Préciser le domaine de définition de {f(x)=\sum_{n\geq1}\frac1{n^2} \left(x^n+\left(\frac{-x}{1-x}\right)^n\right),}puis calculer {f} sur ce domaine.

a) Montrer que {g(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-n+n^2ix}} est bien définie sur {\mathbb{R}} et de classe {C^\infty}.

b) Montrer qu’elle n’est pas développable en série entière autour de {0}.

a) Quel est le rayon de convergence de {\sum\limits a_nx^n} ?

b) Calculer sa somme.

a) Montrer que le rayon de {\sum\limits a_nx^n} est au moins {2}.

b) Pour {|x|\lt 2}, montrer que {S_n(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k} converge et calculer sa limite.

c) En déduire la somme et montrer que le rayon vaut {2}.

Donner le rayon de convergence et calculer la somme des séries {\sum_{n\geq1}nx^n,\qquad \sum_{n\geq1}2nx^{2n},\qquad \sum_{n\geq1}n^{(-1)^n}x^n.}

a) Déterminer la limite de {nu_n}.

b) Calculer le rayon {R} de {\sum\limits u_nx^n}.

c) Étudier le comportement de la somme en {R} et {-R}.

a) Justifier l’existence et étudier la limite de {J_n}.

b) Calculer {f_n'}, trouver une relation entre {J_n,J_{n+1}} et en déduire un équivalent de {J_n}.

c) Donner le rayon de {\sum\limits J_nx^n}.

d) Exprimer sa somme par une intégrale.

Déterminer le rayon et la somme de la série entière {\sum\limits_{n\geq0}n^{(-1)^n}x^n}.

Pour {n\geq0}, soit {I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^nt\,dt}.

Montrer {0\leq I_n\leq\pi/4}, {I_{n+2}+I_n=1/(n+1)}, donner un équivalent, puis le rayon et la somme de {\sum\limits I_nx^n}.

Si {f(z)=\sum\limits_{n\geq0}a_nz^n} est entière, montrer {a_nr^n=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-int}dt}, puis que toute telle fonction bornée est constante.

1) Trouver les solutions développables en série entière près de zéro.

2) Toutes les solutions sur {]0,+\infty[} le sont-elles près de zéro ?

3) Résoudre {(1)} sur un intervalle {I} de {\mathbb{R}} ; discuter suivant {I}.

4) Ajouter {y(x_0)=y_0}.

Que dit le théorème de Cauchy sur {]0,+\infty[} ?

Résoudre ce problème initial.

5) Représenter graphiquement les solutions développables en série entière.

Déterminer les développements en série entière en {0} de {x\mapsto\ln(1+x-2x^2)} et {x\mapsto\arctan\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)}.

Rayon de convergence et somme de la série {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}}.

a) Donner le rayon de convergence de {S(x)=\sum\limits_{n\ge1}(-1)^n\ln(n)x^n}.

b) Montrer que, pour {|x|\lt 1}, {S(x)=\frac1{1+x}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\ln\left(1+\frac1n\right)x^{n+1}}.

c) Montrer que {\lim_{x\to1^-}S(x)=\frac12\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\ln\left(1+\frac1n\right)}.

d) Calculer cette limite avec la formule de Wallis {\frac2\pi=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac1{4k^2}\right)}.

a) Montrer que {0\le u_n\le n!4^{n+1}}.

b) Soit {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{u_n}{n!}x^n}.

Donner son intervalle de définition et montrer que {f'=f^2} sur cet intervalle.

c) En déduire une expression usuelle de {f}.

d) Donner une expression de {u_n}.

a) Déterminer le rayon de {\sum\limits_{n\ge1}\frac{a_n}{n}x^n}.

b) Rappeler le développement de {\ln(1-x)} et son rayon.

c) Rappeler la définition de {a_n\to a}.

d) Si {f} est la somme, montrer que pour tout {\varepsilon>0} on peut majorer {\left|\frac{f(x)}{\ln(1-x)}+a\right|} par une expression de limite {\varepsilon} en {1^-}.

En déduire la limite du quotient et un équivalent de {f}.

a) Montrer que {u_{n+1}=1/(1+u_n)} puis que {1/2\le u_n\le1}.

b)

i) Montrer que {f(x)=1/(1+x)} admet un point fixe dans {[1/2,1]}.

ii) Montrer que {(u_n)} converge et calculer sa limite.

c) Soit {S(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n}.

i) Préciser le rayon de convergence.

ii) Prouver que {S(x)=1/(1-x-x^2)}.

iii) En déduire une expression explicite de {a_n}.

a) Montrer que pour {r>0} et {n\in\mathbb{N}}, {a_n=\frac1{2\pi r^n}\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-int}\,dt}.

b) Montrer que si {f} est bornée, elle est constante.

a) Déterminer le rayon et la limite en {1} de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)^2}}.

b) Déterminer le rayon de {g(x)=\sum\limits_{n\ge0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}} et exprimer {g} avec {\ln}.

Donner les limites en {1} et {0} de {\ln(x)g(x)}.

c) Pour {0\lt a\lt b\lt 1}, justifier l’existence de {\int_a^b\frac{\ln x}{x^2-1}\,dx}.

d) Montrer que cette intégrale vaut {-\sum\limits_{n\ge0}\int_a^b\ln(x)x^{2n}\,dx}.

e) Calculer {\int_a^b\ln(x)x^{2n}\,dx}.

f) En déduire {\int_0^1\frac{\ln x}{x^2-1}\,dx}.

a) Déterminer les solutions développables en série entière de {4xy''+6y'+y=0}. Soient {(E):x^{(3)}+2x''-x'-2x=0} et {G} l’ensemble de ses solutions de classe {C^3}.

b) Montrer que {G\subset C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}.

Pour {\Delta:f\mapsto f'} sur {C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})},

c) déterminer {P} tel que {G=\ker P(\Delta)} ;

d) montrer que {G=\ker(\Delta^2-\mathrm{id})\oplus\ker(\Delta+2\mathrm{id})} ;

f) résoudre {(E)}.

Soit {f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^{n-1}/(2n-1)}.

Déterminer son rayon de convergence, calculer {\sum\limits_{n\geq1}t^{2n-1}/(2n-1)} et en déduire {f}.

1) Déterminer son rayon {R}.

2) Donner une expression de {f} sur {]-R,R[}. Indication : utiliser {I(p,q)=\int_0^1t^p(1-t)^q\,dt}.

1) Étudier la convergence de {(a_n)}.

2) Calculer {a_n+a_{n+2}} pour {n\geq2}.

3) Déterminer le rayon de {\sum\limits a_nx^n}, de somme {f}.

4) {f} admet-elle une limite en {1^-} ?

5) Expliciter {f}.

Pour {H_n=\sum\limits_{k=1}^n1/k}, déterminer le rayon et la somme de {f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}H_nx^n}.

1) Montrer que {F\in C^\infty(\mathbb{R})} et calculer {F^{(k)}(0)}.

2) Est-elle développable en série entière en zéro ?

1) Montrer {f\in C^\infty} et trouver une équation différentielle satisfaite par {f}.

2) Montrer qu’elle est développable en série entière et donner son développement.

a) Montrer que {\tan(2a)=\tan(a)/(1-\tan^2(a))}.

Préciser le domaine de validité.

b) Donner le développement en série entière de {\arctan} sur {]-1,1[}.

c) Montrer que {\pi/8=\sum\limits_{n=0}^{+\infty} (-1)^n(\sqrt2-1)^{2n+1}/(2n+1)}.

d) Majorer l’erreur d’approximation de {\pi} par {S_N=8\sum\limits_{n=0}^{N} (-1)^n(\sqrt2-1)^{2n+1}/(2n+1)}.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\geq 0}x^n/(2n+1)}.

a) Pour {x\in[0,1[}, trouver {a,b,c} tels que, pour {t\in[0,1]}, {\frac1{(1+t^2)(1+tx)} =\frac{at+b}{1+t^2}+\frac c{1+tx}.}

b) Déterminer le rayon de convergence de la série entière de coefficients {u_n=\int_0^1t^n/(1+t^2)\,dt}.

c) Calculer sa somme {S(x)} pour {|x|\lt R}.

d) Étudier la limite de {S} en {-R}.

a) Justifier l’intégrabilité de chaque {f_n}.

b) Déterminer {\lim I_n}.

c) Étudier {\sum\limits I_n} et {\sum\limits(-1)^nI_n}. On pourra majorer {\cosh x} par {e^x}.

d) Calculer le rayon de convergence de la série entière de coefficients {I_n}.

a) Montrer que {f} est prolongeable par continuité en {1}.

b) Montrer que {I=\int_0^1f(t)\,dt} converge.

c) Montrer que {f} est développable en série entière et calculer le rayon.

d) Calculer {I}.

Préciser le rayon et calculer la somme {\sum\limits_{n\ge0}(n^2+n+1)x^n}.

Pour {n\in\mathbb{N}}, poser {a_n=\int_0^1((1+t^2)/2)^n\,dt}.

Étudier sa convergence et celle de {\sum\limits(-1)^na_n}.

Déterminer le rayon de {f(x)=\sum\limits a_nx^n}.

Montrer {(2n+3)a_{n+1}=1+(n+1)a_n}, puis trouver une équation différentielle satisfaite par {f}.

Soit {(a_n)} complexe avec {\sum\limits|a_n|\lt \infty}.

Montrer {\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,dt=n!}.

Déterminer le rayon de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n/n!}, puis montrer {\int_0^{+\infty}f(x)e^{-x}\,dx=\sum\limits_{n\ge0}a_n}.

Soit {u_0=3} et {u_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk u_ku_{n-k}}.

Montrer {0\le u_n\le4^{n+1}n!}.

Pour {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}u_nx^n/n!}, montrer {f'=f^2} sur {]-1/4,1/4[}, puis expliciter {u_n}.

Soit {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}\frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n+1)}x^{2n+1}}.

Préciser son rayon, montrer qu’elle satisfait une équation différentielle d’ordre un, développer {\arcsin x} à partir de sa dérivée, puis en déduire {f}.

Soit {\sum\limits a_n} complexe absolument convergente.

Montrer {\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}\,dx=n!}, déterminer le rayon de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n/n!}, puis montrer {\int_0^{+\infty}f(x)e^{-x}\,dx=\sum\limits_{n\ge0}a_n}.

Soit {S=\left\{y\in C^2(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R}_+^\star): 4xy''(x)+2y'(x)-y(x)=1\text{ pour }x>0\right\}}.

Donner la structure algébrique de {S} et trouver ses solutions développables en série entière au voisinage de zéro.

Déterminer l’intervalle de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\ge1}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)(2n-1)}}.

a) Justifier l’intégrale et donner son signe.

b) Variations de {(I_n)} ?

c) Convergence et limite ?

d) Montrer {(n+1)I_n+I_{n-1}=e^{-1}} pour {n\ge1}.

e) Équivalent de {I_n} ?

f) Nature de {\sum\limits I_n} et {\sum\limits(-1)^nI_n} ?

g) Rayon de {\sum\limits I_nx^n} ?

h) Pour {|x|\lt 1}, montrer que {\sum\limits g_n} converge normalement sur {[0,1]}, où {g_n(t)=e^{-1/t}t^nx^n} pour {t\ne0}, {g_n(0)=0}.

i) Écrire {g(x)=\sum\limits I_nx^n} sous forme d’intégrale.

a) Déterminer les rayons.

b) Montrer que {g} est définie et continue sur {[-1,1[}.

c) Relier {(1-x)f(x)} et {g(x)} pour {|x|\lt 1}.

d) Montrer que {f} est continue sur {]-1,1[} et prolongeable en {-1}.

e) Équivalents de {g} puis {f} en {1^-} ?

a) Calculer son développement limité d’ordre {2} en zéro.

b) Donner {f^{(n)}(0)} pour {n=0,1,2}.

c) Soit {u_0=1}, {u_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom nk u_k}.

Calculer {u_1,u_2} et montrer {0\le u_n\le n!}.

d) Pour {g(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(u_n/n!)x^n}, montrer que son rayon {R} est non nul.

e) Justifier sa dérivabilité et montrer {g'=e^xg} sur {]-R,R[}.

f) En déduire {g=f} sur cet intervalle.

a) Donner le rayon et le domaine de {\sum\limits_{n\ge0}x^n/((3n+1)(3n+2))}.

b) Calculer {\alpha_n=\int_0^1(1-t)t^{3n}\,dt}.

c) Calculer {\sum\limits_{n=0}^{N-1}\alpha_n} de deux façons et en déduire {\sum\limits_{n=0}^{N-1}\frac1{(3n+1)(3n+2)}=\int_0^1\frac{1-t^{3N}}{1+t+t^2}\,dt}.

d) Montrer {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac1{(3n+2)(3n+3)}=\int_0^1\frac{dt}{1+t+t^2}}.

e) Calculer cette dernière intégrale {I}.

a) Justifier et calculer {I_{n,k}}.

b) Rayon {R} de {\sum\limits a_nx^n} ?

c) Nature de {\sum\limits a_n/e^n} et {\sum\limits a_n/(-e)^n} ?

d) Montrer que, pour {|x|\lt R}, {\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_nx^n=\int_0^{+\infty}\frac{tx}{e^t-tx}\,dt}.

1) Calculer son module et un argument.

2) Montrer que {e^x\cos x} est développable en série entière sur {\mathbb{R}}.

3) En écrivant {e^x\cos x=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n/n!}, montrer {a_n\in\mathbb{N}}.

1) Montrer {R'\geq\max(1,R)}.

2) Si {R'>1}, montrer {R'=R}.

3) En déduire {R'=\max(1,R)}.

1) Étudier la suite.

2) Déterminer le rayon de {\sum\limits u_nx^n}.

3) Déterminer son domaine réel de convergence.

1) Étudier la convergence de {(a_n)} et sa limite.

2) Montrer que {\sum\limits(-1)^na_n} converge.

3) Montrer {a_n\geq1/(2n+1)}.

4) Déterminer le rayon {R}.

5) Montrer {(2n+2)a_{n+1}=1+(n+1)a_n}.

6) Déterminer une équation différentielle satisfaite par {f}.

1) Montrer la stricte positivité.

2) Étudier la monotonie.

3) Montrer que {\sum\limits(a_{n+1}-a_n)} diverge et déterminer la limite de {a_n}.

4) Déterminer le rayon de {S(x)=\sum\limits a_nx^n}.

5) Montrer que {S} satisfait {(x-1)y'+(x+1)y=0} et l’expliciter.

6) Montrer {a_n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k(n-k+1)/k!}.

7) Donner un équivalent de {a_n}.

1) Montrer son existence.

2) Développer {\ln(1-t^2)} en série entière et préciser le rayon.

3) Pour {f_n(t)=-(2/n)t^{2n-2}\ln t}, montrer {\int_0^1f_n=2/[n(2n-1)^2]}.

4) Justifier l’intégration de {\sum\limits f_n} et en déduire une série pour {I}.

5) Décomposer {1/[n(2n-1)^2]=a/n+b/(2n-1)+c/(2n-1)^2}.

6) Montrer {\sum\limits_{n\geq1}(1/n-2/(2n-1))=2\sum\limits_{n\geq1}(-1)^n/n}.

7) En admettant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}, montrer {I=-4\ln2+\pi^2/2}.

1) Montrer que {f} se prolonge continûment en un.

2) Développer {g(t)=f(1-t)} en série entière en zéro et donner son rayon.

3) Calculer {I}, en admettant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}.

Soit {\theta\in\mathbb{R}}.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\geq0}\sin^2(n\theta)x^n/n!}.

a) Montrer que {f} est développable en série entière.

b) Montrer que {f'+2xf=1}.

c) Calculer son développement en série entière.

a) Calculer {a_0,a_1}.

b) Montrer que {0\leq a_n\leq1} et que {(a_n)} décroît.

c) Pour {n\geq1}, montrer que {a_n=\frac1n\int_0^1u^{1/n}/(1+u)\,du}.

d) Montrer que l’intégrale précédente tend vers {\ln2}.

e) Déterminer le domaine de définition de {f}.

f) Montrer que {f} est continue sur {[-1,1[}.

a) Trouver une équation différentielle d’ordre deux vérifiée par {f}.

b) Montrer qu’il existe une unique solution développable en série entière telle que {y(0)=1} et {y'(0)=\lambda}.

c) Montrer que {f} est développable et donner son développement.

a) Déterminer la limite de {(H_n)}.

b) Calculer le rayon de convergence et la somme de {\sum\limits_{n\geq1}H_nx^n}.

a) Calculer le rayon de convergence de {\sum\limits_{n\geq1}x^n/n^2}.

b) Montrer que {\sum_{n=0}^N(-1)^nu_n =\int_0^1\frac{\sin(\pi x)}{1+x}\,dx-v_N,}en exprimant {v_N} par une intégrale.

c) En déduire la somme de {\sum\limits(-1)^nu_n}.

d) Trouver {a,b\in\mathbb{R}} tels que {u_{n+2}=a-b(n+2)(n+1)u_n}.

e) Déterminer le domaine de définition de {f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_nx^n}.

a) Déterminer {\varphi^{(n)}(0)} pour {0\leq n\leq3}.

b) Soit {p_0=1} et {p_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom nkp_k}.

Calculer {p_1,p_2,p_3} et montrer que {p_n\leq n!}.

c) Soit {f(x)=\sum\limits_{n\geq0}(p_n/n!)x^n}.

Montrer que son rayon est non nul. En admettant {f'=e^xf} sur {]-1,1[}, montrer que {\varphi^{(n)}(0)=p_n}.

d) Démontrer l’identité {f'=e^xf}.

Étudier la convergence et calculer la somme de {\sum\limits_{n\ge0}n(-1)^nx^n}.

Soient {a_n=\int_0^1t^n/(1+t^n)\,dt} et {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n} lorsque la série converge.

Calculer {a_0,a_1}, montrer {0\le a_n\le1} et la décroissance de {a_n}.

Pour {n\ge1}, montrer {a_n=\frac1n\int_0^1u^{1/n}/(1+u)\,du} et que l’intégrale tend vers {\ln2}.

Déterminer le domaine de {f} et montrer sa continuité sur {[-1,1[}.

Soit {F(x)=\int_0^1\ln(1+xt)/t\,dt} et {D} son domaine.

Montrer {]-1,1[\subset D}, développer {F} en série entière près de zéro, montrer {F\in C^1([0,1[)} et exprimer simplement {F'}. Proposer une autre méthode pour cette dérivée.

Poser {I_n=\int_1^et(\ln t)^n\,dt} et {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}I_nx^n}.

Montrer l’existence, calculer {I_0,I_1}, étudier les variations de {I_n}, puis montrer {2I_{n+1}=e^2-(n+1)I_n} et {e^2/(n+3)\le I_n\le e^2/(n+2)}.

Donner un équivalent, le rayon, le domaine de {f}, et montrer {f(x)=\int_1^et/(1-x\ln t)\,dt} pour {|x|\lt 1}.

Soit {E_r} l’espace des fonctions développables en série entière sur {]-r,r[}, à valeurs complexes. Pour {f\in E_r}, poser {T(f)(x)=\int_0^xf(t)/(x+t)\,dt} si {x\ne0} et {T(f)(0)=f(0)\ln2}.

Montrer {T(f)(x)=\int_0^1f(xu)/(1+u)\,du}, puis {T(f)\in E_r}.

Rayon de convergence et somme de {\sum\limits_{n\ge1}\frac{\cosh n}{n}x^n}.

Soit {\theta\in\mathbb{R}}, {a_n=e^{n\theta}} et {b_n=\sum\limits_{k=0}^ne^{k\theta}}.

Donner rayons et sommes de {\sum\limits a_nx^n} et {\sum\limits b_nx^n}.

a) Montrer {\ln(1+x)=\sum\limits_{n\ge1}(-1)^{n+1}x^n/n} pour {-1\lt x\le1}.

b) Calculer {\sum\limits_{n\ge0}x^{2n+1}/(2n+1)}, en précisant domaine et convergence au bord.

c) Même question pour {\sum\limits_{n\ge0}x^{2n+2}/(2n+2)}.

a) Limite ponctuelle de {\cos^nt} ?

b) Montrer {u_n\to0}.

c) Montrer {u_{n+2}=(n+1)u_n/(n+2)} par intégration par parties.

d) Montrer {u_{2n+1}\ne0} et donner le rayon de {g(x)=\sum\limits_{n\ge0}u_{2n+1}x^{2n+1}}.

e) Montrer {(x^2-1)g''+3xg'+g=0} sur {]-1,1[}.

f) Montrer {g(x)=\int_0^{\pi/2}x/(1-x\cos t)\,dt}.

1) Montrer que c’est un sous-espace vectoriel.

2) Déterminer {S_1} et {S_0}.

3) Montrer que {\varphi(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\lambda^{n(n-1)/2}x^n/n!} est définie sur {\mathbb{R}} et appartient à {S_\lambda}.

4) Pour {f\in S_\lambda}, montrer {f\in C^\infty} et {f^{(n)}(x)=\lambda^{n(n-1)/2}f(\lambda^nx)}.

5) Si {f(0)=0}, montrer {f=0}.

6) Déterminer {S_\lambda}.