1) Programmer un crible donnant les indicatrices de primalité de {0} à {n}.

Tracer {S(n)=\sum\limits_{p\in\mathcal P_n}(\ln p)/p} ainsi que {\ln n-\ln4-1} et {\ln n+\ln4} ; conjecturer un encadrement.

2) Montrer successivement, pour {k\geq0}, {\#\left\{m\leq n:v_p(m)=k\right\} =\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor -\left\lfloor\frac n{p^{k+1}}\right\rfloor,}{v_p(n!)=\sum_{k\geq1}\left\lfloor\frac n{p^k}\right\rfloor, \qquad \frac np-1\leq v_p(n!)\leq\frac n{p-1}.}En déduire un encadrement de {\ln(n!)}.

3) Calculer {\sum\limits_{k\geq1}k/2^k} et montrer la convergence de {\sum\limits_{p\text{ premier}}\ln p/[p(p+1)]}.

Montrer que {\ln(n!)=n\ln n-n+1+\theta_n\ln n}, {0\leq\theta_n\leq1}.

Établir {\prod\limits_{n\lt p\leq2n}p\leq4^n} et conclure sur la conjecture.

Pour {0\lt x\lt 1}, définir {p_1=x}, {q_n=\lfloor1/p_n\rfloor+1}, {p_{n+1}=p_nq_n-1}.

Justifier la définition, montrer que {q_n} croît et {q_n\geq2}, puis {x=\sum\limits_{n\geq1}1/(q_1\cdots q_n)}.

Montrer l’unicité d’une telle suite croissante d’entiers au moins {2}.

Montrer que {x} est rationnel exactement lorsque {q_n} est stationnaire.

Noter {u_n} le nombre de chiffres {1} de l’écriture binaire de {n}.

Calculer {u_{13},u_{31},u_{32}} et programmer {u_n}.

Tracer les cent premières sommes partielles de {\sum\limits u_n/[n(n+1)]}.

Montrer {u_n\leq1+\log_2n} et la convergence de cette série.

Exprimer {u_{2n},u_{2n+1}} en fonction de {u_n} et prouver {S=S/2+\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n-1}/n}, puis {S=2\ln2}.

Pour {H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}, montrer que {F(x)=\sum\limits_{n,m\geq1}1/[nm(n+m+x)]} existe pour {x>-2}, et que {F(x)=\sum\limits_{k\geq1}2H_k/[(k+1)(k+1+x)]}.

Calculer {F(1)}.

Soit {\sum\limits a_nz^n} de rayon {R}, éventuellement infini.

Étudier {\sum\limits a_nz^n/(1-z^n)} pour {|z|\ne1}, selon {|z|}, {R} et la nature de {\sum\limits a_n}.

Pour {x\geq0}, poser {f_n(x)=n^{-1}(1-x/n)\mathbf1_{[0,n]}(x)}.

Montrer sa convergence uniforme et comparer les intégrales des {f_n} et de leur limite.

Démontrer la convergence dominée lorsque la convergence est uniforme sur tout segment de l’intervalle d’intégration.

Enfin, pour {f_n:\mathbb{N}\to\mathbb{C}} convergeant ponctuellement vers {f} et dominées par une famille sommable {\varphi}, prouver la sommabilité de chaque famille et la convergence de leurs sommes.

1) Montrer que {\sum\limits b_n} diverge et que ses sommes partielles sont équivalentes à {S_n}.

2) Si {S_n/(na_n)\to\lambda>0}, déterminer la limite de {\frac1{n^2a_n}\sum\limits_{k=0}^nka_k}.

1) Simplifier {x_n+y_n+x_ny_n}, puis montrer que {\sum\limits f(x_n)} converge et exprimer sa somme en fonction de {f(1)}.

2) Montrer que {f} est dérivable.

3) Déterminer toutes les fonctions continues vérifiant {(*)}.

1) Montrer qu’une série absolument convergente converge.

2) Montrer que {\sum\limits a_nb_n} converge.

3) Montrer que {\sum\limits b_nf_n} converge simplement.

1) Rappeler l’intégration des comparaisons et trouver un équivalent de {\ln f(t)} à l’infini.

2) Déterminer le domaine de {u(x)=\sum\limits_{n\geq0}f(n)e^{-nx}} et ses limites aux bornes.

3) Montrer que {u(x)\sim Cx^{-1}f(1/x)} en zéro positif et déterminer {C}.

1) Définir la continuité par morceaux. Pour {n\geq1}, poser {f_n(x)=n^{-1}(1-x/n)} sur {[0,n]}, et zéro ailleurs sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer la convergence simple vers {f} et la non-convergence des intégrales vers {\int f}.

2) Rappeler la convergence dominée ; la démontrer sous l’hypothèse supplémentaire de convergence uniforme sur chaque segment.

3) Si {f_n(k)\to f(k)} pour tout {k\in\mathbb{N}} et {|f_n(k)|\leq\varphi(k)}, avec {\varphi\geq0} sommable, montrer la sommabilité et {\sum\limits_kf_n(k)\to\sum\limits_kf(k)}.

1) Pour {n\geq1}, montrer que {f_n(x)=\left\{1/x\right\}^n} est continue par morceaux sur {\mathbb{R}_+^\star} et que {I_n=\int_0^1f_n(x)dx} converge.

2) Montrer que la famille {\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq1,k\geq2}} est sommable et exprimer sa somme {S} avec {\zeta}.

3) Exprimer {I_1} en fonction de {S}.

1) Montrer {\sum\limits_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}=n!}.

Montrer que {D(t)=\sum\limits(d_n/n!)t^n} a rayon au moins un ; calculer {e^tD(t)}, puis {d_n} et la limite de la probabilité qu’une permutation soit un dérangement.

2) Soit {s_n(p)} le nombre de surjections de {\left\{1,\ldots,n\right\}} vers {\left\{1,\ldots,p\right\}}.

Montrer {p^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom pk s_n(k)}.

Montrer que la famille {s_n(p)x^py^n/(p!n!)} est sommable pour tous {x,y\in\mathbb{R}}.

Si {S(x,y)} est sa somme, calculer {e^xS(x,y)}, puis {s_n(p)}.

a) Montrer qu’une série convergente a son terme tendant vers {0}.

La réciproque est-elle vraie ?

b) Montrer qu’au plus un {\lambda} donne une suite convergente.

c) Développer {S_{(m+1)d}(0)-S_{md}(0)} sous la forme {\Omega/(md)+\alpha/m^2+o(m^{-2})}, puis donner la condition nécessaire et suffisante de convergence de {S_n(\lambda)}.

a) Pour {a_n=\log(n^\alpha u_n)}, étudier {\sum\limits(a_{n+1}-a_n)} et montrer {u_n\sim K/n^\alpha}, {K>0}. Application : pour {u_n=n^{-n}n!e^n}, montrer {u_n\sim K\sqrt n}.

b) Si seulement {u_{n+1}/u_n=1-\alpha/n+o(1/n)}, montrer que {\sum\limits u_n} converge pour {\alpha>1} et diverge pour {\alpha\lt 1}.

a) Retrouver la série de l’arctangente et montrer {\sum\limits_{k\ge0}(-1)^k/(2k+1)=\pi/4}.

b) Pour {S_n=4\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k/(2k+1)}, montrer {|\pi-S_n+(-1)^n(1/n-1/n^2)|\le1/n^3\quad(n\ge1).}

1) Énoncer les théorèmes de sommation des relations de comparaison pour les séries numériques.

2) Montrer que {\sum\limits_{k=1}^n\ln k=n\ln n-n+O(\ln n)}.

3) Pour {(a_k)_{k\geq2}} et {b\in C^1([2,+\infty[)}, posons {A(t)=\sum\limits_{k=2}^{\lfloor t\rfloor}a_k}.

Montrer que {\sum\limits_{k=2}^na_kb(k)=A(n)b(n)-\int_2^nb'(t)A(t)dt}.

4) Pour {R(t)=\sum\limits_{p\leq t,\ p\text{ premier}}\ln p/p-\ln t}, montrer que {\sum_{p\leq n}\frac1p=1+\ln\ln n-\ln\ln2+ \frac{R(n)}{\ln n}+\int_2^n\frac{R(t)}{t(\ln t)^2}dt.}

5) Montrer qu’il existe {C} tel que {\sum\limits_{p\leq n}1/p=\ln\ln n+C+O(1/\ln n)}.

1) Définir une borne inférieure.

2) Montrer que {s>A(f)} assure la définition de {L_f(s)}.

3) Pour {f,g} complexes d’abscisses finies, montrer que l’égalité des {L_f,L_g} pour tous {s>\max(A(f),A(g))} impose {f=g}.

4) Pour {h(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)g(n/d)}, montrer {L_h(s)=L_f(s)L_g(s)} pour ces {s}.

1) Caractériser la convexité d’une fonction dérivable sur un intervalle.

2) Montrer qu’il existe un unique {P_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {\sin((2n+1)\theta)=\sin\theta\,P_n(\sin^2\theta)}.

3) En déduire {\sin(\pi x)=(2n+1)\sin\frac{\pi x}{2n+1} \prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\sin^2(\pi x/(2n+1))}{\sin^2(k\pi/(2n+1))}\right).}

4) Étudier la limite simple de {u_n(x)=\prod\limits_{k=1}^n(1-x^2/k^2)}.

1) Montrer la convergence de {\sum\limits1/(n\ln^4n)} par comparaison intégrale.

2) (i) Montrer {\mathbb{P}(|S_n|\geq a)\leq3n^2/a^4} pour {a>0}.

(ii) Montrer que l’événement où {|S_m|\lt m^{3/4}\ln m} à partir d’un certain rang a probabilité un.

3) Montrer que {S_n/(n^{3/4}\ln n)\to0} presque sûrement.

1) Montrer que cette application est un produit scalaire sur {E}.

2) Si {u\in E} ne s’annule pas, montrer que {(1/u_n)\notin E}.

3) Pour quels réels {\alpha} la suite {(1/n^\alpha)_{n\geq1}} appartient-elle à {E}?

4) Montrer que l’ensemble {F} des suites nulles à partir d’un certain rang est un sous-espace de {E} de dimension infinie.

5) Que dire de {F+F^\perp} et de {(F^\perp)^\perp}?

1) Étudier la convergence de {(u_n)}.

2) Déterminer le rayon {R} de {\sum\limits u_nx^n}.

3) Démontrer le théorème de Cesàro.

4) En utilisant {1/u_{n+1}-1/u_n}, étudier la série en {\pm R}.

1) Montrer que, pour {N\geq1}, {S_N(s)=1+\int_1^Nt^{-s}\,dt -s\int_1^N\frac{\left\{t\right\}}{t^s}\,dt.}

2) Pour {y\in\mathbb{R}^\star}, montrer qu’il existe {z_0(y)} tel que {S_N(1+iy)+\frac1{iyN^{iy}}\longrightarrow z_0(y).}

3) Si une sous-suite {S_{u_N}(1+iy)} converge vers {\ell}, montrer que {|z_0(y)-\ell|=1/|y|}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^\star} admettant, pour tout {k\geq0}, {f(x)=a_0+a_1/x+\cdots+a_k/x^k+o(x^{-k})} à l’infini.

Donner les conditions nécessaires et suffisantes de convergence de {\sum\limits f(n)}, de {p_n=\prod\limits_{k=0}^nf(k)} et de {\sum\limits p_n}.

Étudier la série de terme général {z_n=\sqrt{(n-1)!}\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin(1/\sqrt k)}.

Pour {n\geq0}, soit {a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n t\,dt}.

Déterminer sa limite et une relation entre {a_{n+2}} et {a_n}.

Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, étudier {\sum\limits_{n\geq1}(a_n/n^\alpha)x^n}.

Pour {x>1}, soit {\zeta(x)=\sum\limits_{n\geq1}n^{-x}}.

Étudier ses variations, montrer {1/(x-1)\leq\zeta(x)\leq1+1/(x-1)} et donner sa limite à l’infini.

Étudier la série entière {\sum\limits_{n\geq2}(\zeta(n)/n)x^n}.

a) Justifier la convergence de {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^n\log(1+1/n)}.

b) Exprimer sa somme partielle au rang {2N} avec des factorielles.

c) Calculer la somme de la série.

a) Montrer que la suite est définie et tend vers {0}.

b) Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}((-1)^n/n)u_n} converge.

a) Montrer {\sum\limits_{k=0}^nv_k=1-1/\prod\limits_{k=0}^n(1+u_k)}.

b) Montrer la convergence de {\sum\limits v_n} si tous les {u_n\ge0}.

c) Même conclusion si {\sum\limits|u_n|\lt \infty}.

a) Pour {\alpha>0}, étudier {\sum\limits_{n\ge2}1/(n\log n)} et {\sum\limits_{n>n_0}1/(n(\log n)^{1-\alpha})}. Soit {\Phi} réelle continue décroissante sur {[n_0,\infty[}, telle que {\sum\limits\Phi(n)} diverge.

b) Donner le rayon de {\sum\limits_{n\ge n_0}\Phi(n)x^n}.

c) Montrer que cette somme tend vers {+\infty} en {1^-} et est équivalente à {\int_{n_0}^\infty\Phi(t)x^tdt}.

a) Si {f(1)>0}, trouver {c>0}, {0\lt a\lt 1} tels que {f\ge c} sur {[a,1]}.

b) Si {\sum\limits u_n} converge, montrer {f(1)=0}.

c) Pour {f\in C^1}, montrer que cette condition est aussi suffisante.

a) Justifier l’existence, donner le signe et étudier les variations.

b) Déterminer la limite.

c) Montrer {(n+1)I_n+I_{n-1}=e^{-1}}.

d) Montrer {I_n\sim1/(en)}.

e) Étudier {\sum\limits I_n} et {\sum\limits(-1)^nI_n}.

f) Donner le rayon de {\sum\limits I_nx^n}.

1) Donner {T^n} pour {n\in\mathbb{N}}.

2) Étudier la convergence de {E_n(T)=\sum\limits_{k=0}^nT^k/k!}, calculer sa limite {E(T)} et comparer les valeurs propres de {T,E(T)}.

1) Trouver une relation entre {a_{n+1}} et {a_{n-1}}.

2) Montrer de deux manières différentes que {(a_n)} converge.

3) Montrer que {a_n=1/(2n)+O(1/n^2)}. Pour {\alpha,x\in\mathbb{R}}, discuter la nature de la série de terme général {u_n=a_nx^n/n^\alpha}, {n\geq1}.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence de {\sum\limits f(n)}.

2) On suppose {f(n)\ne0} pour {n\geq1}.

À quelle condition la suite {p_n=\prod\limits_{k=1}^nf(k)} converge-t-elle ?

3) Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, à quelle condition la suite {g_n=\prod\limits_{k=1}^n(1-e^{-\alpha/k})} converge-t-elle ?

1) Soit {(a_n)} une suite strictement positive telle que {a_{n+1}/a_n=1-\alpha/n+o(1/n)} avec {\alpha>1}.

Montrer que {\sum\limits a_n} converge. Indication : pour {\beta\in]1,\alpha[}, montrer que {(n^\beta a_n)} est décroissante à partir d’un certain rang.

2) Déterminer le développement en série entière de {\sqrt{1-x}}.

Montrer qu’il converge en {x=\pm1}.

3) Soit {u_0=1} et {u_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^nu_ku_{n-k}}. On pose {S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_nx^n} pour {x\in]-R,R[}.

Déterminer {S} et en déduire une expression de {u_n}.

a) Montrer que chaque {A\in P_n} est inversible.

b) Montrer que {P_2\cap M_2(\mathbb{R})} est infini.

c) Si {A\in P_n\cap M_n(\mathbb{R})} est diagonalisable, montrer que {A^2=I}.

d) Poser {f_p(z)=\prod\limits_{k=1}^pz(1-z^k)}.

Montrer que {\sum\limits f_p(z)} converge pour {|z|\lt 1}, puis pour {z\in P_1}.

e) Avec {F_0(A)=I} et {F_p(A)=\prod\limits_{k=1}^p A(I-A^k)}, montrer que {\sum\limits F_p(A)} converge pour {A\in P_n}.

f) Montrer que chaque matrice de {P_2} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

g) Programmer {F_p(A)}.

a) Montrer que {\sigma} est définie.

b) Montrer sa non-injectivité avec {u_1=1}, {u_n=0} pour {n\geq2}, et {v_1=0}, {v_n=2} pour {n\geq2}.

c) Pour {0\leq x\lt 1}, poser {t_n(x)=\lfloor3^nx\rfloor-3\lfloor3^{n-1}x\rfloor}.

Montrer que {t(x)\in T}.

d) Programmer dev(x,N), somme des {N} premiers termes ; tracer pour {N=100}.

e) Montrer que {x_n=\lfloor3^nx\rfloor/3^n} et {y_n=x_n+3^{-n}} sont adjacentes, et démontrer la conjecture graphique.

a) Montrer que {(S_n)} est bornée.

b) Étudier {\sum\limits z^n/n^s} pour {0\lt s\lt 1}.

a) Trouver {\alpha} tel que {\ln(n^\alpha u_n)} converge.

b) Donner un équivalent de {u_n}.

c) Donner la condition de convergence de {\sum\limits u_n}.

a) Pour {\alpha>1}, donner un équivalent de {\sum\limits_{p>n}p^{-\alpha}}.

b) Si {u_n\sim v_n}, avec {u_n>0} et {\sum\limits u_n} convergente, montrer l’équivalence des restes {\sum\limits_{p>n}u_p} et {\sum\limits_{p>n}v_p}.

c) Pour {U_n=\sum\limits_{p=1}^np^{-1/2}}, montrer qu’il existe {a,b\in\mathbb{R}} tels que {U_n=2\sqrt n+a+b/\sqrt n-1/(24n^{3/2})+o(n^{-3/2})}.

a) Les calculer pour {f(n)=2^{-n}}, puis {f(n)=(-1)^nn^{-s_0}}.

b) Montrer la convergence absolue pour {s>\sigma_a}. Peut-on conclure en {s=\sigma_a} ?

c) Montrer que {\sigma_c\leq\sigma_a\leq\sigma_c+1} et que les bornes sont optimales.

a) Étudier convergence et domaine.

b) Montrer que le reste après {n} est au plus {a/n}.

c), d) c) Programmer {S(1),S(5)} à {10^{-3}} près.

d) Tracer sur {[1,50]} et conjecturer la limite.

e) Donner domaine et primitive de {g(x)=a/(x^2+a^2)}.

f) Valider la limite.

g) Étudier {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}(n^2-x^2)/(n^2+x^2)^2} et son domaine.

h) Justifier {S'(a)=f(a)}.

Pour {0\leq\alpha\leq1}, posons {a_n=\min\left\{p\geq1:n\leq\sum\limits_{k=1}^pk^{-\alpha}\right\}}.

Montrer l’existence et {a_n\geq n}, puis trouver des équivalents de la somme partielle et de {a_n}.

Pour {n\geq1}, soit {a_n=\sum\limits_{k=1}^n(\ln k)^2}.

Donner un équivalent de {a_n} et étudier {\sum\limits1/a_n}.

1) Sur un intervalle fermé non vide {I}, montrer qu’une application {k}-lipschitzienne {f:I\to I}, {0\leq k\lt 1}, possède un unique point fixe.

2) Pour {u_0\geq1}, {u_{n+1}=(u_n+1/u_n)/2}, étudier {\sum\limits(u_n-1)}.

Montrer {H_n=\ln n+\gamma+o(1)} pour une constante réelle {\gamma}. Puis montrer qu’il existe {C>0} tel que {\prod\limits_{k=2}^n(1+(-1)^k/\sqrt k)\sim C/\sqrt n}.

1) Justifier {I=\int_0^\infty e^{-t^2}dt} et {g(x)=\sum\limits_{n\geq1}x^{n^2}} pour {0\leq x\lt 1}.

2) Donner un équivalent de {g(x)} en {1^-} avec {I}.

3) Pour {h:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} décroissante continue intégrable et non identiquement nulle, donner un équivalent de {\sum\limits_{n\geq1}h(nt)} quand {t\to0^+}.

1) Montrer le théorème de Cesàro pour une suite complexe tendant vers zéro.

2) Si {na_n\to0}, montrer que {\sum\limits a_nz^n} converge pour {|z|\lt 1}.

3) Si {f(x)=\sum\limits a_nx^n\to\ell\in\mathbb{R}} en {1^-}, montrer que {\sum\limits a_n} converge et vaut {\ell}. On pourra utiliser {1-t^n\leq n(1-t)} sur {[0,1]}.

Pour {u_n=1/(n(\log n)^2)}, montrer la convergence de {\sum\limits u_n}.

Étudier {\sum\limits u_n^{1-1/\log\log n}}.

a) Calculer {\sum\limits_{k\ge0}(-1)^k/(2k+1)} et justifier sa convergence.

b) Pour {v_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}(-1)^k/(2k+1)}, montrer que {\sum\limits v_n} converge.

c) Étudier {\sum\limits_n\log\tan(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k/(2k+1))}.

a) Justifier {\int_0^\infty e^{-x^2}dx}.

b) Montrer que {g(x)=\sum\limits_{n\ge1}x^{n^2}} est définie pour {|x|\lt 1}.

c) Donner un équivalent en {1^-}.

d) Pour {h>0} continue décroissante intégrable sur {\mathbb{R}_+^\star}, étudier {S(t)=\sum\limits_{n\ge1}h(nt)} et son équivalent en {0^+}.

1) Montrer qu’il existe {c>0} tel que {N(AB)\leq cN(A)N(B)} pour tous {A,B}.

2) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^nA^k/k!} converge ; on note sa limite {\exp(A)}.

3) Pour {A_t=\begin{pmatrix}t&1\\[4pt]0&t\end{pmatrix}} et {B_t=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\[4pt]\sin t&\cos t\end{pmatrix}}, calculer {\exp(A_t)} et {\exp(B_t)}.

1) Étudier {(x_n)}.

2) Si {\alpha_n\to\ell\in\mathbb{R}}, montrer que {\frac1{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k\to\ell}.

3) Quelle est la nature de {\sum\limits x_n} ?

1) Montrer que {\varphi} est de classe {C^1} sur {]0,+\infty[}.

2) Donner un équivalent de {\varphi(x)} lorsque {x\to0^+}.

1) Pour {a\ne0} et {\lambda\in]-1,1[}, montrer qu’il existe une unique fonction lipschitzienne {F} telle que {F(x)-\lambda F(x+a)=f(x)} pour tout {x}.

2) Expliciter {F} lorsque {f=\cos}.

1) Montrer {\int_0^1\ln u/(1-u)\,du=-\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^2}.

2) Soit {f\in C^0([0,1[,\mathbb{R})} croissante telle que {\int_0^1f(u)/u\,du} converge. Montrer {\lim_{x\to1^-}(1-x)\sum_{n=1}^{+\infty}f(x^n)=\int_0^1\frac{f(u)}u\,du.}

3) Donner un équivalent de {\sum\limits_{n\geq1}\ln(1-x^n)} lorsque {x\to1^-}.