Topologie des espaces vectoriels normés — CCINP et autres écoles

Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « topologie des espaces vectoriels normés », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★) intérieur ; adhérence ; fermés

Soient

{E}

normé et

{F}

un sous-espace vectoriel.

a) Montrer que

{\overline F}

est un sous-espace.

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b) Si

{B(x_0,r)\subset F}

, avec

{r>0}

, montrer que, pour tout

{y\in E}

, il existe

{\alpha,\beta\in\mathbb{R}^\star}

tels que

{\alpha x_0+\beta y\in B(x_0,r)}

En déduire ${F=E}$ .

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c) Dans

{M_n(\mathbb{K})}

, montrer que l’ensemble

{N}

des matrices nilpotentes est fermé et d’intérieur vide.

Montrer que ${\operatorname{Vect}N}$ est d’intérieur vide.

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Exercice 2. (★★★) valeurs intermédiaires ; chemins ; images continues

Soit

{E}

un espace vectoriel normé.

a) Montrer que

{E}

est connexe par arcs.

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b) Si

{f:E\to F}

est continue, montrer que

{f(A)}

est connexe par arcs pour toute partie

{A}

connexe par arcs.

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c) Montrer que

{\mathbb{C}^\star}

est connexe par arcs.

En déduire qu’il n’existe pas de bijection continue de ${\mathbb{C}}$ sur ${\mathbb{R}}$ .

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d) Montrer que l’indicatrice d’une partie ouverte et fermée de

{E}

est continue.

Déterminer toutes ces parties.

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Exercice 3. (★★★) image continue d’un connexe ; équivalence des normes ; sphères compactes

Pour un sous-espace non nul

{F\subset C^1([0,1])}

, soit

{I=\left\{\lVert f\rVert_\infty/\lVert f\rVert_2:f\in F\setminus\left\{0\right\}\right\}}

Décrire ${I}$ si ${\dim F=1}$ , montrer en général que c’est un intervalle inclus dans ${[1,\infty[}$ , puis qu’il est fermé si ${F}$ est de dimension finie.

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Exercice 4. (★★) valeurs d’adhérence ; convergence ; suites bornées

Dans un espace normé réel de dimension finie, supposons que

{\lVert x-u_n\rVert}

converge pour tout

{x\in E}

Montrer que ${(u_n)}$ a une valeur d’adhérence, puis converge.

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Exercice 5. (★★) image continue d’un compact ; fermés ; chemins

Dans le plan euclidien, montrer que

{H=\left\{y^2-x^2=1\right\}}

est fermé.

Définir la connexité par arcs, montrer celle du cercle unité, puis que l’image continue réelle d’une partie non vide connexe par arcs, fermée et bornée est un segment.

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Exercice 6. (★★★) projecteurs orthogonaux ; norme d’opérateur ; fermés et bornés

Sur un espace euclidien, soit

{K}

l’ensemble des projecteurs orthogonaux.

Montrer qu’un projecteur ${p}$ appartient à ${K}$ si et seulement si ${\lVert px\rVert\leq\lVert x\rVert}$ pour tout ${x}$ , puis que ${K}$ est compact.

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