Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « nombres réels ou complexes », regroupés par filière.
MP–MPI
Exercice 1. (★★★★) inégalité triangulaire ; argument ; module
Pour un triangle non aplati {ABC} du plan complexe, noter {M_a,M_b,M_c} les milieux opposés, {a=BC}, {b=CA}, {c=AB}, {d_a=AM_a}, {d_b=BM_b}, {d_c=CM_c}.
Montrer que {G=(A+B+C)/3} est sur les médianes et {AG=2AM_a/3}. Prendre ensuite {G} pour origine.
Conjecturer numériquement le minimum de {4(ad_bd_c+bd_ad_c+cd_ad_b)/(abc)}.
Si {u,v,w} sont les affixes des milieux, montrer {a=2|v-w|}, {d_a=3|u|} et les identités cycliques.
Simplifier {(u-v)(v-w)(w-u)+uv(u-v)+vw(v-w)+wu(w-u)}.
Prouver la conjecture et étudier l’égalité.
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PC
Exercice 1. (★★) Racines de l'unité ; Sommes géométriques
(Python) Soient {n\geq1}, {\omega=e^{2i\pi/n}} et {G_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{k^2}}.
a) Calculer {G_n} pour {n=1,2,3,4}.
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b) Pour {p\in\mathbb{Z}}, déterminer {\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{pk}}.
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c) Programmer Gauss(n) et vérifier a).
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d) Montrer que {G_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\omega^{(k+p)^2}} pour tout entier {p}.
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e) Montrer que {G_5=\sqrt5} ; on pourra utiliser {z=\omega+\omega^{-1}} et {z^2+z-1=0}.
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Exercice 2. (★★★) module et argument ; règle de la chaîne ; dérivées partielles et directionnelles
1) Soit {z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_-}, écrit {z=x+iy=re^{i\theta}} avec {r>0}, {\theta\in]-\pi,\pi[}.
Montrer {\theta=2\arctan\bigl(y/(x+\sqrt{x^2+y^2})\bigr)}.
La formule {\theta=\arctan(y/x)} est-elle valable ?
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2) Sur {D=\mathbb{R}^2\setminus\left\{(x,0):x\leq0\right\}}, trouver les {f\in C^1(D,\mathbb{R})} telles que {\langle u,\nabla f(u)\rangle=1/\lVert u\rVert}.
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