1) Calculer {\det V}.

2) Soit {V_i}, {1\leq i\leq n}, la matrice d'évaluation des monômes {1,X,\ldots,X^{i-1},X^{i+1},\ldots,X^n} aux points {c_j}.

Noter {S_k} les fonctions symétriques élémentaires des {c_j}.

Exprimer les coefficients de {\prod\limits_j(X-c_j)}, puis {\det V_i}.

3) Discuter l'inversibilité de {V} et expliciter son inverse.

1) Calculer {\det M} si {b_k=k-1}.

2) Montrer que {M} est inversible, puis que {\det M>0}.

1) Avec {U_{x,y}=\begin{pmatrix}x&1\\[4pt]y&1\end{pmatrix}}, montrer que {f} est injective.

2) Avec {T=\left\{(x,y):x\lt y\right\}}, en déduire que {f} est strictement monotone.

3) Si {f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_+^\star}, montrer qu'il existe {a} tel que {f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})} pour des réels {z_{x,y}}, puis obtenir une contradiction.

4) Traiter de même {f(\mathbb{R})=\mathbb{R}_-^\star}.

1) Rappeler le développement d'un déterminant selon une ligne ou une colonne, puis relier {\operatorname{Com}A}, {A} et {\det A}.

2) Calculer le déterminant de la matrice tridiagonale de diagonale {2} et de sous-diagonales {-1}.

3) Montrer qu'une matrice réelle de diagonale strictement positive, d'autres coefficients négatifs, et de sommes de lignes strictement positives est inversible.

4) Montrer que les coefficients de son inverse sont positifs.

1) Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt} est un produit scalaire.

2) Montrer que toute matrice de Gram d'une base euclidienne est symétrique définie positive.

3) Pour {p\geq0}, poser {L_p=\frac{d^p}{dX^p}[X^p(1-X)^p]}.

Montrer que {(L_p)} est orthogonale.

Est-elle orthonormale ?

4) Montrer que {M=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n+1}} est symétrique définie positive et calculer son déterminant.

1) Montrer que {A_1,A_2} sont définies positives.

2) Justifier leurs racines carrées symétriques définies positives {R_1,R_2}.

3) Montrer que {\det A\leq\det A_1\det A_2}.

a) Montrer la continuité du déterminant.

b) Montrer qu'il y admet un maximum {\alpha}.

c) Montrer que ce maximum est strictement positif et réalisé par une matrice inversible de coefficients dans {\left\{-1,1\right\}}.

d) Montrer {\alpha\le n^{n/2}} et caractériser l'égalité par l'orthogonalité des colonnes d'une matrice maximale de ce type.

1) Énoncer la division euclidienne dans {\mathbb{K}[X]}.

2) Donner le reste de {P} modulo {(X-a)^2} et une condition pour que {a} soit racine simple.

3) Pour {n\geq2}, soit {P_n=X^n-X+(-1)^n}.

Compter ses racines dans {\mathbb{Q}}, {\mathbb{R}}, {\mathbb{C}}.

4) Si {a_1,\ldots,a_n} sont ses racines complexes, calculer le déterminant de la matrice de diagonale {1+a_i} et de coefficients hors diagonale un.

1) Montrer que {A\operatorname{Com}(A)^T=\det(A)I_n} pour {A\in M_n(\mathbb{R})}.

2) On définit {GL_n(\mathbb{Z})} par les matrices entières inversibles dont l'inverse est entier.

Montrer que {A\in GL_n(\mathbb{Z})} équivaut à {\det A=\pm1} pour {A\in M_n(\mathbb{Z})}.

3) Montrer qu'un polynôme irréductible de {\mathbb{Q}[X]} a des racines complexes simples.

a) Si une matrice entière a diagonale impaire et tous ses autres coefficients pairs, montrer que son déterminant est impair.

b) Pour {X\in M_{n,k}(\mathbb{R})}, montrer {\operatorname{rg}X=\operatorname{rg}(X^{\mathsf T}X)}.

1) Montrer qu'il a au plus une racine réelle ; la localiser dans un intervalle de longueur un.

2) Déterminer les racines de {P_n'} en utilisant les racines {n}-ièmes de l'unité.

3) Pour les racines {\eta_1,\eta_2,\eta_3} de {P_3}, calculer le déterminant de la matrice de diagonale {1+\eta_i} et de coefficients hors diagonale un.

a) Donner son degré et son coefficient dominant.

b) Factoriser {P}.

c) Calculer {D_n=\det(1,x_i,\ldots,x_i^{n-2},x_i^n)_{1\leq i\leq n}}.

d) Proposer une autre méthode de calcul.

a) Déterminer les possibilités pour {n=1,2}.

b) Montrer que {\det A=0} si {n} est impair.

c) Calculer {\det J}, où {J_{ij}=1} pour {i\ne j} et {J_{ii}=0}.

d) En considérant {A-J}, montrer que {\det A} est impair si {n} est pair.

e) Déterminer le rang de {A}.

Pour {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})} et {c=\max|a_{ij}|}, montrer que {|\det A|\leq n^{n/2}c^n}. On pourra commencer par des colonnes orthogonales.

Soit {J\in M_n(\mathbb{C})} la matrice définie par {J_{i,i+1}=1} et {J_{n,1}=1}, les autres coefficients étant nuls.

Déterminer ses valeurs et vecteurs propres, puis le déterminant de la matrice circulante de première ligne {(a_0,\ldots,a_{n-1})}, chaque ligne suivante étant décalée d'un cran vers la droite.

a) Exprimer son déterminant par un produit de différences.

b) Calculer {\Omega_n\overline{\Omega_n}} et en déduire le module du déterminant.

c) Calculer {\sum\limits_{1\le\ell\lt k\le n}(k+\ell)}.

d) Calculer {\det\Omega_n}.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de Vandermonde soit inversible.

2) Soient {Q_0,\ldots,Q_n\in\mathbb{R}_n[X]} et {z_0,\ldots,z_n\in\mathbb{R}}.

Calculer le déterminant de {R=(Q_i(z_j))_{0\leq i,j\leq n}}.