Une marche part de zéro et fait à chaque instant un pas {+1} avec probabilité {p\in]0,1[}, un pas {-1} avec probabilité {1-p}.

Déterminer la loi de sa position {S_n} et calculer {f(t)=\sum\limits_{n\geq0}\mathbb{P}(S_n=0)t^n} pour {|t|\lt 1}.

Soit {X} à valeurs naturelles, {\mathbb{P}(X>1)>0}, {\mathbb E(X)=m\lt \infty}, et {(X_{i,n})} i.i.d. de même loi.

Poser {Y_0=1} et {Y_{n+1}=\sum\limits_{i=1}^{Y_n}X_{i,n+1}}.

La somme vide vaut zéro. Noter {G,G_n} les fonctions génératrices de {X,Y_n}.

Montrer que {G,G'} sont strictement croissantes sur {[0,1]}, que {G_{n+1}=G_n\circ G}, et calculer {\mathbb E(Y_n)}.

Pour {Z=\inf\left\{n:Y_n=0\right\}}, montrer que {\mathbb{P}(Z\lt \infty)} est le plus petit point fixe de {G}, puis qu’il vaut {1} exactement lorsque {m\leq1}.

1) Simuler et conjecturer selon {\alpha} pour les lois de Rademacher puis de Poisson.

2) Si {\Delta_{n,j}} désigne les {j}-listes d’indices distincts, établir {\left(\sum a_i\right)^4=\sum a_i^4 +3\sum_{\Delta_{n,2}}a_i^2a_j^2 +6\sum_{\Delta_{n,3}}a_ia_ja_k^2 +4\sum_{\Delta_{n,2}}a_ia_j^3 +\sum_{\Delta_{n,4}}a_ia_ja_ka_\ell.}

3) Montrer {\mathbb E(S_n^4)=n\mathbb E(Y_1^4)+ 3n(n-1)(\mathbb E(Y_1^2))^2}.

4) Montrer {\mathbb{P}(|S_n|>\varepsilon n^t) \leq3\mathbb E(Y_1^4)/(\varepsilon^4n^{4t-2})}.

5) Montrer que {J_{\varepsilon,t}=\bigcap_N\bigcup_{n>N} \left\{|S_n|>\varepsilon n^t\right\}} est un événement et trouver {\alpha_0} tel que sa probabilité soit nulle pour {t>\alpha_0}.

6) Établir l’identité de sommation par parties {\sum\limits_{k=1}^nY_k/k^\alpha=S_n/n^\alpha+ \sum\limits_{k=1}^{n-1}S_k(k^{-\alpha}-(k+1)^{-\alpha})}.

Énoncer et démontrer Markov pour une variable réelle.

Pour {Y_k} indépendantes uniformes sur {\left\{-1,1\right\}} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nY_k}, calculer de deux manières {\mathbb E(S_n^4)}.

En déduire la convergence presque sûre de la moyenne de variables indépendantes de loi {\mathcal B(1,1/2)} vers {1/2}.

Soit {A=(a_{ij})_{0\leq i,j\leq n}} avec {a_{i,i-1}=i/n}, {a_{i,i+1}=1-i/n}, les autres coefficients nuls.

Programmer {A}. Deux urnes contiennent en tout {n} boules numérotées, initialement toutes dans la première ; à chaque tour une boule uniforme change d’urne. Simuler le nombre {X_k} dans la première urne et conjecturer son comportement. Pour {u_k=(\mathbb{P}(X_k=0),\ldots,\mathbb{P}(X_k=n))}, relier {u_k,u_0,A}.

Montrer que {f(P)=nXP-(X^2-1)P'} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} et que ses vecteurs propres sont de la forme {(X+1)^r(X-1)^s} avec {r+s=n}.

1) Simuler {T_r}, estimer son espérance et comparer sur {[0,3]} {\Phi_r(t)=\mathbb{P}(r\ln r-tr\leq T_r\leq r\ln r+tr)} à {e^{-e^{-t}}-e^{-e^t}} ; conjecturer.

2) Montrer que les {T_i} sont presque sûrement finis. Sont-ils indépendants ?

3) Poser {Z_i=T_i-T_{i-1}} pour {2\leq i\leq r}. Pour {S} de cardinal {i} et {0\lt t_1\lt \cdots\lt t_i}, conditionner la loi de {Z_{i+1}} par {A(S,t_1,\ldots,t_i)=\left\{\left\{X_{t_1},\ldots,X_{t_i}\right\}=S, T_1=t_1,\ldots,T_i=t_i\right\}}, puis par {\bigcap_{k=1}^i\left\{T_k=t_k\right\}}.

Déterminer les lois des {Z_i} et leur indépendance.

4) Calculer {\mathbb E(T_r)} et {V(T_r)}.

On mélange uniformément les cartes d’un jeu de {2n} cartes numérotées.

Quelle est la probabilité que les cartes de numéro impair soient correctement ordonnées ?

1) Déterminer la loi de {S_n}.

Qu’en déduire sur {T_n} ?

2) Montrer que {\sum\limits_{k\geq0}\frac{k(n^k-1)}{(n+k)!}} converge et calculer sa somme.

3) Calculer {\int_0^\infty\mathbb{P}(T_n\geq x)dx}.

1) Rappeler les formules des probabilités totales et composées.

2) Soient {U_n} indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,d\right\}} et {N_d=\inf\left\{n\geq2:U_n\in\left\{U_1,\ldots,U_{n-1}\right\}\right\}}.

Déterminer ses valeurs possibles.

3) Montrer que {\mathbb{P}(N_d>k)=d!/(d^k(d-k)!)} pour {0\leq k\leq d}.

4) Pour {x>0}, calculer {\lim_{d\to\infty}\mathbb{P}(N_d/\sqrt d>x)}.

1) Pour {X_x\sim\mathcal P(x)}, calculer son espérance et montrer {\mathbb{P}(|X_x-\mathbb E(X_x)|\geq\varepsilon x)=O(1/x)}.

2) Pour {\alpha\in\mathbb{R}}, déterminer le domaine de {u_\alpha(x)=\sum\limits_{n\geq1}n^\alpha x^n/n!}.

3) Calculer {u_1,u_2}.

4) Si {\alpha\lt 0}, montrer que {u_\alpha(x)=o(e^x)} à l’infini.

5) Si {-1\lt \alpha\lt 0}, montrer que {u_\alpha(x)\sim x^\alpha e^x}.

a) Déterminer la loi de {\min(X,Y)}.

b) Montrer que {\min(X,Y)} et {X-Y} sont indépendantes.

a) Montrer qu’un endomorphisme complexe est diagonalisable si et seulement s’il possède un annulateur scindé à racines simples.

b) Pour {A=\begin{pmatrix}1&-2\\[4pt]-2&1\end{pmatrix}} et {Q=\varepsilon_1X+\varepsilon_2}, avec {\varepsilon_i} indépendantes de loi {\mathcal G(p)}, calculer la probabilité que {Q(A)} soit inversible.

c) Si {Q(u)} est diagonalisable et {Q'(u)} inversible, montrer que {u} est diagonalisable.

a) Montrer que {F_X} est croissante et tend vers {1} en {+\infty}. Soient {E\subset\mathbb{R}} dénombrable, {X_n,X} à valeurs dans {E}, avec {\mathbb{P}(X_n=x)\to\mathbb{P}(X=x)} pour chaque {x\in E}.

b) Montrer {\sum\limits_{x\in E}|\mathbb{P}(X_n=x)-\mathbb{P}(X=x)|\to0}.

c) Montrer que {F_{X_n}\to F_X} uniformément.

a) Par comparaison série-intégrale, donner un équivalent de {S_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}.

b) Montrer que tout entier positif s’écrit uniquement {ma^2}, avec {m} sans facteur carré et {a\ge1}.

c) Si {X,Y,Z} sont indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,n\right\}}, poser {M=\begin{pmatrix}X&Y\\[4pt]Z&X\end{pmatrix}}.

Montrer que {p_n=\mathbb{P}(M\text{ non inversible})=O(\log n/n^2)}.

a) Pour {\alpha>0} et {X_i} indépendantes de loi {\mathcal P(\alpha/i)}, donner la loi de {Y_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i} et déterminer sa transience.

b) Pour des variables indépendantes de valeurs {1,-1}, de probabilités {p,1-p}, déterminer la transience de leurs sommes {S_n}.

a) Pour {X\sim\mathcal G(p)}, montrer qu’il existe un unique entier {m} tel que {\mathbb{P}(X\ge m)\ge1/2} et {\mathbb{P}(X\le m)\ge1/2}.

a) Pour des {X_n} indépendantes de même loi, poser {Y_n=\mathbf1_{\left\{X_n>m\right\}}} et {S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}}.

Montrer {\mathbb{P}(S_n\ge n)\to1}.

1) Pour {f} continue sur {[a,b]}, {a\lt b}, montrer que {(b-a)n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(a+k(b-a)/n)\to\int_a^bf}.

2) {n} candidats de scores distincts {s_1\lt \cdots\lt s_n} sont présentés successivement dans l’ordre d’une permutation aléatoire {\sigma} ; le recruteur accepte ou refuse définitivement chaque candidat et s’arrête au premier accepté.

(i) Donner la loi du score {S_j} du candidat en position {j}.

(ii) Donner celle du rang {R_j} du meilleur des {j} premiers.

3) On refuse les {m_n} premiers, puis accepte le premier dont le score est supérieur à l’un des scores précédents.

(i) Montrer que la probabilité de recruter le meilleur est {p_n=(m_n/n)\sum\limits_{j=m_n+1}^n1/(j-1)}.

(ii) Si {m_n/n\to x}, montrer que {p_n\to x\int_x^1dt/t} et optimiser {x}.

1) Rappeler la loi géométrique, ses moments et sa fonction génératrice, puis donner les moments de {S_N}.

2) Donner les lois de {S_N,Y_N}.

3) Montrer l’intégrabilité de {Y_N} et {\mathbb E(Y_N)=\sum_{k=1}^N\binom Nk\frac{(-1)^{k-1}}{1-q^k},}puis donner un équivalent en {N\to\infty}. Indication : étudier {\mathbb{P}(Y_N\le m)=(1-q^m)^N} et encadrer les probabilités de queue.

1) Justifier et calculer {\mathbb E(X)}, puis {\varphi_X}.

2) Montrer que {\int_{-\pi}^\pi\exp(k(e^{it}-1-it))dt=2\pi k^ke^{-k}/k!} pour {k\in\mathbb{N}}.

3) Retrouver Stirling, en admettant {\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2/2}dt=\sqrt{2\pi}}.

1) Calculer la fonction génératrice d’une Poisson.

2) Montrer que {S_n\sim\mathcal P(n\lambda)}.

3) Montrer {\mathbb{P}(|S_n-n\lambda|\geq n\varepsilon)\leq\lambda/(n\varepsilon^2)}.

4) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^{\lfloor nx\rfloor}e^{-n\lambda}(n\lambda)^k/k!} tend vers zéro si {0\lt x\lt \lambda}, et vers un si {x>\lambda}.

5) Pour {f} continue sur {\mathbb{R}_+} à support compact et {L(f)(x)=\int_0^\infty f(t)e^{-xt}dt}, montrer que {\sum_{k=0}^{\lfloor nx\rfloor}(-1)^k\frac{n^k}{k!}L(f)^{(k)}(n) \longrightarrow\int_0^xf(t)dt\quad(x\geq0).}

1) (i) Rappeler l’espérance discrète, les rayons et sommes de {\sum\limits x^n} et {\sum\limits nx^{n-1}}.

(ii) Calculer {H(X)} pour {X\sim\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}.

2) Pour {X} à valeurs dans {\mathbb{N}} : (i) étudier {\psi(x)=\sqrt x\ln^2x} et en déduire que {\mathbb E(X)\lt \infty} impose {H(X)\lt \infty} ;

(ii) que dire si {\mathbb E(X)=\infty} ?

3) Pour {Z=(X,Y)}, montrer que {H(Z)\leq H(X)+H(Y)} lorsque les entropies existent.

1) Montrer sa définition si {X\in L^1}.

2) Pour un système complet {(A_n)} et des réels {a_n}, montrer que {S=\sum\limits a_n\mathbf1_{A_n}} est une variable, intégrable exactement si {\sum\limits|a_n|\mathbb{P}(A_n)\lt \infty}.

3) Pour {X\in L^1} et {Y} telle que {\mathbb{P}(Y=y)>0} pour chaque valeur, définir {\mathbb E(X\mid Y)=\sum\limits_y\mathbb E(X\mid Y=y)\mathbf1_{Y=y}} et montrer {\mathbb E(\mathbb E(X\mid Y))=\mathbb E(X)}.

4) Si {X,Y\in L^2}, {\mathbb E(X\mid Y)=Y}, {\mathbb E(Y\mid X)=X}, montrer {X=Y} presque sûrement.

1) Pour {X} à valeurs dans {\mathbb{N}}, montrer que {\mathbb E(X)=\sum\limits_{n\geq1}\mathbb{P}(X\geq n)}.

2) Soient {(X_k)_{k\geq0}} i.i.d. Poisson de paramètre {\lambda>0}, et {N=\inf\left\{k\geq1:X_k>X_0\right\}\in\mathbb{N}^\star\cup\left\{+\infty\right\}}.

Montrer que {N} est une variable aléatoire.

3) Son espérance est-elle finie ?

1) Rappeler Cauchy-Schwarz.

2) Interpréter {\operatorname{Coh}(e)=0}.

3) Si {\operatorname{Coh}(e)\lt 1}, montrer que {I} est fini.

4) Pour une variable réelle bornée {Z}, montrer {e^{tZ}\in L^1} pour tout {t}.

5) Soient {X=(X_1,\ldots,X_n)}, {Y=(Y_1,\ldots,Y_n)} indépendants dans {S}, avec {\sqrt nX_i,\sqrt nY_i} de Rademacher pour {1\leq i\leq m}, et coordonnées indépendantes dans chaque vecteur.

Montrer que {\mathbb E(e^{t\langle X,Y\rangle})\leq e^{t^2/(2m)}}.

6) Pour {\varepsilon>0}, montrer l’existence d’une famille de cardinal {\lfloor e^{m\varepsilon^2/4}\rfloor} de cohérence strictement inférieure à {\varepsilon}.

1) Factoriser {T^n-1} en irréductibles sur {\mathbb{R}}, puis {\mathbb{C}}.

2) Pour {X,Y} indépendantes à valeurs dans {\mathbb{N}}, rappeler pourquoi {G_{X+Y}=G_XG_Y}.

3) Pour {p\geq2}, montrer que {X+Y} ne peut être uniforme sur {\left\{2,\ldots,2p\right\}} si {X,Y} prennent chacune toutes les valeurs {1,\ldots,p} avec probabilités non nulles.

1) Pour une variable {U} à valeurs dans {\mathbb{N}} et d’espérance finie, montrer que {\mathbb E(U)=\sum\limits_{n\geq1}\mathbb{P}(U\geq n)}.

2) Soient {(X_k)} i.i.d. à valeurs dans {\mathbb{N}}, {F_k=\sum\limits_{i=0}^k\mathbb{P}(X_1=i)} et {M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)}.

Exprimer {\mathbb{P}(M_n\leq k)}.

3) On lance trois dés équilibrés: quelle est la probabilité que le maximum soit {4}?

4) Trois joueurs lancent chacun une pièce équilibrée jusqu’au premier pile. Si {X} est le nombre de lancers du dernier à obtenir pile, calculer {\mathbb{P}(X=n)}.

1) Programmer Simulation(n) renvoyant le nombre final de boules rouges.

2) Programmer Moyenne(n,N) renvoyant les effectifs des différentes valeurs finales après {N} expériences. Commenter.

3) Exprimer {\mathbb{P}(X_{n+1}=i,Y_{n+1}=j)} à l’aide des probabilités des états {(i-1,j)} et {(i,j-1)} au rang {n}.

4) Montrer que {P_{n+1}(u,v)=\frac1{n+2} \left(u^2\frac{\partial P_n}{\partial u} +v^2\frac{\partial P_n}{\partial v}\right).}

5) Montrer que {P_{n+1}(u,v)=\frac1{n+1}\sum\limits_{k=0}^nu^{k+1}v^{n+1-k}}.

Comparer à la simulation.

6) Modifier les fonctions pour estimer la probabilité que la dernière boule tirée soit rouge.

1) Montrer que, pour {n\geq2}, {\mathbb{P}(S_n=k)=\frac16\sum\limits_{j=1}^6\mathbb{P}(S_{n-1}=k-j)}.

2) Construire un tableau {T} de taille {n\times(6n+1)} contenant les probabilités {T[i,j]=\mathbb{P}(S_i=j)}.

3) Pour {Z_n=S_n/\mathbb E(S_n)}, calculer espérance et variance.

4) Montrer la convergence simple de {F_n(t)=\mathbb{P}(Z_n\leq t)}.

1) Déterminer les lois de {T_1,T_2}.

2) Montrer {\mathbb{P}(T_{n+1}=1)=(a-\mathbb E(X_n))/N}, puis {\mathbb{P}(T_n=1)=a(N-1)^{n-1}/N^n}.

3) Calculer {\mathbb E(X_n)} et sa limite.

a) Trouver {A} tel que {(r_{n+1},v_{n+1})^{\mathsf T} =A(r_n,v_n)^{\mathsf T}}.

b) Trouver {B,C} tels que {B+C=I}, {A=B+(1-p-q)C}.

c) Calculer {A^n}.

d) Donner les limites des probabilités et commenter.

a) Pour deux variables indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,6\right\}}, donner la loi de leur somme. Soient maintenant {X,Y} indépendantes à valeurs dans cet ensemble.

b) Montrer que leur somme ne peut être uniforme sur {\left\{2,\ldots,12\right\}}.

c) Si elle a la loi de a), montrer que {X,Y} sont uniformes.

a) Modéliser par les applications uniformes de {\left\{1,\ldots,b\right\}} dans {\left\{1,\ldots,n\right\}} et calculer {p_{n,b}}, probabilité que l’urne {1} contienne {k} boules.

b) Retrouver cette loi avec des Bernoulli indépendantes.

c) Si {b_n\sim nc}, montrer {p_{n,b_n}\to e^{-c}c^k/k!}.

a) Donner la loi, l’espérance et la variance de {X}, nombre de clients joints à la première série.

b) Il rappelle les {n-X} autres clients.

Donner la loi de {Z}, nombre de clients joints à cette seconde série.

a) Pour {Z_i=e^{\lambda(X_i-1/2)}}, calculer son espérance.

b) Calculer {\mathbb E(e^{\lambda(S_n-\mathbb E(S_n))})}.

c) Pour {f_t(\lambda)=\lambda t-\log\cosh(\lambda/2)}, montrer {\mathbb{P}(S_n-\mathbb E(S_n)\ge nt)\le e^{-nf_t(\lambda)}}.

d) Pour {-1/2\lt t\lt 1/2}, poser {I(t)=(t-1/2)\log(1-2t)-(t-1/2)\log(2t+1)}.

Montrer la borne {\mathbb{P}(S_n-\mathbb E(S_n)\ge nt)\le e^{nI(t)}}.

e) Comparer à Bienaymé-Chebyshev.

a) Donner les lois de {X_1,X_2}.

b) Relier {\mathbb{P}(X_{p+1}=k)} à celles de {X_p=k,k+1}.

c) Justifier que la fonction génératrice {G_p} est polynomiale.

d) Admettre {G_{p+1}=G_p+(1-t)G_p'/(2n)} et en déduire une récurrence pour l’espérance, sa valeur et sa limite.

f) Démontrer l’identité admise.

a) Montrer que {A\in M_n(\mathbb{R})} a rang {1} exactement lorsqu’elle s’écrit {UV^{\mathsf T}} avec {U,V} colonnes non nulles. Pour deux variables {X,Y} à valeurs dans {\left\{1,\ldots,n\right\}}, poser {a_{ij}=\mathbb{P}(X=i,Y=j)}.

b) Montrer que {A} a rang {1} si et seulement si {X,Y} sont indépendantes.

a) Montrer {2^nn!\le(2n)!}, puis {\cosh t\le e^{t^2/2}} et, pour une Rademacher {X}, {\mathbb E(e^{tX})\le e^{t^2/2}}.

b) Pour {X} centrée à valeurs dans {[-1,1]} :

i) montrer {e^{tx}\le(1+x)e^t/2+(1-x)e^{-t}/2} ;

ii) en déduire la même borne exponentielle.

c) Si une variable {X} satisfait cette borne pour tout {t\in\mathbb{R}}, montrer {\mathbb{P}(|X|\ge\lambda)\le2e^{-\lambda^2/2}}.

a) Donner le rayon et la somme de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}\binom{2n}nx^{2n}/4^n}.

b), c) Soient {X_k} des Rademacher indépendantes et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Donner les lois de {Y_k=(1+X_k)/2} et {Z_n=\sum\limits_{k=1}^nY_k}.

d) Donner la loi de {S_n}.

Poser {T=\inf\left\{n\ge1:S_n=0\right\}}, {p_0=1}, {p_n=\mathbb{P}(S_n=0)}, {q_n=\mathbb{P}(T=n)} pour {n\ge1}, et {g(x)=\sum\limits_{n\ge0}q_nx^n}.

e) Montrer {p_n=\sum\limits_{k=1}^nq_kp_{n-k}} pour {n\ge1}.

f) Relier {f,g} et montrer {g(x)=1-\sqrt{1-x^2}} pour {|x|\lt 1}.

g) En déduire {\mathbb{P}(T\lt \infty)=1}.

1) On la lance {n} fois.

Donner la loi de {S_n}, nombre de pile obtenus.

2) Deux pièces {M_1,M_2} donnent pile avec les probabilités {p_1,p_2\in]0,1[}. Le premier lancer utilise {M_1} ; ensuite on utilise {M_1} si le lancer précédent a donné pile, {M_2} sinon. On note {A_n} l’événement « pile au {n}-ième lancer ».

Établir une relation entre {\mathbb{P}(A_n)} et {\mathbb{P}(A_{n-1})}, puis déterminer leur limite. On rappelle le théorème de Cesàro.

Donner un équivalent de l’espérance du nombre {S_n'} de pile pendant les {n} lancers.

1) Donner la loi de {T}, son espérance et sa variance.

2) Calculer la probabilité que {A} soit diagonalisable.

3) Pour {M_{x,y}=\begin{pmatrix}x&x\\[4pt]0&y\end{pmatrix}}, soit {\ell_{x,y}:M\in M_{2,3}(\mathbb{R})\mapsto M_{x,y}M}.

Que peut-on dire de son rang ?

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il vaille six, puis la loi de {\operatorname{rg}(\ell_{X,Y})}.

1) Déterminer la probabilité {p_n} que {f} soit surjective et en donner un équivalent.

2) Donner la loi de {Y_i}, puis celle de {Y_iY_j} pour {i\ne j}.

3) Calculer l’espérance et la variance de {X_n}.

a) Donner la probabilité d’inversibilité de {A}.

b) Donner la loi, l’espérance et la variance de son rang.

a) Montrer que {p_\lambda=e^{-2\lambda}\sum\limits_{n\geq0}\lambda^{2n}/(n!)^2}.

b), c), d), e) b) Programmer la somme tronquée à l’indice {100} par récurrence des termes.

c) Tracer {\sqrt\lambda p_\lambda} sur {[1,50]} et conjecturer.

d) Programmer {f(x)=e^{-x}\int_0^{\pi/2}\cosh(x\sin\theta)\,d\theta}.

e) Comparer {g(\lambda)=2f(2\lambda)/\pi} à {p_\lambda}.

f) Calculer {W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\theta\,d\theta}.

g) Prouver la conjecture de e).

h) Montrer que {f(x)=\tfrac12\int_0^{\pi/2}e^{-2x\sin^2(\theta/2)}\,d\theta +O(e^{-x})} en {+\infty}.

i) Montrer que {\sin t\geq2t/\pi} sur {[0,\pi/2]}.

j) Prouver la conjecture de c).

a) Donner sa loi.

b) Montrer que {\sum\limits_{k=n}^N\binom kn=\binom{N+1}{n+1}}.

c) Calculer {\mathbb E(X)}.

d) Calculer {V(X)}.

e) Pour {j\geq0}, calculer {\mathbb E(X(X+1)\cdots(X+j))}.

a) Donner espérance et variance de {Z_n}.

b) Donner la loi, l’espérance et la variance de {(X_n-a+n)/2}.

d), e), f), g) d) Programmer simul(a,n,p).

e) Tracer pour {a=5,n=100,p=0{,}4,0{,}5,0{,}6}.

f) Estimer {\mathbb{P}(X_n\lt 0)} sur {10000} simulations.

g) Tracer cette probabilité jusqu’à {n=200}.

h) Montrer que {\mathbb{P}(X_n\lt 0)\leq \mathbb{P}(|X_n-\mathbb E(X_n)|\geq\mathbb E(X_n))}.

a) Déterminer les lois de {X_1,X_2}, puis les valeurs possibles de {X_n}.

b) Pour leurs fonctions génératrices {g_n}, montrer que {g_{n+1}=g_n\circ g_1}.

c) Déterminer {\mathbb E(X_n)}.

a) Donner espérance et variance.

b) Calculer {\mathbb{P}(X_{2k}=2\ell)} pour {k\in\mathbb{N}}, {\ell\in\mathbb{Z}}.

Lancer un dé à six faces jusqu’au premier {6}.

Quelle est la probabilité que la somme des résultats soit paire ?

a) Donner les lois de {X_1,X_2}.

b) Donner la loi de {X_1+X_2}, puis celle de {X_3}.

c) Donner la loi de {X_n}.

a) Relier {F_n} à {F}.

b) Donner la loi de {M_n}.

c) Montrer que {\mathbb E(M_n)=\sum\limits_{k=1}^p\mathbb{P}(M_n\geq k)}, puis calculer {\mathbb E(M_n)} et {\mathbb E(|M_n-p|)}.

d), e), f) d) Programmer M(n,k,p).

e) Programmer {L2(n,p)=\mathbb E(|M_n-p|^2)}.

f) Tracer {u_n=n^{-1}\ln L2(n,10)} pour {1\leq n\leq100}.

a) Combien existe-t-il d’applications d’un ensemble à {p} éléments vers un ensemble à {n} éléments ?

b) Montrer que {n^p=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk s_{k,p}}.

c), d) c) Programmer {v_n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\binom nk\sum\limits_{\ell=0}^k\binom k\ell u_\ell}.

Tester {[1,2,3]}, {[2,4,8]}, {[2,1,-1,5]} et conjecturer.

d) Prouver la conjecture.

e) Donner une expression de {s_{n,p}}.

f) Programmer une simulation de {T_r}.

g) Exprimer sa loi avec les {s_{n,p}}.

a) Calculer {s_{n,n}} et {s_{n,p}} pour {p\lt n}.

b) Donner le développement limité d’ordre {n} de {(1-e^x)^n} en {0}.

c) En déduire {\sigma_{n,n}}.

d) En admettant {s_{n,p}=\sigma_{n,p}}, montrer {\mathbb{P}(T_r>p)=1-s_{r,p}/r^p}.

e), f), g) e) Programmer {s_{n,p}} et la probabilité précédente.

f) Trouver {p_{t,r}} tel que {\mathbb{P}((T_r-r\ln r)/r>t)=\mathbb{P}(T_r>p_{t,r})}.

g) Tracer pour {r=5,8,11,14} et comparer à {1-e^{-e^{-t}}}.

h) Prouver la limite conjecturée.

Soient {a\in\mathbb{N}^\star} et {X,Y} indépendantes de loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[}.

Quelle est la probabilité que {M_a=\begin{pmatrix}2X&-2aY\\[4pt]X&-aY\end{pmatrix}} représente un projecteur ?

a) Donner les lois de {X_1,X_2}.

b) Pour {S_p=\sum\limits_{j=1}^pX_j}, donner la loi de {S_2}, puis celle de {X_3}.

c) Donner la loi de {X_n}.

a) Montrer qu’ils définissent une loi de probabilité.

b), c) b) Soient {X_0,\ldots,X_n} i.i.d. de cette loi.

c) Étudier espérance et variance de {X_i}.

d) Programmer Liste1(n), de terme d’indice {i} égal à {\sum\limits_{k=1}^{i+1}p_k}.

e) Poser {Y_n=\max_{0\leq i\leq n}X_i} et {A_n=\left\{Y_n\leq n\ln n\right\}}.

Montrer que {\mathbb{P}(A_n)\to1}.

a) Montrer par récurrence que {\mathbb{P}(S_n=k)=\binom{k-1}{n-1}p^n(1-p)^{k-n}} pour {k\geq n}, et {0} sinon.

c) Pour {f\in C^1([1,+\infty[)} bornée à dérivée bornée et {0\lt x\leq1}, montrer la convergence de {\sum\limits_{k\ge0}f(1+k/n)\binom{n+k-1}{n-1}(1-x)^k}, puis poser {K_{f,n}(x)=x^n\sum\limits_{k\ge0}f(1+k/n)\binom{n+k-1}{n-1}(1-x)^k}.

d), e) d) Programmer K et tracer {K_{\cos,n}(1/x)} pour {n=20,50,80}.

e) Conjecturer une convergence.

f) Calculer {\mathbb E(f(S_n/n))}.

g) Prouver la conjecture.

a) Si {0\leq Y\leq X} et {\mathbb E(X)\lt \infty}, montrer {\mathbb E(Y)\lt \infty}. Pour des entiers {a,b\ge0}, on pose {T=\min\left\{n\geq0:S_n\notin[-a,b]\right\}}, avec {T=+\infty} si nécessaire. C’est le temps de sortie de {[-a,b]}.

b) Programmer temps(a,b), puis la moyenne sur {10000} expériences, et tester {a=5,b=7}.

c) Avec {\ell=a+b+1}, on considère {G_n=\bigcap_{k=n\ell+1}^{(n+1)\ell}\left\{X_k=1\right\}}.

Montrer leur indépendance et calculer leur probabilité.

d) Montrer que {\mathbb{P}(T=+\infty)=0}.

Soient {X,Y} indépendantes de loi de Poisson de paramètre {\lambda}, et {M=\begin{pmatrix}(-1)^X&1\\[4pt](-1)^Y&1\end{pmatrix}}.

Calculer les probabilités d’inversibilité et de diagonalisabilité sur {\mathbb{R}}, puis {\mathbb{C}}.

Une pièce donne pile avec probabilité {0\lt p\lt 1}. On la lance jusqu’au premier pile, au rang {N}, puis encore {N} fois ; {X} compte les piles de cette seconde série.

Déterminer la loi de {N}, du couple {(N,X)} et de {X}.

Trouver {0\lt \lambda\lt 1} tel que {UV} ait la loi de {X}, avec {U\sim\mathcal B(\lambda)} et {V\sim\mathcal G(\lambda)} indépendantes.

Calculer {\mathbb E(X),V(X)}.

1) Donner la loi de {X_1}, celle de {X_1} sachant {X_2=k}, puis celle de {X_2}.

2) Donner la loi de {X_n}.

3) En déduire {\sum\limits_{k\geq n}\binom{k-1}{n-1}x^k=x^n/(1-x)^n} pour {|x|\lt 1}.

4) Calculer l’espérance et la variance de {X_n}.

a) Donner la loi de {Y} et montrer qu’elle est celle de {X-Y}.

b) Si {Y+1\sim\mathcal G(p)}, donner la loi de {X} et prouver l’indépendance de {Y,X-Y}.

c) Prouver la réciproque de cette dernière propriété.

a) Donner la loi de {|S_{2n}|}.

b) Montrer {\mathbb E(|S_{2n}|)=2^{-(2n-2)}\sum\limits_{\ell=n+1}^{2n}\binom{2n}\ell}.

c) Calculer cette somme binomiale puis {\sum\limits_{\ell=n+1}^{2n}\ell\binom{2n}\ell}.

On dispose de {N} pièces donnant pile avec probabilité {p\in]0,1[}. Au premier tour, on lance toutes les pièces et on ne conserve que celles donnant pile. On recommence à chaque tour avec les pièces conservées au précédent. Soit {X_n} le nombre de pile au tour {n} et {U_n=(\mathbb{P}(X_n=0),\ldots,\mathbb{P}(X_n=N))^T}.

Déterminer {A} telle que {U_{n+1}=AU_n}.

Est-elle diagonalisable ?

Exprimer {U_n} en fonction de {A,U_0}.

1) Donner la loi de {Y}.

2) Montrer qu’elle a une espérance finie et la calculer.

3) Pour {k\geq1}, donner la loi du nombre {Y_k} de face avant le {k}-ième pile.

1) Déterminer les lois de {N}, du couple {(N,X)} et de {X}.

2) Pour {\lambda\in]0,1[}, soient {U\sim\mathcal B(\lambda)} et {V\sim\mathcal G(\lambda)} indépendantes.

À quelle condition sur {\lambda} a-t-on {X\sim UV} ?

3) Calculer l’espérance de {X}.

1) Donner sa loi et son espérance.

2) Pour {0\leq k\leq n}, calculer {\lim_{p\to\infty}\mathbb{P}(X_n=k)} et commenter.