Soient {p\leq n}, {A\in M_{n,p}(\mathbb{R})} de rang {p} et {B\in\mathbb{R}^n}.

Montrer que {\lVert AX-B\rVert^2} a un unique minimum {X_0} et que {A^TAX_0=A^TB}.

Calculer {\inf_{x,y}((x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2)}.

Pour {S\in S_n(\mathbb{R})}, montrer que {x\mapsto x^TSx} possède un maximum sur la sphère unité et que ce maximum est une valeur propre de {S}.

Pour {A} symétrique définie positive et {b\in\mathbb{R}^n}, poser {J(x)=\frac12\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle}.

Montrer sa stricte convexité, sa limite {+\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to\infty}, puis l’existence et l’unicité de son minimum.

1) Définir une matrice définie positive et rappeler ses propriétés.

2) Montrer que {J} est strictement convexe.

3) Montrer que {J} atteint un minimum en un unique point et que ce point résout {Ax=b}.

a) Montrer qu’une série numérique absolument convergente est convergente.

Poser {s(z)=(e^{iz}-e^{-iz})/(2i)} et {\varphi=|s|}.

b) {s} est-elle bornée sur {\mathbb{C}} ?

c) Même question sur {D=\left\{|z|\le1\right\}}.

d) Trouver les extrema de {\varphi} sur {D} et leurs points d’atteinte.

1) Montrer que {f:y\mapsto y^5+y} est une bijection de {\mathbb{R}_+^\star} sur elle-même.

Soient {v=f^{-1}} et {u(x)=v(x)^5}.

2) Montrer que {u(x)=x+o(x)} lorsque {x\to+\infty}.

3) Déterminer {\alpha,\beta\in\mathbb{R}} tels que {u(x)=x+\alpha x^{1/5}+\beta x^{-3/5}+o(x^{-3/5}),}puis en déduire un développement de {v} en {+\infty}.

a) Calculer les sommes binomiales pondérées par {k} et {k(k-1)}.

b) Montrer {\sum\limits_{k=0}^n(x-k/n)^2\binom nkx^k(1-x)^{n-k}=x(1-x)/n}.

c) Pour {B_n(f)(x)=\sum\limits_{k=0}^nf(k/n)\binom nkx^k(1-x)^{n-k}}, montrer {B_{n+1}'=(n+1)\sum\limits_{k=0}^n(f((k+1)/(n+1))-f(k/(n+1))) \binom nkx^k(1-x)^{n-k}}.

En déduire la conservation de la croissance et de la convexité.

d) Majorer la somme pondérée de {|x-k/n|} par {1/(2\sqrt n)}, puis l’erreur uniforme pour {f\in C^1} par {c/\sqrt n}.

e) Montrer la convergence vers {f} pour {f} continue.