Calcul asymptotique — Centrale-Supélec

Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « calcul asymptotique », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★) comparaison série-intégrale ; développements asymptotiques ; diviseurs

Poser

{H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}

{d_n=\#\left\{p\le n:p\mid n\right\}}

{f(x)=\sum\limits_{1\le k\le x}d_k}

a) Rappeler la comparaison série-intégrale et montrer

{H_n\sim\log n}

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b) Donner un équivalent de

{f}

à l’infini.

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c) Donner le deuxième terme de son développement asymptotique.

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PSI

Exercice 1. (★★) Équivalents ; Développements asymptotiques ; Bijections réciproques

1) Montrer que

{f:y\mapsto y^5+y}

est une bijection de

{\mathbb{R}_+^\star}

sur elle-même.

Soient ${v=f^{-1}}$ et ${u(x)=v(x)^5}$ .

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2) Montrer que

{u(x)=x+o(x)}

lorsque

{x\to+\infty}

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3) Déterminer

{\alpha,\beta\in\mathbb{R}}

tels que

{u(x)=x+\alpha x^{1/5}+\beta x^{-3/5}+o(x^{-3/5}),}

puis en déduire un développement de

{v}

{+\infty}

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PC

Exercice 1. (★★★) Variations ; Fonctions d’une variable réelle ; Équivalents

(Python) Soit

{f(x)=\ln x/x}

pour

{x>0}

a), b), c), d), e) a) Étudier ses variations et tracer son graphe.

b) Résoudre ${a^b=b^a}$ pour des entiers ${a,b\geq1}$ .

c) Pour ${x\geq e}$ , montrer l’existence d’un unique ${y\in]0,e]}$ tel que ${f(y)=f(x)}$ ; noter ${y=\varphi(x)}$ .

d) Étudier continuité, régularité et variations de ${\varphi}$ .

e) Tracer ${\varphi}$ .

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f) Donner un équivalent de

{\varphi(x)-1}

{+\infty}

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g) Donner un équivalent de

{\varphi(x)-e}

{e^+}

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Exercice 2. (★★★) Intégrabilité ; Changement de variable ; Convergence dominée

Soient

{a\lt b}

{\varphi\in C^1([a,b[)}

{\varphi'>0}

, et

{f}

continue. Supposer

{e^{-t_0\varphi}f}

intégrable pour un réel

{t_0}

a) Montrer l’intégrabilité de

{e^{-t\varphi}f}

pour

{t\geq t_0}

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b) Dans le cas

{a=0}

{\varphi(x)=x}

, montrer que

{\int_0^be^{-tx}f(x)\,dx=f(0)/t+o(1/t)}

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c) Donner un développement asymptotique de

{\int_a^be^{-t\varphi(x)}f(x)\,dx}

{+\infty}

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Exercice 3. (★★) Comparaison série-intégrale ; Développements asymptotiques ; Suites implicites

Soit

{p_n=\min\left\{m\geq1:\sum\limits_{k=1}^m1/k\geq n\right\}}

Justifier cette définition, calculer ${p_0,p_1,p_2}$ , montrer ${p_n\to\infty}$ puis ${p_{n+1}/p_n\to e}$ .

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Exercice 4. (★★) Intégration sur un segment ; Équivalents ; Développements limités

Soit

{f:[0,1]\to\mathbb{R}_+}

continue non identiquement nulle et

{I_n=\int_0^1\sin(f(t)/n)dt}

Trouver sa limite, un équivalent ${K_n}$ , puis un équivalent de ${I_n-K_n}$ .

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