\alpha-1)/\zeta(\alpha)}.

Étudier les autres valeurs réelles de {\alpha}.

Déterminer les couples {(m,n)\in\mathbb{N}^2} tels que {3^m=8+n^2}.

1) Si {q^p-1} est premier, montrer que {q=2} et {p} est premier.

2) Si {p} est premier et {k\ge1} divise {2^p-1}, montrer {k\equiv1\pmod{2p}}.

Soit {A=\left\{n\in\mathbb{N}:2^n+1\equiv0\pmod n\right\}}.

Montrer que {3} est son unique nombre premier et que toutes les puissances entières de {3} lui appartiennent.

1) Pour {n>6}, trouver {a,b\ge2} tels que {a+b=n} et {\gcd(a,b)=1}.

2) Si {p_1\lt p_2\lt \cdots} sont les nombres premiers, montrer {p_1\cdots p_k\ge p_{k+1}+p_{k+2}} pour {k\ge3}.

1) Montrer {v_p\binom nk=(S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n))/(p-1)}.

2) Interpréter cette valuation par les retenues de l’addition de {k} et {n-k} en base {p}.

3) {7} divise-t-il {\binom{1000}{500}} ?

4) Montrer que {2\mid\binom{2n}n} et étudier la divisibilité par {4} pour {n\ge2}.

1) Décrire les sous-groupes d’un groupe cyclique d’ordre {n}.

2) Montrer {n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)}.

3) Montrer la multiplicativité de {\varphi} sur les entiers premiers entre eux et donner sa formule à partir des facteurs premiers.

Pour un premier impair {p}, dénombrer les carrés de {\mathbb{F}_p} et montrer que {-1} est un carré exactement lorsque {p\equiv1\pmod4}.

Soit {D_n=\left\{d\in\mathbb{N}:d\mid n,\ \sqrt{n/2}\le d\le\sqrt{2n}\right\}} et {d_n=|D_n|}. La suite est-elle convergente ? bornée ?

Soit {p\geq3} premier et {K=\left\{x^2:x\in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\right\}}.

Dénombrer {K}. Si {A,B} sont des variables à valeurs dans {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}, {N} compte les solutions de {X^2+AX+B=0}.

Déterminer l’espérance et la variance de {N}.

1) Calculer {\varphi(7)} et {\varphi(37044)}.

2) Montrer {\varphi(n)\ge n\log2/(\log n+\log2)} pour {n\ge1}.

Pour {a,b\ge1}, montrer que {\gcd(a,b)=1} si et seulement si tout entier {n\ge ab} s’écrit {au+bv}, avec {u,v\in\mathbb{N}}.

1) Montrer que les {F_n} sont deux à deux premiers entre eux.

2) En déduire l’infinité des nombres premiers.

1) Pour des entiers {a,b,c} premiers entre eux dans leur ensemble, montrer que {A=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]2c&a&b\\[4pt]2b&2c&a\end{pmatrix}} est inversible.

2) Pour {\alpha=2^{1/3}}, montrer que {a+b\alpha+c\alpha^2=0} avec {a,b,c\in\mathbb{Q}} impose {a=b=c=0}.

1) Montrer qu’une matrice entière de diagonale impaire et de coefficients hors diagonale pairs est inversible sur {\mathbb{R}}.

2) Que devient le résultat en intervertissant pair et impair ?

Soit {A\in M_n(\mathbb{Z})} avec {A^p=I} et {A\equiv I\pmod m}, où {m\ge3}.

Montrer {A=I}.

1) Si {d(n)} est le nombre de diviseurs de {n}, montrer pour {\alpha>1} que {\sum\limits_{n=1}^\infty d(n)/n^\alpha=\zeta(\alpha)^2}.

2) Pour {\alpha>2}, montrer que {\sum\limits_{n=1}^\infty\varphi(n)/n^\alpha=\zeta(\alpha-1)/\zeta(\alpha)}.

Pour {n\ge2}, on pose {f(n)=\prod\limits_{d\in\left\{1,\ldots,n-1\right\},\ d\mid n}d}.

Résoudre l’équation {f(n)=n}.

Soit {n\in\mathbb{N}^\star}, dont on note {\left\{d_1,\ldots,d_k\right\}} l’ensemble des diviseurs positifs.

Montrer que {\sqrt n\le\frac1k\sum\limits_{i=1}^kd_i\le(n+1)/2}.

Soient {p,q} deux entiers naturels premiers entre eux avec {p\lt q}.

Montrer qu’il existe {n\ge1} et une liste strictement croissante {(a_1,\ldots,a_n)\in(\mathbb{N}^\star)^n} tels que {\frac pq=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{a_k},\qquad a_1\le\left\lfloor\frac qp\right\rfloor.}

1) Soit {p} premier impair.

Pour {k\in\left\{1,\ldots,p-1\right\}}, montrer qu’il existe un unique {k^{-1}\in\left\{1,\ldots,p-1\right\}} tel que {kk^{-1}\equiv1\pmod p}.

Montrer que {\sum\limits_{k=1}^{p-1}k^{-1}\equiv0\pmod p}.

2) Soit {m} un entier naturel impair.

Montrer que {\sum\limits_{k=1}^{p-1}k^m\equiv0\pmod p}.

3) Ici {p\ge5}.

Montrer que, pour {k\in\left\{1,\ldots,p-1\right\}}, il existe un unique {k^\star\in\left\{1,\ldots,p^2-1\right\}} tel que {kk^\star\equiv1\pmod{p^2}}.

Montrer que {\sum\limits_{k=1}^{p-1}k^\star\equiv0\pmod{p^2}}.

1) Montrer que, si {n\wedge m=1}, alors {\sigma(nm)=\sigma(n)\sigma(m)}.

2) Montrer que, si {\sigma(n)} est premier, alors {\tau(n)} l’est aussi.

1) Montrer que, si {M_n} est premier, alors {n} l’est aussi.

2) Montrer que {s_{n+1}=s_n^2-2}.

Qu’en déduire sur {(s_n)} ?

3) Pour {q\in\mathbb{N}^\star}, on pose {B=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2}, avec {(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),\qquad (x,y)(x',y')=(xx'+3yy',xy'+yx').}Montrer que {B} est un anneau commutatif. Posons {A=\mathbb{Z}+\sqrt3\mathbb{Z}} et {\pi(a+\sqrt3b)=(\bar a,\bar b)}.

Montrer que {\pi} est bien défini et est un morphisme surjectif d’anneaux.

4) Soit {n} premier.

Montrer que, si {M_n} divise {s_{n-2}}, alors {M_n} est premier. Indication : considérer le plus petit diviseur premier {q} de {M_n} et l’ordre de {(\bar2,\bar1)} dans {B^\times}.

1) Déterminer les idéaux premiers de {\mathbb{Z}}.

2) Si {P\in\mathbb{K}[X]} est irréductible, montrer que {P\mathbb{K}[X]} est premier.

3) Si {J,K} sont des idéaux et {I} est premier, montrer que {J\cap K=I} implique {J=I} ou {K=I}.

4) Soit {A} un anneau commutatif non trivial dont tous les idéaux propres sont premiers.

Montrer que {A} est intègre, puis que c’est un corps.

1) Pour {n\in\mathbb{N}^\star}, montrer qu’il existe {P_n\in\mathbb{Z}[X]} unitaire tel que {P_n(X+1/X)=X^n+1/X^n}.

2) Déterminer les {r\in\mathbb{Q}} tels que {\cos(\pi r)\in\mathbb{Q}}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{Z})}. Pour {x\in\mathbb{Z}^n}, on pose {\Lambda(x)=\gcd(x_1,\ldots,x_n)}.

Montrer l’équivalence : i) {\Lambda(Ax)=\Lambda(x)} pour tout {x\in\mathbb{R}^n} ;

ii) {\det A=\pm1}.

1) Définir l’indicatrice d’Euler et exprimer {\varphi(n)} à partir de la décomposition primaire de {n\ge1}.

2) Montrer que {n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)}.

3) En déduire le déterminant de {(i\wedge j)_{0\le i,j\le n}\in\mathcal M_{n+1}(\mathbb{R})}.

1) Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{Z})} dont les coefficients diagonaux sont impairs et les autres pairs.

Montrer que {A} est inversible.

2) Est-ce encore vrai si les coefficients diagonaux sont pairs et les autres impairs ?

3) On dispose de {2p+1} masses telles que, dès qu’on en enlève une, les {2p} restantes peuvent être regroupées en deux ensembles de cardinal {p} et de même masse.

Montrer que toutes les masses sont égales.

1) Donner un équivalent de {H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}.

2) Donner un équivalent du nombre {u_n} de triplets {(x,y,z)\in\left\{1,\ldots,n\right\}^3} tels que {xy=z}.

3) Même question pour {v_n}, nombre de triplets tels que {xy=z^2}.

Aujourd’hui, nous sommes le vendredi 1er juillet 2022.

Quel jour sera-t-on le 1er juin 2023 ?

Soit {P\in\mathbb{Z}[X]} tel que {P(k)} soit premier pour tout {k\in\mathbb{Z}}.

Montrer que {P} est constant.