Intégration sur un segment — Centrale-Supélec

Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « intégration sur un segment », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★) norme d’opérateur ; intégration par parties ; applications linéaires continues

Soit

{E}

l’espace des fonctions polynomiales réelles. On note

{\varphi(f)}

la primitive de

{f}

d’intégrale nulle sur

{[0,1]}

1) Justifier cette définition et la linéarité de

{\varphi}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Pour la norme uniforme sur

{[0,1]}

, justifier et majorer

{\lVert \varphi\rVert_{\mathrm{op}}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Si

{F=\varphi(f)}

{G'=F}

{G(0)=0}

, montrer

{G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)\,dt =(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\,dt.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) Déterminer

{\lVert \varphi\rVert_{\mathrm{op}}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) dimension infinie ; familles libres ; théorème fondamental

a) Pour

{f}

continue sur un intervalle, montrer que

{F_a(x)=\int_a^xf(t)dt}

est dérivable de dérivée

{f}

. Pour

{h>0}

, poser

{W_h=\left\{f\in C^0(\mathbb{R}):\int_{x+h}^{x+2h}f=2\int_x^{x+h}f \text{ pour tout }x\right\}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Montrer que

{W_h}

a dimension infinie.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Contient-il des fonctions non bornées ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★) intégrale d’une fonction vectorielle ; sommes de Riemann ; continuité uniforme

Soit

{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}^2)}

et une norme sur

{\mathbb{R}^2}

1) Montrer que pour

{\varepsilon>0}

, il existe

{\eta>0}

tel que

{|s-t|\leq\eta}

implique

{\lVert f(s)-f(t)-(s-t)f'(t)\rVert\leq\varepsilon|s-t|}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) En déduire que

{\sum\limits_{k=0}^{n-1}\lVert f((k+1)/n)-f(k/n)\rVert\to\int_0^1\lVert f'(t)\rVertdt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★) limite d’intégrales ; approximation par fonctions en escalier ; sommes trigonométriques

Soient

{I_n=\int_0^{\pi/2}\sin((2n+1)t)/\sin t\,dt}

{J_n=\int_0^{\pi/2}\sin^2(nt)/\sin^2t\,dt}

1) Montrer qu’une fonction continue par morceaux sur

{[0,1]}

est limite uniforme de fonctions en escalier.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Justifier les intégrales et calculer

{I_{n+1}-I_n}

{I_n}

{J_{n+1}-J_n}

{J_n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Pour

{f}

complexe continue par morceaux sur

{[0,\pi/2]}

, montrer que

{\int_0^{\pi/2}f(t)\sin^2(nt)dt\to\frac12\int_0^{\pi/2}f(t)dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PSI

Exercice 1. (★★★) Sommes de Riemann ; Intégrabilité ; Racines de l’unité

1) Montrer la convergence de

{I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Pour

{n\geq2}

, poser

{P_n=\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/(2n))}

Montrer que ${\frac\pi{2n}\ln P_n\to I}$ .

Trouver un lien entre ${P_n^2}$ et ${P_{2n}}$ et en déduire ${I}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) dérivation d’une intégrale ; Espaces vectoriels et applications linéaires ; injectivité et surjectivité

Sur

{E=C^0([0,1])}

, poser

{T(f)(0)=f(0)}

{T(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf}

pour

{x>0}

a) Montrer que c’est un endomorphisme ; est-il injectif ? surjectif ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Pour

{f,g\in E}

, poser

{F(x)=x\int_0^xf(t)g(t)dt-(\int_0^xf)(\int_0^xg)}

i) Montrer ${F\in C^1}$ et exprimer ${F'}$ comme une intégrale.

ii) Si ${f,g}$ sont monotones dans le même sens, montrer ${T(fg)\ge T(f)T(g)}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★) Nombres réels ou complexes ; série géométrique ; intégration terme à terme

Soit

{0\lt |z|\lt 1}

{f(t)=(1-|z|^2)/|z-e^{it}|^2}

sur

{[0,2\pi]}

a) Montrer que le dénominateur ne s’annule pas et que

{f}

est continue.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Montrer la liberté complexe de

{1,e^{it},e^{-it}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Trouver l’unique couple

{\alpha,\beta}

tel que

{f(t)=-1+\alpha/(1-ze^{it})+\beta/(1-\overline z e^{-it})}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

d) Montrer

{(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(t)dt=1}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★) équivalents ; théorème de la moyenne ; intégration des relations de comparaison

Soit

{f\in C^0(\mathbb{R}_+)}

{F(x)=\int_0^xf(t)^2dt}

, avec

{f(x)F(x)\to\ell>0}

a) Montrer que

{f}

a une limite finie et la préciser.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Si

{g}

continue tend vers

{\ell'}

, montrer

{x^{-1}\int_0^xg(t)dt\to\ell'}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Donner des équivalents de

{F}

{f}

à l’infini.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★★) intégration par parties ; intégration terme à terme ; développement de l’arcsinus

Soit

{W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx}

a) Relier

{W_{2n+2},W_{2n}}

et montrer

{W_{2n+1}=2^{2n}(n!)^2/(2n+1)!}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Développer

{\arcsin}

, puis montrer, pour

{0\le x\lt \pi/2}

{x=\sum_{n\ge0}\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2} \frac{\sin^{2n+1}x}{2n+1}.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) En déduire

{\sum\limits_{n\ge0}1/(2n+1)^2}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★) linéarité de l’intégrale ; interpolation de Lagrange ; bases de polynômes

Soient

{n\geq1}

{a\lt b}

. On cherche un unique

{(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)}

tel que

{\int_a^bP(x)dx=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^n\alpha_kP\left(a+k\frac{b-a}n\right) \quad(P\in\mathbb{R}_n[X]).}

1) Montrer l’équivalence avec

{\int_0^nQ(x)dx=\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kQ(k)}

, et en déduire l’indépendance des poids par rapport à

{a,b}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Pour

{B_i=\prod\limits_{0\leq k\leq n,\ k\ne i}(X-k)}

, montrer que

{(B_i)}

est une base, puis prouver l’existence et l’unicité des poids.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Montrer

{\alpha_i=\alpha_{n-i}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) Calculer les poids pour

{n=1,2,3}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 7. (★★★★) intégration par parties ; inégalité de Cauchy-Schwarz ; produit scalaire intégral

Sur

{I=[0,\pi/2]}

, soit

{E=C^0(I,\mathbb{R})}

muni de

{\langle f,g\rangle=\int_Ifg}

. Posons

{A(f)(x)=\int_0^xf(t)dt}

{B(f)(x)=\int_x^{\pi/2}f(t)dt}

1) Montrer

{\langle A(f),g\rangle=\langle f,B(g)\rangle}

et en déduire que les valeurs propres réelles de

{BA}

sont positives.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Montrer

{A(f)(x)^2\leq x\int_0^xf(t)^2dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Montrer

{\lVert A(f)\rVert\leq\lVert f\rVert/\sqrt2}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 8. (★★★) positivité de l’intégrale ; primitives ; exponentielle complexe

Soient

{m\in\mathbb{N}}

{a_0,\ldots,a_m\in\mathbb{R}}

{P=\sum\limits_{k=0}^ma_kX^k}

1) Expliciter

{P(X)^2}

et en déduire

{\sum\limits_{0\leq p,q\leq m}a_pa_q/(p+q+1)\geq0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Exprimer

{\int_{-\pi}^{\pi}|P(e^{it})|^2\,dt}

en fonction des

{a_k}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Pour

{Q\in\mathbb{C}[X]}

, montrer

{\int_{-1}^1Q(x)\,dx=-i\int_0^\pi Q(e^{it})e^{it}\,dt.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) En déduire

{\sum\limits_{0\leq p,q\leq m}a_pa_q/(p+q+1)\leq\pi\sum\limits_{k=0}^ma_k^2}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PC

Exercice 1. (★★) Sommes de Riemann ; Développements limités

a) Montrer que

{u_n=\sum\limits_{k=n}^{2n}1/k}

converge et donner sa limite.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Montrer que

{v_n=\sum\limits_{k=0}^n\arctan(1/(n+k))}

converge.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) Cas d'égalité ; Positivité et majorations ; Théorème fondamental

Soient

{a\lt b}

{f\in C^1([a,b])}

{f(a)=0}

{0\leq f'\leq1}

a) Montrer que

{f(x)^2\leq2\int_a^xf}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Montrer que

{\int_a^bf^3\leq(\int_a^bf)^2}

et étudier l’égalité.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★) Valeurs intermédiaires ; Positivité et majorations

Soient

{f,g}

continues sur

{[a,b]\subset]0,+\infty[}

, avec

{g\geq0}

Montrer l’existence de ${c\in[a,b]}$ tel que ${\int_a^bfg=f(c)\int_a^bg}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★) Primitives ; Prolongement par continuité

Justifier l’existence et calculer

{I=\int_0^1(t-1)/\ln t\,dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★) Intégration terme à terme ; Série géométrique ; Convergence normale

Pour

{a\in\mathbb{C}}

{r>0}

{|a|\ne r}

, calculer

{\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}re^{it}/(re^{it}-a)\,dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★) Sommes de Riemann ; Changement de variable ; Fonctions réciproques

Soit

{f:[0,1]\to\mathbb{R}_+^\star}

continue.

1) Trouver

{a_k\in[0,1]}

avec

{\int_0^{a_k}f=(k/n)\int_0^1f}

{0\leq k\lt n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Étudier

{u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Si maintenant

{f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+^\star}

est continue d’intégrale divergente, et

{b_n>0}

, construire

{v_0=0}

avec

{\int_{v_n}^{v_{n+1}}f=b_n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) Étudier

{(v_n)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 7. (★★) Dérivation aux bornes ; Équivalents ; Primitives

Étudier

{G(x)=\int_x^{2x}dt/(t-\ln t)}

: domaine, continuité, dérivabilité, variations et équivalents aux bornes.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 8. (★★★) Intégration par parties ; Changement de variable ; Récurrences linéaires du second ordre

Pour

{0\lt b\lt 1}

, posons

{J_n=\int_0^\pi\cos(nt)/(b^2-2b\cos t+1)dt}

Justifier leur existence et leur limite ; calculer ${J_{n+2}+J_n-(b^2+1)J_{n+1}/b}$ ; en déduire ${J_n}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 9. (★★) sommes de Riemann ; primitives ; bijections et fonctions réciproques

Pour

{f:[0,1]\to\mathbb{R}_+^\star}

continue :

a) trouver

{a_0,\ldots,a_{n-1}\in[0,1]}

tels que

{\int_0^{a_k}f=(k/n)\int_0^1f}

pour

{1\le k\le n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Étudier

{u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Si

{f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+^\star}

est continue d’intégrale divergente et

{b_n>0}

, construire

{v_0=0}

avec

{b_n=\int_{v_n}^{v_{n+1}}f}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

d) Étudier la suite

{(v_n)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 10. (★★★) changement de variable ; sommes de Riemann ; positivité et majorations

a) Montrer que

{\int_0^\pi dx/(1+\cos^2(nx))}

ne dépend pas de l’entier

{n\ge1}

et calculer sa valeur.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Pour

{f}

continue croissante sur

{[0,\pi]}

, déterminer

{\lim_n\int_0^\pi f(x)/(1+\cos^2(nx))dx}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 11. (★★★) sommes de Riemann ; inégalité de Taylor-Lagrange ; développements asymptotiques

Soit

{f\in C^3([0,1],\mathbb{R})}

{S_n(f)=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(k/n)}

1) Quelle est la limite de

{S_n(f)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Montrer qu’il existe

{M>0}

tel que, pour

{0\leq k\lt n}

{t\in[k/n,(k+1)/n]}

{\left|f(t)-f(k/n)-(t-k/n)f'(k/n)-\frac{(t-k/n)^2}{2}f''(k/n)\right| \leq\frac M6(t-k/n)^3.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) En déduire

{S_n(f)=\int_0^1f-\frac1{2n}\int_0^1f' +\frac1{12n^2}\int_0^1f''+o(n^{-2}).}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 12. (★★) Fonctions d’une variable réelle ; changement de variable ; intégration par parties

Soit

{f:x\mapsto\int_x^{2x}\cos(t)/t\,dt}

Déterminer ses limites en ${0^+}$ , en ${+\infty}$ et en ${-\infty}$ , puis ses variations.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 13. (★★★) Séries, familles sommables ; intégration par parties ; sommes télescopiques

Pour

{n\in\mathbb{N}}

, soient

{I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^{2n}t\,dt}

{J_n=\int_0^{\pi/2}t^2\cos^{2n}t\,dt}

{Q_n=J_n/I_n}

1) Montrer

{(2n+2)I_{n+1}=(2n+1)I_n}

pour

{n\geq0}

, et

{I_n=-2n^2J_n+n(2n-1)J_{n-1}}

pour

{n\geq1}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Montrer

{Q_{n-1}-Q_n=1/(2n^2)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Montrer

{t\leq(\pi/2)\sin t}

sur

{[0,\pi/2]}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) Montrer

{0\leq J_n\leq(\pi^2/4)(I_n-I_{n+1})}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

5) En déduire

{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-2}=\pi^2/6}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

MP–MPI

PSI

PC

Retour aux planches par thème