Poser {u_n=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk^{-1}}.

Tracer les coefficients {\binom{200}{k}} et montrer leur croissance pour {k\lt n/2}.

Tracer {u_n} jusqu’à {100}, conjecturer et prouver sa limite.

Établir {\sum\limits_{k=0}^nk/\binom nk=(n/2)u_n}, puis une récurrence entre {u_n} et {u_{n+1}}.

Soit {f:[0,1]\to[0,1]} continue et {x_{n+1}=n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(x_k)}, {x_1\in[0,1]}.

Montrer {x_{n+1}-x_n\to0}, que l’ensemble des valeurs d’adhérence est un segment non vide, puis que {x_n} converge vers un point fixe.

1) Programmer ce comptage et tester les {500} premiers termes pour {u_n=\sqrt n}, {\ln n} et {((1+\sqrt5)/2)^n}.

2) Dans le dernier cas, trouver {v_n\to0} avec {u_n+v_n} entier et en déduire la non-équirépartition.

3) Pour {u_n=\sqrt n}, traduire le comptage par {(p+a)^2\leq k\leq(p+b)^2} ; encadrer à l’aide de {\sum\limits_{p=1}^{\lfloor\sqrt n\rfloor}(b^2-a^2+2p(b-a))} et conclure.

4) La suite {\ln n} est-elle équirépartie ?

Soit {r>0}, {r^2+r=1} et {f} continue strictement décroissante avant {t_0} puis strictement croissante après. Partant de {a_0\leq t_0\leq b_0}, on pose {\lambda_n=a_n+r^2(b_n-a_n)}, {\mu_n=a_n+r(b_n-a_n)}, puis conserve {[\lambda_n,b_n]} si {f(\lambda_n)\geq f(\mu_n)}, {[a_n,\mu_n]} sinon.

Programmer et montrer {a_n,b_n\to t_0}. Pour {F\in C^1(\mathbb{R}^2)} minorée, strictement unimodale sur toute droite, programmer la descente dans la direction du gradient normalisé avec minimisation exacte sur la droite.

Montrer la convergence des valeurs {F(X_n)} ; les points convergent-ils ?

1) Montrer qu’il s’agit d’une relation d’ordre.

2) Montrer qu’une partie est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée pour cet ordre.

3) Montrer que toute suite croissante majorée converge.

4) Pour {A,B\in S_n^{++}}, montrer que {A\preceq B} entraîne {B^{-1}\preceq A^{-1}}.

1) Montrer qu’une fonction continue injective sur un segment est strictement monotone.

2) Chercher les fonctions continues {g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que {g\circ g(x)=2g(x)-x} : montrer qu’elles sont bijectives et strictement croissantes.

3) Exprimer les itérées {g^n} et conclure.

a) Montrer {T(tx+(1-t)y)=tT(x)+(1-t)T(y)} pour {0\le t\le1}.

b) Si {C} est compact, convexe, non vide et {T(C)\subset C}, montrer que {T} possède un point fixe dans {C}.

1) Programmer les {n} premiers termes et discuter les complexités.

2) Montrer que {x-x^3/3\leq\sin x\leq x} sur {[0,\pi]}.

3) On pose {v_n=\frac1{n+1}\sum\limits_{k=0}^nu_k}.

Montrer que {u_n\in[0,\pi]}, puis {v_n-\frac{\pi^3}{6(n+1)^2}\leq u_{n+1}\leq v_n,}et {-\frac{\pi^3}{6(n+1)^3}\leq v_{n+1}-v_n\leq0.}En déduire la convergence de {(u_n)}.

1) Tracer les premiers termes pour diverses valeurs des paramètres.

2) On suppose désormais {b>0}.

Exprimer {u_{n+3}} en fonction de {u_n,u_{n+1},a,b} et montrer que {(u_n)_{n\geq3}} est bornée.

3) Poser {\alpha_n=\sup_{k\geq n}u_k} et {\beta_n=\inf_{k\geq n}u_k}.

Justifier leur existence et leur convergence vers {\alpha_\infty} et {\beta_\infty}.

4) Montrer que {\alpha_\infty\leq\frac{\alpha_\infty+a}{\beta_\infty+b},\qquad \beta_\infty\geq\frac{\beta_\infty+a}{\alpha_\infty+b},}puis que {\alpha_\infty=\beta_\infty}.

5) Conclure.

1) Montrer que {I_{n+1}^2\leq I_nI_{n+2}}.

2) En déduire que {I_{n+1}/I_n} converge vers {\ell\in]0,\lVert u\rVert_\infty]}.

3) Montrer que {x_n\to\gamma} implique {\frac1n\sum\limits_{k=0}^{n-1}x_k\to\gamma}.

En déduire que {I_n^{1/n}\to\ell}.

4) Minorer {I_n} et montrer que {I_n^{1/n}\to\lVert u\rVert_\infty}.

1) Déterminer l’éventuelle limite de {(U_n)}.

Montrer que, si trois termes consécutifs sont égaux, la suite est constante.

2) Calculer les premiers termes pour différentes valeurs de {U_0,U_1}. Que peut-on en déduire ? Pour les suites telles que {U_n\to+\infty}, s’intéresser à {V_n=2^{-n}\ln(U_n/2)}.

3) Comparer les signes de {U_{n+1}-U_n} et {U_n-U_{n-2}}.

4) On suppose désormais la suite non constante.

Montrer que, s’il existe {n_0} tel que {U_{n_0+1}\geq U_{n_0}} et {U_{n_0+1}\geq U_{n_0-1}}, alors {(U_n)_{n\geq n_0+1}} est strictement croissante. On admet que, s’il existe {n} tel que {U_{n+1}\leq U_n} et {U_{n+1}\leq U_{n-1}}, alors la suite est strictement décroissante.

5) Supposons que, quel que soit {N}, {(U_n)_{n\geq N}} ne soit pas strictement monotone.

Montrer que {U_0\ne U_1} et que, si {U_0\lt U_1}, alors {U_0\lt U_2\lt U_3\lt U_1} (vérifier si l’inégalité est stricte ou non).

En déduire que {(U_n)} converge vers {1}.

6) Établir, pour une suite non constante appartenant à {S}, l’équivalence des propriétés : il existe {N\geq0} tel que {U_N\geq1} et {U_{N+1}\geq1} ; la suite est strictement croissante à partir d’un certain rang ; elle tend vers {+\infty}.

1) Étudier sa convergence lorsque {k} est constante, lorsque {k_n=n+2}, puis lorsque {k_n=2n+2}.

2) Montrer que, pour tout {k\in C}, {\Phi(k)} converge vers une limite {\ell\in]0,1]}.

1) Montrer que {f} admet un unique zéro {z} sur {[0,1]}.

2) Pour {a\in]z,1]}, montrer que la tangente en {(a,f(a))} coupe l’axe des abscisses en un unique point d’abscisse dans {]z,a[}.

3) On définit {x_0=1} et {x_{n+1}} comme cette abscisse pour la tangente en {(x_n,f(x_n))}.

Montrer que {x_n\to z}.

4) Avec {M_2=\sup_{[0,1]}|f''|}, prouver {0\leq x_{n+1}-z\leq\frac{M_2}{2f'(0)}(x_n-z)^2.}

a) Donner le degré et le coefficient dominant de {Z_n}.

b) Soit {M=\left\{c\in\mathbb{C}:|Z_n(c)|\text{ ne tend pas vers }+\infty\right\}}.

Montrer que {c\notin M} si et seulement s’il existe {n_0} tel que {|Z_{n_0}(c)|>2}.

a) La suite des puissances converge-t-elle ?

b) Lorsqu’elle converge, donner le rang de sa limite.

a) Montrer qu’il existe un unique {x_n\in]0,1]} tel que {P_n(x_n)=0} et que {(x_n)} converge vers {\ell\in[0,1]}.

b) Si tous les {a_n} valent {1}, calculer {\ell} et un équivalent de {x_n-\ell}.

Montrer la convergence de {u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=1}^n\ln k-n^{-1}\int_1^{n+1}\ln t\,dt}.

a) Donner une récurrence pour ces suites.

b) Les exprimer et montrer que le jeu s’arrête presque sûrement.

a) Définir {F} et montrer sa continuité sur {[-1,1]}.

b) Montrer qu’elle est dérivable et croissante sur {[0,1]}.

c) Pour {u_0=0}, {u_{n+1}=F(u_n)}, montrer que {u_n\in[0,1]}.

d), e) d) Programmer {U(\mu,n)} pour {F(t)=e^{\mu(t-1)}}, tracer les {30} premiers termes pour {\mu=1} et {0{,}7} et conjecturer.

e) Quelle loi a pour génératrice ce {F} ?

f) Dans le cas général, étudier le signe de {\varphi(t)=F(t)-t} sur {[0,1]}.

g) Si {S\lt 1}, étudier monotonie et limite {\ell} de {u_n}.

h) Montrer que {|u_n-\ell|=o(q^n)} pour {S\lt q\lt 1}.

i) Pour {H} strictement croissante, positive sur {[0,1]}, avec {H(\ell)\leq1}, montrer la convergence de {g_n=u_n\prod\limits_{k=1}^nH(u_k)}.

j) Tracer les {20} premiers termes.

k) Si {H(\ell)=1}, a-t-on nécessairement {H(u_n)=1+o(q^n)} pour {S\lt q\lt 1} ? Montrer que c’est le cas si {H} est lipschitzienne au voisinage de {\ell}.

1) Montrer le théorème de Cesàro pour une suite convergente réelle.

2) Soit {f:S\to S} de classe {C^1} sur un segment, avec {0\lt |f'|\lt 1}, et {f(\alpha)=\alpha}.

Si {u_0\ne\alpha}, {u_{n+1}=f(u_n)}, montrer {\left|(u_n-\alpha)/(u_0-\alpha)\right|^{1/n}\to|f'(\alpha)|}.

1) Donner un exemple.

2) Pour une telle norme et {Q\in GL_n(\mathbb{R})}, montrer que {\lVert A\rVert_Q=\lVert Q^{-1}AQ\rVert} est une norme sous-multiplicative.

3) Soit {(u_n)_{n\geq1}} strictement positive telle que {u_{n+m}\leq u_nu_m}. On pose {\ell=\inf_{n\geq1}u_n^{1/n}}.

Pour {\varepsilon>0}, montrer qu’il existe {m_\varepsilon} tel que {u_{m_\varepsilon}\leq(\ell+\varepsilon)^{m_\varepsilon}}.

Montrer ensuite qu’il existe {\alpha_\varepsilon>0} tel que, pour {n\geq m_\varepsilon}, {u_n^{1/n}\leq(\ell+\varepsilon)^{1-r_n/n}\alpha_\varepsilon^{1/n},}où {r_n} est le reste de {n} modulo {m_\varepsilon}.

En déduire la limite de {u_n^{1/n}}.