1) Rappeler la différentielle et le gradient d’une fonction {C^1} sur un ouvert euclidien.

2) Dans {M_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire canonique, montrer {\nabla\det(A)=\operatorname{Com}(A)}.

3) Donner le coefficient de {X} dans {\chi_A(X)=\det(XI-A)}.

4) Déterminer l’espace tangent à {SL_n(\mathbb{R})} en {I}.

Soient {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, {b\in\mathbb{R}^n} et {J(x)=\tfrac12\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle}.

Montrer successivement que {J} est strictement convexe, tend vers {+\infty} quand {\lVert x\rVert\to\infty}, admet un minimum, puis calculer son gradient et ce minimum.

a) montrer {f\in C^1} et calculer sa différentielle ;

b) donner la dimension de {\ker df(A)} en fonction du rang de {A}.

a) Montrer {f\in C^1} et calculer son gradient.

b) Montrer {f(x)\to\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to\infty} et que {f} atteint son minimum en un point {\omega}.

c) Pour {x_{j+1}=x_j-\gamma\nabla f(x_j)}, montrer {x_{j+1}-\omega=(I-\gamma A)(x_j-\omega)}.

d) Choisir {\gamma>0} pour assurer la convergence pour tout {x_0}, et optimiser sa vitesse.

a) Pour une fonction différentiable ayant un extremum intérieur, rappeler et prouver la valeur du gradient.

b) Pour {A,B} sur le cercle unité, d’angle au centre {\theta\in[0,\pi]}, exprimer l’aire de la lunule extérieure au disque unité et intérieure au disque de diamètre {[AB]}.

c) Pour trois points {A,B,C} dont les trois angles au centre successifs appartiennent à {[0,\pi]}, maximiser la somme des aires des trois lunules.

1) Montrer que {C} est inclus dans un disque centré à l’origine.

2) Montrer qu’il existe {P,Q\in C} réalisant le diamètre de {C}.

Montrer que les tangentes en {P,Q} sont orthogonales à {(PQ)}.

1) Montrer que {g} atteint un maximum sur {D}.

2) En paramétrant {D} par ses deux premières variables, déterminer l’ensemble {A} des points où ce maximum est atteint.

3) Pour {(a,b,c)\in A}, poser {M=g(a,b,c)} et {V=\left\{(x,y,z):f(x,y,z)=M\right\}}.

Montrer que {D} est inclus dans le plan tangent à {V} en {(a,b,c)}.

1) Montrer que {V} est ouvert et {\varphi(V)=\left\{(p,s)\in(\mathbb{R}_+^\star)^2:s^2>4p\right\}.}Justifier que {\varphi} est de classe {C^1}.

On admet qu’elle est bijective sur son image, de réciproque {C^1}.

2) Si {f\in C^1(V)} vérifie {x\frac{\partial f}{\partial x}-y\frac{\partial f}{\partial y} =x^2-y^2,}montrer que {g=f\circ\varphi^{-1}} vérifie {\partial g/\partial s=s}.

3) Montrer que les solutions sont exactement {f(x,y)=\frac12(x+y)^2+K(xy),\qquad K\in C^1(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R}).}

1) Représenter la surface {z=f(x,y)} sur {[-2,2]^2}.

2) Montrer que {f} admet un minimum et le calculer.

3) Pour {a>0}, montrer l’existence de {R_a} tel que {f(x,y)\leq a} hors de {D_{R_a}}.

4) Déterminer le maximum global et les autres extrema locaux.

5) Pour {c\in\mathbb{R}}, poser {\Gamma_c=\left\{f=c\right\}}.

6) Tracer ces courbes pour {c\in\left\{0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.75,0.8,0.9\right\}}.

7) Pour quels {c} la courbe {\Gamma_c} admet-elle une tangente horizontale en dehors de l’axe des ordonnées?

1) Pour {x} fixé, poser {\varphi(t)=f(tx)} et exprimer {\varphi''}.

2) Avec {\psi(t)=f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-t^2\lVert x\rVert^2/2}, établir l’inégalité {f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\lVert x\rVert^2/2}.

3) En déduire la coercivité et l’existence d’un minimum.

a) Donner le plan tangent à son graphe en {(a,b,c)}.

b) Montrer qu’elle est minorée et possède un minimum atteint en un point critique à déterminer.

1) Soit {S=\left\{(x,y,z):z=f(x,y)\right\}}.

Déterminer le plan tangent à {S} en {(a,b,c)\in S}.

2) Montrer que {f} est minorée puis qu’elle admet un minimum atteint en un point que l’on déterminera.

1) Exprimer ces deux ensembles comme produits de deux ensembles.

2) Soit {f(x,y)=-(x^2+y^2)^2+\tfrac32(x^2+y^2)}.

Montrer que {f} est de classe {C^1}, calculer son gradient et trouver ses points critiques.

3) Soit {\widehat S=\left\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in B(0,1)\right\}}.

Déterminer le plan tangent à {\widehat S} et orthogonal au vecteur {(0,-1,1)}.

1) Justifier que {f} est de classe {C^2} et trouver ses points critiques.

2) Montrer que {f} admet en {(0,0)} un extrémum local.

Est-il global ?

3) Montrer que {f} admet en {(1,1)} un maximum global.

1) Montrer que {K} est continue et bornée.

2) Soit {z\in\mathbb{R}}.

Trouver l’équation du plan tangent à la surface d’équation {K(x,y)=z}.

a) Montrer que {f} est {C^1} et calculer son gradient.

b) Tracer les niveaux entiers {-3\leq h\leq3} sur {[-2,2]^2} et conjecturer les points critiques.

c) Les déterminer.

d) Tracer {g(x)=f(1+x,x)} et conjecturer la nature d’un point critique.

e) Utiliser la symétrie orthogonale par rapport au second axe pour l’autre point.

f) Montrer que les extrema sur le disque unité sont atteints sur son bord.

a) Montrer que {f,g} sont {C^1} et que {f} atteint son minimum sur {SL_n}.

b) Calculer {\nabla f}.

c) Pour un minimiseur {M_0} et {H\in M_n(\mathbb{R})} tel que {\operatorname{tr}(M_0^{-1}H)=0}, construire une courbe {\gamma} dans {SL_n} telle que {\gamma(0)=M_0}, {\gamma'(0)=H}.

d) Utiliser, pour {M\in SL_n}, {\nabla g(M)=(M^T)^{-1}} pour montrer que les minimiseurs sont exactement les matrices orthogonales directes.

Déterminer les {f\in C^2(\mathbb{R}^\star,\mathbb{R})} telles que {\Phi(x,y,z)=f((x^2+y^2)/z^2)} ait un laplacien nul sur {(\mathbb{R}^\star)^3}.

a) Montrer {f\in C^1} et calculer son gradient.

b) Montrer l’existence d’un minimum global et donner son point d’atteinte.

a) Si {\Delta f>0} dans la boule, montrer qu’un maximum existe et ne peut être intérieur.

b) Si {\Delta f\ge0}, montrer que le supremum sur la boule est celui sur sa frontière, en considérant {f_\varepsilon=f+\varepsilon\lVert x-a\rVert^2}.

1) Admet-elle des extrema globaux sur {\mathbb{R}^2} ?

2) Montrer qu’elle admet un minimum et un maximum sur {D=\left\{(x,y):x^2+y^2\leq1\right\}} et les déterminer.

3) Étudier ses extrema locaux sur {\mathbb{R}^2}.