Équations différentielles — Centrale-Supélec

Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « équations différentielles », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) rayon de convergence ; sommation par paquets ; systèmes à coefficients constants

1) Résoudre

{y'+y=e^x}

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2) Tracer

{p(x)=xe^{-x}}

, déterminer les antécédents de

{\pm1/e}

, et montrer que

{p}

est bijective sur

{]-\infty,1]}

Noter ${\Phi}$ sa réciproque.

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3) Pour

{S_N(x)=\sum\limits_{n=1}^Nn^{n-1}x^n/n!}

, déterminer le rayon, tracer

{S_8(p(x))}

sur

{[0,1/3]}

puis

{[0,1]}

, et conjecturer une identité.

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4) Résoudre

{x'=\lambda x+y}

{y'=\lambda y}

{x(0)=x_0}

{y(0)=y_0\ne0}

{\lambda>0}

Exprimer ${y}$ en fonction de ${x}$ à l’aide de ${\Phi}$ sur la branche ${\lambda t+\lambda x_0/y_0\ge-1}$ .

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5) Pour

{m\geq1}

, calculer la dérivée d’ordre

{m-1}

en zéro de

{((e^t-1)^m-(-1)^m)/m!}

Résoudre ${xy'-y=0}$ sur ${]-R,R[}$ .

Justifier la sommabilité de ${((-1)^kn^{n+k-1}x^{n+k}/(n!k!))_{n\geq1,k\geq0}}$ près de zéro et démontrer l’identité conjecturée en regroupant selon ${n+k=m}$ .

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Exercice 2. (★★★★) dérivation sous l’intégrale ; développement asymptotique ; systèmes différentiels

Soit

{J(x)=\int_0^{2\pi}\cos(x\sin t)dt}

Tracer sur ${[0,100]}$ et estimer ${\lambda}$ dans ${J(x)=\lambda x^{-1/2}\cos(x-\varphi)+O(x^{-3/2})}$ .

Montrer ${J\in C^\infty}$ et ${xJ''+J'+xJ=0}$ . Par ${z(t)=\sqrt t\,y(t)}$ , obtenir ${z''+(1+1/(4t^2))z=0}$ sur ${[1,\infty[}$ .

Pour ${V'=BV}$ avec ${\int_1^\infty\lVert B\rVert\lt \infty}$ , montrer la bornitude en dérivant ${e^{-2\int_1^t\lVert B\rVert}\lVert V(t)\rVert^2}$ , puis l’existence d’une limite et la borne ${\lVert V(t)-V_\infty\rVert\leq C\int_t^\infty\lVert B\rVert}$ .

Écrire ${Z=(z,z')^T}$ , ${Z'=(A+E)Z}$ avec ${A}$ antisymétrique, ${E}$ intégrable, et conclure en étudiant ${e^{-tA}Z(t)}$ .

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Exercice 3. (★★★) problème de Cauchy ; Espaces préhilbertiens réels ; intégration par parties

Soient

{E=C^\infty([0,\pi],\mathbb{R})}

{F=\left\{y\in E:y(0)=y(\pi)=0\right\}}

{\varphi,q\in E}

{q\geq0}

, et

{\alpha'=\varphi}

. Posons

{D(y)=y''+\varphi y'-qy}

{L(y)=-e^\alpha D(y)}

{\langle y,z\rangle=\int_0^\pi yL(z)}

1) Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.

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2) Montrer que cette forme est un produit scalaire sur

{F}

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3) Pour

{h\in E}

, montrer qu’il existe une unique

{f_0\in F}

avec

{D(f_0)=h}

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Exercice 4. (★★★★) matrice de Gram ; Intégration sur un intervalle quelconque ; intégration par parties

Soit

{E}

l’ensemble des fonctions réelles continues de carré intégrable sur

{\mathbb{R}_+}

a) Définir l’intégrabilité et montrer que

{fg}

est intégrable pour

{f,g\in E}

, puis que

{E}

est un espace vectoriel.

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b) Montrer que

{\langle f,g\rangle=\int_0^\infty fg}

est un produit scalaire.

Si ${f\in E\cap C^2}$ et ${f''\in E}$ , montrer ${f'\in E}$ et exprimer ${\langle f',f'\rangle+\langle f,f''\rangle}$ , ${\langle f,f'\rangle}$ , ${\langle f',f''\rangle}$ avec les valeurs en ${0}$ .

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c) Pour la matrice de Gram de

{(f,f',f'')}

, montrer que son déterminant est positif ou nul et étudier l’égalité.

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Exercice 5. (★★★) matrices symétriques positives ; projection orthogonale ; systèmes différentiels

Sur

{M_n(\mathbb{R})}

muni de la norme de Frobenius, soient

{A\in S_n^+}

{B}

quelconque et

{(E):X'=-AX+B}

. Supposer

{S=\left\{U:AU=B\right\}}

non vide.

a) Montrer que les valeurs propres de

{A}

sont positives ou nulles.

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b) Trouver les solutions constantes.

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c) Montrer que la distance entre deux solutions décroît, puis que chaque solution est bornée sur

{\mathbb{R}_+}

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d) Montrer l’existence d’une limite

{X_\infty}

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e) Montrer que

{X_\infty}

est un point de

{S}

le plus proche de

{X(0)}

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Exercice 6. (★★★) unicité d’une solution ; Séries entières ; dérivation terme à terme

Soient

{a,k\in\mathbb{R}}

{S_{a,k}}

l’ensemble des fonctions dérivables réelles sur

{\mathbb{R}}

telles que

{f'(x)=f(ax)}

{f(0)=k}

1) Déterminer

{S_{1,k}}

{S_{-1,k}}

On suppose ensuite ${|a|\lt 1}$ .

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2) Donner le rayon de

{\sum\limits_{n\geq0}a^{n(n-1)/2}x^n/n!}

et en déduire une solution.

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3) Pour

{T(f)(x)=k+\int_0^xf(at)dt}

, montrer que

{f\in S_{a,k}}

équivaut à

{T(f)=f}

parmi les fonctions continues.

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4) Montrer que

{S_{a,k}}

est un singleton.

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Exercice 7. (★★★★) intégration des relations de comparaison ; dérivation terme à terme ; réduction de l’ordre

Pour

{\nu\in\mathbb{R}}

, soit

{(E):x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0}

1) Énoncer et démontrer l’intégration des relations de comparaison.

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2) Trouver une fonction positive

{\ell}

sur

{]0,1[}

telle que

{z=\ell y}

transforme l’équation en

{z''+\alpha(x)z=0}

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3) Résoudre

{(E)}

sur

{]0,1[}

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Exercice 8. (★★★) espace des solutions ; Matrices et applications linéaires ; problème de Cauchy

Soit

{q}

continue réelle, paire et

{\pi}

-périodique, et

{(E):y''+qy=0}

1) Donner la structure et la dimension de l’espace

{S}

des solutions.

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2) Montrer que

{\phi(y)(x)=y(x+\pi)}

est un endomorphisme de

{S}

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3) Pour les solutions

{y_1,y_2}

de données initiales

{(1,0)}

{(0,1)}

, montrer que la matrice

{A}

{\phi}

est

{\begin{pmatrix}y_1(\pi)&y_2(\pi)\\[4pt]y_1'(\pi)&y_2'(\pi)\end{pmatrix}}

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4) Étudier leur parité.

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5) Montrer que

{\det A=1}

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6) Donner

{A^{-1}}

avec les valeurs en

{-\pi}

, montrer

{A+A^{-1}=(\operatorname{tr}A)I}

, puis

{y_1(\pi)=y_2'(\pi)}

{\chi_A=X^2-2aX+1}

pour un réel

{a}

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PSI

Exercice 1. (★★★) Intégrabilité ; Second ordre ; Théorème de Cauchy linéaire

Python. Soit

{q:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}}

continue. On considère

{y''+(1+q)y=0}

{y(0)=a}

{y'(0)=b}

1) Tracer les solutions sur

{[0,50]}

pour

{(a,b)=(1,0),(0,1)}

et pour les fonctions

{q(t)=\frac1{\sqrt{1+t}},\quad q(t)=\sin t\sin(1/t),\quad q(t)=\frac1{1+t^2},\quad q(t)=-\frac{t^2}{2(1+t^2)}.}

Quelles solutions semblent bornées?

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2) On suppose désormais

{q}

intégrable sur

{\mathbb{R}_+}

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3) Pour

{f}

continue et intégrable, poser

{z(x)=\int_0^x\sin(x-t)f(t)\,dt}

et calculer

{z''+z}

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4) Montrer que

{|y(x)|\leq|a|+|b|+\int_0^x|q(t)||y(t)|\,dt,}

puis que

{y}

est bornée.

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5) L’intégrabilité de

{q}

est-elle suffisante, nécessaire pour que les solutions soient bornées?

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Exercice 2. (★★★) Convergence simple ; Convergence uniforme ; Coefficients constants

Python. Soit

{\alpha>0}

et le système

{x''=-\alpha x'}

{y''=-\alpha y'-1}

1) Tracer les trajectoires pour différentes valeurs de

{\alpha}

, avec

{x(0)=y(0)=0}

{x'(0)=y'(0)=\nu>0}

Décrire leur allure pour ${\alpha}$ grand ou petit.

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2) Montrer que la trajectoire est le graphe de

{x\mapsto\left(1+\frac1{\alpha\nu}\right)x +\frac1{\alpha^2}\ln\left(1-\frac{\alpha x}{\nu}\right),}

et préciser son domaine.

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3) Montrer que

{g:r\mapsto r+\ln(1-r)}

est une bijection de

{[0,1[}

sur

{\mathbb{R}_-}

En déduire l’existence d’un unique ${\nu_\alpha}$ pour que la trajectoire passe par ${(1,0)}$ .

Pour cette valeur, on note ${f_\alpha}$ la fonction de la question précédente.

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4) Étudier la convergence de

{(f_n)_{n\geq1}}

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5) Étudier celle de

{(f_{1/n})_{n\geq1}}

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Exercice 3. (★★) Recherche de solutions en série entière ; Théorème de Cauchy linéaire ; Premier ordre

Considérons

{y'=2xy+1}

{y(0)=0}

Justifier l’existence d’une unique solution ${f}$ sur ${\mathbb{R}}$ , montrer qu’elle est impaire et développable en série entière en zéro, puis donner son expression.

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