Cela implique-t-il sa continuité ?

Montrer que oui si toutes les fibres {f^{-1}(\left\{y\right\})} sont fermées.

Montrer qu’une application affine continue stabilisant {C} possède un point fixe dans {C}.

Généraliser à une famille finie d’applications affines continues stabilisant {C} et commutant deux à deux.

Montrer qu’il est borné, choisir {r>0} tel que {K\subset B_r}, et montrer {\inf_{u\in K,v\in S_r}\lVert u-v\rVert>0}.

Pour {\varepsilon>0}, construire une bijection continue de {\mathbb{R}^n} fixant le complément de {B_r} et envoyant {K} dans {B_\varepsilon}.

Montrer que {SL(E)} est un sous-groupe fermé non compact de {GL(E)}.

Donner un sous-groupe compact non trivial.

Pour un sous-groupe compact {G}, montrer que {N(x)=\max_{g\in G}\lVert g(x)\rVert} est une norme {G}-invariante.

Étudier l’égalité triangulaire pour {N}.

Si {a_k/b_k\to\alpha}, avec {a_k\in\mathbb{Z}}, {b_k\geq1}, montrer {|a_k|,b_k\to+\infty}.

Tester {u(n)=\sin n} et {u(n)=n\pi-\lfloor n\pi\rfloor}.

Montrer qu’il est compact exactement lorsque toute fonction continue {A\to\mathbb{R}} est bornée.

Si {f} est uniformément continue, montrer qu’elle est bornée sur {A\cap[0,N]}.

Caractériser les {A} sur lesquels toute fonction continue est uniformément continue.

Pour {f(M)=(\operatorname{tr}M^k)_{1\leq k\leq n}}, calculer la différentielle, montrer que son rang est le degré du polynôme minimal de {M}, puis que l’ensemble {\left\{M:\mu_M=\chi_M\right\}} est ouvert.

Pour {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, montrer que {\Omega_n} est ouvert.

Montrer que {\rho(A)} est valeur d’adhérence de {(u_n)}.

Montrer qu’il existe {u} unitaire tel que {d(u,F)\geq\delta}.

Si {f:E\to E'} est continue et si l’image réciproque de tout compact est compacte, montrer que {f} envoie les fermés sur des fermés.

En déduire que l’ensemble des polynômes unitaires scindés de {\mathbb{R}_d[X]} est fermé.

En déduire que deux fermés {A,B} couvrant {\mathbb{U}} contiennent, l’un ou l’autre, deux points diamétralement opposés.

Montrer qu’il existe {z\in D} tel que {h(-z)=h(z)}.

Déterminer {f_v^\star=\sup_{p\in S_n}f_v(p)} et {E_v=\left\{p:f_v(p)=f_v^\star\right\}}.

Si l’image réciproque de toute partie bornée de {B} est bornée, montrer que {f^{-1}} est continue.

Caractériser {y=p(x)} par {\langle x-y,c-y\rangle\le0} pour tout {c\in C}.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, soit {H} l’intersection des convexes contenant ses racines.

(ii) montrer qu’il existe {\psi\in[0,\pi/2[} tel que {|\operatorname{Arg}((z-h)/(z-q))|\leq\psi} pour tout {h\in H}.

(ii) Montrer que {j_C} est finie, positive ou nulle, homogène.

(iii) Montrer que {j_C(x)=0\Leftrightarrow x=0}.

(ii) Montrer {j_C(x+y)\leq j_C(x)+j_C(y)}. Indication : utiliser {x/(j_C(x)+\varepsilon)}, {y/(j_C(y)+\varepsilon)} et leur combinaison convexe de poids {(j_C(x)+\varepsilon)/(j_C(x)+j_C(y)+2\varepsilon)}.

(ii) Montrer qu’une fonction continue injective sur un intervalle réel est strictement monotone.

Soit {f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que, pour toute taille {n\geq1} et toute matrice réelle inversible {A=(a_{ij})}, la matrice {(f(a_{ij}))} soit inversible.