1) Montrer que c’est une norme ; calculer numériquement avec fmin les cas {A=\left\{0,1\right\}} et {A=\left\{0,1,2\right\}}.

2) Montrer qu’il existe d’uniques {b_k} avec {X^n-P=\sum\limits_{k=0}^nb_k\prod\limits_{i\ne k}(X-a_i)}.

Les calculer et calculer leur somme.

3) Montrer {\prod\limits_{i\ne k}|a_k-a_i|\geq n!/\binom nk}, puis {\lVert X^n-P\rVert_A\geq n!/2^n}.

4) Calculer {d_{\left\{0,\ldots,n\right\},n}}.

Cette norme provient-elle d’un produit scalaire ?

a) Montrer que c’est une norme.

b) Écrire uniquement {X^n-P=\sum\limits_{k=0}^nb_k\prod\limits_{j\ne k}(X-a_j)} et montrer {\sum\limits b_k=1}.

c) Montrer {\prod\limits_{j\ne k}|a_k-a_j|\ge n!/\binom nk}.

d) Montrer {\lVert X^n-P\rVert_A\ge n!/2^n}.

e) Calculer {d_{n,A}}.

a) Pour une application linéaire entre espaces normés, montrer que la continuité partout équivaut à celle en {0}.

b) Sur {E=C^1([-1,1],\mathbb{R})} muni de la norme uniforme, poser {N(\varphi)=\sup_{\lVert f\rVert_\infty=1}|\varphi(f)|}.

Calculer cette quantité pour {\varphi(f)=\int_{-1}^0f-\int_0^1f}.

a) {\rho} est-elle une norme ?

b) Montrer {\rho(A)\le|||A^k|||^{1/k}}.

c) Pour toute norme {N}, montrer {N(A^k)^{1/k}\to\rho(A)}.

a) Rappeler Heine et montrer que {f\in E} est uniformément continue.

b) Montrer que {T} est un endomorphisme continu.

c) Calculer sa norme.

a) Montrer que c’est une norme sous-multiplicative ; définir {e^A} et montrer {\lVert e^A\rVert\le e^{\lVert A\rVert}}.

b) Pour {K=\max(\lVert A\rVert,\lVert B\rVert)}, montrer {\lVert A^n-B^n\rVert\le nK^{n-1}\lVert A-B\rVert}.

c) Calculer {\lim_{n\to\infty}(e^{A/n}e^{B/n})^n}.

1) Pour un endomorphisme d’un espace normé, montrer l’équivalence entre continuité, continuité en zéro et caractère lipschitzien.

2) Sur {\ell^2(\mathbb{Z})} muni de sa norme usuelle, soit {T(u)_n=2u_n-u_{n+1}-u_{n-1}}.

Montrer que {T} est linéaire continue.

3) Montrer son injectivité et sa non-surjectivité.

4) Montrer que {T+I} est surjectif.

1) Montrer que c’est une norme et calculer {\pi_n(x\mapsto x^n)}.

2) Montrer que {A_n(f)(x)=xf(x)} est un endomorphisme continu de norme {n+1}.

3) Pour {n\geq1}, montrer que {B_n(f)(x)=\int_0^1f'(xt)dt} est linéaire de {E_n} vers {E_{n-1}}, continue de norme un.

1) Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes.

2) Montrer que {\lVert P\rVert=\sup_{[-1,1]}|P|} définit une norme sur {\mathbb{R}[X]}.

3) Pour {d\geq1}, montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme unitaire {T_d} de degré {d} tel que {\cos(d\theta)=2^{d-1}T_d(\cos\theta)}.

4) Parmi les polynômes unitaires de degré {d}, montrer {\lVert P\rVert\geq2^{1-d}} et étudier l’égalité.

1) Si {f:U\to\mathbb{R}} est différentiable, montrer qu’il existe {c\in]a,b[} tel que {f(b)-f(a)=df(c)(b-a)}.

2) Pour {f:U\to F} différentiable, {F} euclidien, et {df} bornée, montrer {\lVert f(b)-f(a)\rVert\leq\sup_{x\in[a,b]}\lVert df(x)\rVert_{\rm op}\,\lVert b-a\rVert.}

3) Étendre à un espace normé {F} de dimension finie.

1) Pour {h(t)=e^tf(t)}, montrer que {h(t)=\int_0^t(t-u)h''(u)\,du}.

2) Montrer que {N} est une norme sur {E}.

3) Trouver la plus petite constante {a>0} telle que {\lVert f\rVert_\infty\leq aN(f)} pour tout {f\in E}.

a) Montrer que c’est une norme.

b), c) Montrer que {N_0,N_1} sont équivalentes et donnent les mêmes suites convergentes.

Même équivalence pour {a,b\in[0,1]}.

d) Pour {1\le a\lt b}, montrer que {N_a,N_b} ne sont pas équivalentes, en considérant {X^n}.

d) Que devient la question sur {\mathbb{R}_n[X]} ?

a) Montrer que c’est un sous-espace.

b) Déterminer les {a\in\mathbb{R}} tels que {N_a(f)=\int_0^1|f''+af|} soit une norme.

c) Lorsqu’elle est une norme, existe-t-il {\alpha,\beta>0} tels que {\alpha\lVert f\rVert_\infty\leq N_a(f)\leq\beta\lVert f\rVert_\infty} ?

Soient {T_0=1,T_1=X,T_{k+2}=2XT_{k+1}-T_k}, avec {T_k(\cos\theta)=\cos(k\theta)}. Pour {P=\sum\limits_{k=0}^na_kX^k}, posons {L(P)=\sup_{[-1,1]}|P|}, {N(P)=\max_k|a_k|}. On définit {\langle P,Q\rangle=\int_0^\pi P(\cos\theta)Q(\cos\theta)d\theta}.

Montrer que les {T_k} forment une base orthogonale de {\mathbb{R}_n[X]}, puis {L(P)/(n+1)\leq N(P)\leq(1+\sqrt2)^{n+1}\sqrt2L(P)}.