Pour une matrice nilpotente {M\in M_n(\mathbb{C})}, noter {d(M)} son indice de nilpotence.

Montrer que {\dim\mathbb{C}[M]=d(M)}, que {I_n+M} est inversible et que {d(2M+M^2)=d(M)}. L’application {M\mapsto2M+M^2} est-elle injective ? bijective sur l’ensemble des matrices nilpotentes ?

1) Montrer que {B(f)} est une {\mathbb{K}}-algèbre contenant {\mathbb{K}[f]}.

2) Si {f} est nilpotent d’indice {n=\dim E}, montrer que {B(f)=\mathbb{K}[f]}.

3) Si {E=G_1\oplus G_2}, les {G_i} sont stables et {\pi_{f|G_1}\wedge\pi_{f|G_2}=1}, montrer que {B(f)=\mathbb{K}[f]}.

a) Énoncer et démontrer le lemme des noyaux.

b) Si deux symétries {u,v} vérifient {uv=-vu}, montrer {n} pair.

c) Pour {n=2p}, trouver une base où leurs matrices sont {\begin{pmatrix}I_p&0\\[4pt]0&-I_p\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}0&I_p\\[4pt]I_p&0\end{pmatrix}}.

d) Quels entiers {k} permettent des symétries {s_1,\ldots,s_k} qui anticommutent deux à deux ?

a) Montrer que tout idéal de {\mathbb{C}[X]} est principal.

b) Pour {x\ne0}, soit {\mu_{A,x}} le générateur unitaire de {\left\{P:P(A)x=0\right\}}.

Montrer qu’il existe {x} tel que {\mu_{A,x}=\mu_A}.

c) Si {A=\operatorname{diag}(A_1,A_2)}, avec les {A_i} compagnons et leurs polynômes caractéristiques premiers entre eux, montrer que {A} est semblable à une matrice compagnon.

1) Montrer que {\dim\mathbb{K}[u]=\deg\pi_u}, où {\pi_u} est le polynôme minimal.

2) Si {u} est inversible, montrer que {u^{-1}\in\mathbb{K}[u]}.

3) Montrer que {\exp(u)\in\mathbb{K}[u]}.

4) Sur {E=\mathbb{K}[X]}, soit {D} la dérivation et {u=I-D}.

Montrer que {u} est inversible ; son inverse appartient-il à {\mathbb{K}[u]} ?

1) Montrer que {\chi_A=X^{n-2}(X-\lambda)(X-\mu)} ; calculer {\lambda+\mu}, {\lambda^2+\mu^2}, puis {\chi_A}.

2) Discuter le rang de {A^2} et déterminer le polynôme minimal selon {\alpha}.

1) Soit {u:P\mapsto P'} sur {\mathbb{R}_n[X]}.

Exhiber une base dans laquelle sa matrice n’a que des {0} et des {1}.

2) Montrer que, pour tout {Q\in\mathbb{R}_n[X]}, il existe un unique {P\in\mathbb{R}_n[X]} tel que {P-P'=Q}.

Montrer que, si {Q} est à valeurs positives, {P} l’est aussi.

Soit {A=\begin{pmatrix}0&c&b\\[4pt]-c&0&a\\[4pt]-b&-a&0\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{R})}.

Trouver {\alpha} tel que {A^3=\alpha A}, puis calculer {A^n} en fonction de {\alpha}.

a) Donner une matrice simple semblable à {A}.

b) Montrer que toute matrice commutant avec {A} est un polynôme en {A}.

a) Montrer que toute {A\in M_2(\mathbb{R})} vérifiant {A^2-2\cos\theta A+I=0} est semblable à {R}.

b) En dimension {n}, montrer que {n} est pair et que {A} est semblable à une diagonale par blocs tous égaux à {R}.

a) Trouver une relation entre {I,A,A^2}.

b) En déduire que {A} est diagonalisable.

c) Montrer que {A^k=\alpha^kU+\beta^kV} pour {k\in\mathbb{N}}.

1) Montrer que {E} est un espace vectoriel de dimension finie et que {p\leq\dim E\leq n}.

2) Montrer que {M} est diagonalisable si et seulement si {\dim E=p}.