a) Soit {A=\begin{pmatrix}0&a\\[4pt]b&0\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{R})}.

Montrer que {A} est diagonalisable sur {\mathbb{R}} si et seulement si {ab>0} ou {a=b=0}.

b) Soit {n} pair et {A\in M_n(\mathbb{R})} la matrice antidiagonale définie par {A_{n+1-j,j}=a_j} pour {1\leq j\leq n}, tous les autres coefficients étant nuls.

Déterminer un espace de dimension {2} stable par {A}.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur {(a_1,\ldots,a_n)} pour que {A} soit diagonalisable.

a) Que vaut le rang de {A} ?

b) Calculer {V^TU} et {A^2}.

c) La matrice {A} est-elle diagonalisable ?

d) Si {a\ne0}, déterminer les sous-espaces propres de {A}.

Soient {E} de dimension finie, {(x_0,y_0)} une famille libre, {u,v} deux formes linéaires sur {E}, et {f(x)=u(x)x_0+v(x)y_0}.

Déterminer les éléments propres de {f}.

a) Montrer que toute valeur propre non nulle de {u\circ v} est valeur propre de {v\circ u}.

b) Sur {E=\mathbb{R}[X]}, prendre {u(P)=P'} et {v(P)=\int_0^X P}.

Calculer {\ker(u\circ v)} et {\ker(v\circ u)}.

Qu’en déduire ?

c) Montrer que le résultat de a) est aussi valable pour {\lambda=0} lorsque {E} est de dimension finie.

a) Calculer son polynôme caractéristique.

b) Est-elle diagonalisable ?

c) Quel est son polynôme minimal ?

a) {A} est-elle diagonalisable ?

b) Déterminer ses éléments propres.

c) Calculer son déterminant.

a) Montrer que {1} est valeur propre de {A}.

b) Montrer que {\lVert AX\rVert_\infty\leq\lVert X\rVert_\infty} pour tout {X\in\mathbb{C}^n}.

c) En déduire que toute valeur propre {\lambda} vérifie {|\lambda|\leq1}.

d) Montrer que l’ensemble de ces matrices est convexe et stable par produit.

a) Montrer que {\varphi} est un endomorphisme ; déterminer noyau et image.

b) Étudier ses éléments propres et sa diagonalisabilité.

a) Montrer que {\operatorname{Im}(\operatorname{tr})=\mathbb{R}}, déterminer {\dim\ker(\operatorname{tr})} et montrer que {E=\ker(\operatorname{tr})\oplus\operatorname{Vect}(I_n)}.

b) Montrer que {f(M)=M+\operatorname{tr}(M)I_n} est diagonalisable.

c) Soit {J\ne0} de trace nulle et {g(M)=M+\operatorname{tr}(M)J}.

Montrer que {X^2-2X+1} annule {g}.

L’endomorphisme {g} est-il diagonalisable ?

Soient {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, {\dim E=3} et {f\in\mathcal L(E)} tel que {f^2\ne0} et {f^3=0}.

Montrer que, dans une certaine base, la matrice de {f} est {\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}.

Soit {M=CL}, où {C=(a_1,\ldots,a_n)^T} et {L=(a_1,\ldots,a_n)}. Selon que le corps est {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, étudier la diagonalisabilité de {M}.

a) Pour {J=M(0,1,0,\ldots,0)}, déterminer les éléments propres.

b) Montrer que chaque matrice circulante est un polynôme en {J}.

Est-elle diagonalisable ?

c) Montrer que {T} est une sous-algèbre et donner sa dimension.

a) Trouver un polynôme annulateur de degré {4}.

En déduire une propriété de {A} et préciser son spectre possible.

b) Si {0} n’est pas valeur propre de {A}, montrer que {A-I_n} est inversible et que {A} est symétrique.

Pour {a,b,c>0}, déterminer les valeurs propres et espaces propres de {M=\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\[4pt]a/b&1&c/b\\[4pt]a/c&b/c&1\end{pmatrix}}.

Soient {A=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}, {C=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}. Dire si {A} est diagonalisable ; montrer qu’aucune matrice {B} ne satisfait {B^2=A}, en trouvant un annulateur simple ; montrer que {A} et {C} sont semblables.

Pour {a\ne b} réels et {n\geq0}, soit {u(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP} sur {\mathbb{C}_n[X]}.

Montrer que c’est un endomorphisme, rappeler la décomposition de {P'/P}, puis montrer sa diagonalisabilité et donner ses vecteurs propres.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, montrer que {A+I/k} est inversible pour tout entier {k} assez grand, puis que {\chi_{AB}=\chi_{BA}}.

Soit {u} diagonalisable sur un espace complexe de dimension {n}, avec base propre {e_i} et valeurs propres {\lambda_i}. Sans utiliser Cayley-Hamilton, montrer {\chi_u(u)=0}.

Pour {x=\sum\limits x_ie_i}, calculer {\det_e(x,ux,\ldots,u^{n-1}x)}.

Une matrice de {M_n(\mathbb{K})} admet-elle toujours une valeur propre ? Si {A\in M_n(\mathbb{R})} satisfait {A^2+A+I=0}, que dire de ses spectres réel et complexe ?

Localiser les racines réelles de {X^3-X-1}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, donner {\chi_A(0)} et les limites de {\chi_A} aux infinis.

Si {A^3=A+I}, montrer {\det A>0}.

Soient {A\in M_n(\mathbb{C})} et {B=A^3+A+I}.

Si {A} est diagonalisable à valeurs propres réelles, montrer que {A} est un polynôme en {B}.

Cela reste-t-il vrai pour des valeurs propres complexes ?

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} avec {A^2+A^T=I}.

Montrer que toute matrice et sa transposée ont même spectre.

Montrer {A} inversible si et seulement si {1\notin\operatorname{Sp}A}.

Montrer que {X^4-2X^2+X} annule {A} ; est-elle diagonalisable ?

Pour une matrice réelle {A} fixée, soit {\Phi(M)=\operatorname{tr}(M)A-M^T}.

Est-ce un automorphisme ?

Est-elle diagonalisable ?

Donner ses valeurs propres et espaces propres.

Soient {\lambda,\mu\in\mathbb{C}^\star} et {M,A,B\in M_n(\mathbb{C})}, avec {A+B=I}, {M=\lambda A+\mu B}, {M^2=\lambda^2A+\mu^2B}.

Calculer {M^2-(\lambda+\mu)M+2\lambda\mu I} ; montrer l’inversibilité de {M} et calculer son inverse ; montrer que {A,B} sont des projecteurs ; étudier la diagonalisabilité et le spectre de {M}.

Pour {u\in\mathcal L(E)} en dimension finie, soit {\Phi_u(v)=uv} sur {\mathcal L(E)}.

Déterminer ses éléments propres et montrer que {\Phi_u} est diagonalisable si et seulement si {u} l’est.

Si {M\in M_2(\mathbb{Z})} vérifie {M^n=I} pour un {n\geq1}, montrer que {M^{12}=I}.

Soient {A\in M_n(\mathbb{R})} et {B=\begin{pmatrix}A&A\\[4pt]0&A\end{pmatrix}}.

Montrer {P(B)=\begin{pmatrix}P(A)&AP'(A)\\[4pt]0&P(A)\end{pmatrix}}, puis caractériser les {A} pour lesquelles {B} est diagonalisable.

À un polygone complexe {(z_1,\ldots,z_n)}, {n\geq3}, associer {U(z)=((z_1+z_2)/2,\ldots,(z_n+z_1)/2)}.

Programmer {U}, donner sa matrice {M}, montrer que ses valeurs propres ont module au plus un et que un est la seule de module un.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} et l’équation {AM=MB}.

Si elle possède une solution non nulle, montrer {P(A)M=MP(B)} pour tout polynôme, puis que {A,B} ont une valeur propre commune.

Démontrer la réciproque.

Pour {u} réel, soient {\lambda_i} ses valeurs propres réelles distinctes et {P=\prod\limits_i(X-\lambda_i)}.

Caractériser sa diagonalisabilité avec {P}. Sur {\mathbb{R}^7}, est-il possible que {Q=(X-1)(X^2+1)} annule {f} et {\operatorname{tr}f=0} ?

Si {Q(g)=0}, calculer {\det g}.

Soit {\varphi(M)=M+\operatorname{tr}(M)I} sur {M_n(\mathbb{R})}.

Montrer sa linéarité, étudier sa diagonalisabilité, donner des bases propres, sa trace, son déterminant et son inverse.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, soit {\varphi(M)=AM}.

Caractériser la diagonalisabilité de {\varphi} avec {A} et décrire ses éléments propres.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, montrer l’équivalence entre sa diagonalisabilité et : pour tout {P\in\mathbb{C}[X]}, {P(A)} est nilpotente si et seulement si {P(A)=0}.

Soit {a\ne0} réel et {U=(a^{j-i})_{1\leq i,j\leq n}}.

Déterminer rang, déterminant, noyau, image, diagonalisabilité, puissances {U^k} et polynôme minimal.

Soit {A=\begin{pmatrix}-1&1\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}}.

Si {e^M=A}, montrer que {M} a une seule valeur propre de la forme {ik\pi}, préciser {k}, montrer que {M} est triangulaire supérieure et déterminer toutes les solutions.

Soit {M_t=\begin{pmatrix}\cosh t&\sinh t\\[4pt]\sinh t&\cosh t\end{pmatrix}}.

Trouver une base propre indépendante de {t} ; montrer l’injectivité de {t\mapsto M_t} et {M_{t+t'}=M_tM_{t'}}.

Pour {J=\operatorname{diag}(1,-1)}, relier la conservation de {x^2-y^2} à {M^TJM=J}, et déterminer toutes les matrices satisfaisant cette équation.

Soit {A=\frac17\begin{pmatrix}-1&4&4&4\\[4pt]4&5&-2&-2\\[4pt]4&-2&5&-2\\[4pt]4&-2&-2&5\end{pmatrix}.}Calculer {A^TA}, trouver sans {\chi_A} ses valeurs propres et multiplicités, puis {\pi_A,\chi_A}, une diagonalisation orthogonale et son commutant.

Trouver une base orthonormée de diagonalisation de {A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\[4pt]-1&1&-1\\[4pt]1&-1&1\end{pmatrix}}.

Si {A=(a_{ij})} est symétrique réelle et {A^{2022}=A^{2024}}, montrer {\sum\limits_{i,j}a_{ij}^2=\operatorname{rg}A}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {A^2+A^T=I}.

Trouver un annulateur de degré au plus quatre et en déduire des propriétés spectrales.

Si zéro n’est pas valeur propre, montrer {A-I} inversible et {A} symétrique.

Pour {n=3}, montrer que {\operatorname{tr}A\ne0}.

Pour {a,b\in\mathbb{R}}, calculer {\lim_{n\to\infty}\begin{pmatrix}\cos(a/n)&\sin(b/n)\\[4pt]\sin(b/n)&\cos(a/n)\end{pmatrix}^n}.

Pour {X\in\mathbb{R}^n}, montrer {\det(I+XX^{\mathsf T})=1+X^{\mathsf T}X}.

Pour {A=\begin{pmatrix}1&0&a\\[4pt]0&2&0\\[4pt]0&0&a\end{pmatrix}}, discuter inversibilité et diagonalisation réelles selon {a}.

Pour {A=\begin{pmatrix}1&a&a\\[4pt]-1&1&-1\\[4pt]-1&0&2\end{pmatrix}}, calculer le caractéristique et discuter la diagonalisation réelle.

a) Calculer {MM^{\mathsf T}} et le déterminant.

b) Donner le rang selon que {a^2+b^2+c^2+d^2} est nul ou non.

c) Étudier la diagonalisation complexe.

a) Montrer la linéarité.

b) Donner un critère de bijectivité.

c) En cas de non-bijectivité, montrer que c’est un projecteur.

d) Étudier la diagonalisation.

a) Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si chaque sous-espace possède un supplémentaire stable.

b) Sur {\mathbb{C}}, montrer la même équivalence en ne demandant cela que pour les sous-espaces stables.

c) Que devient b) sur {\mathbb{R}} ?

a) Montrer que c’est un endomorphisme ; est-il bijectif ?

b) Donner l’espace propre de {0}.

c) Montrer que les {P_k=\prod\limits_{i\ne k}(X-x_i)} sont propres.

d) Étudier la diagonalisation.

Sur les suites réelles, poser {(Tu)_n=(n+1)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nu_k}.

Déterminer les éléments propres.

a) Calculer {u_i^2}, {f^2} et {f^p}.

b) Montrer la diagonalisation de {f}.

a) Montrer sa diagonalisation complexe.

b) Pour ses valeurs propres {\alpha,\beta}, montrer {|\alpha|=|\beta|=1}, {\alpha=\overline\beta}, {|\operatorname{Re}\alpha|\in\left\{0,1/2,1\right\}}.

c) Montrer {A^{12}=I}.

d) Montrer que les puissances de {A} forment un groupe cyclique.

a) Relier les valeurs propres aux racines d’un annulateur.

b) Si {M} est symétrique, montrer sa diagonalisation et {\operatorname{tr}(M)\det(M)\ne0}.

c) Sinon, montrer encore sa diagonalisation.

d) Montrer {M} inversible exactement si {1} n’est pas valeur propre.

a) Montrer que des matrices semblables ont des commutants de même dimension.

b) Si {A} est diagonalisable, montrer {\dim C(A)=\sum\limits_{\lambda\in\operatorname{Sp}A}m(\lambda)^2}.

a) montrer {\operatorname{Sp}N=\operatorname{Sp}N^{\mathsf T}} ;

b) montrer {UV^{\mathsf T}\ne0} pour des colonnes non nulles ;

c) montrer que {\alpha+\beta} est valeur propre pour {\alpha\in\operatorname{Sp}A}, {\beta\in\operatorname{Sp}B} ;

d) si {\Phi(M)=\lambda M}, {M\ne0}, montrer {P(A)M=MP(\lambda I-B)} et en déduire {\lambda=\alpha+\beta}.

a) Si {AM-MB=0} impose {M=0}, montrer que toute matrice s’écrit uniquement {AN-NB}.

b) Montrer cette propriété si les spectres complexes sont disjoints.

c) Est-ce encore vrai pour des matrices réelles ?

Pour {M} de diagonale {3} et coefficients hors diagonale {-3}, en taille {3} : calculer déterminant, caractéristique et espaces propres ; montrer la diagonalisation, donner un annulateur et une matrice orthogonale de passage.

1) Soient {u,v\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} nilpotents non nuls, commutant.

Montrer {\operatorname{rg}(uv)\lt \operatorname{rg}v}.

2) Si {u_1,\ldots,u_n} sont nilpotents et commutent deux à deux, montrer {u_1\cdots u_n=0}.

1) Déterminer les valeurs propres de {J} et en déduire les valeurs propres éventuelles de {M}.

2) Trouver un polynôme annulateur de {M} et montrer qu’elle est diagonalisable.

3) Déterminer toutes les solutions {M}.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur {(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4} pour que {\begin{pmatrix}1&a&b\\[4pt]0&2&c\\[4pt]0&0&d\end{pmatrix}} soit diagonalisable.

1) Est-elle diagonalisable ?

2) Trouver {P\in GL_3(\mathbb{R})} telle que {P^{-1}A(c)P} soit triangulaire supérieure.

1) Calculer {Au}.

Que peut-on en déduire ?

2) Calculer {\det A}.

Est-elle inversible ?

3) Déterminer son spectre réel.

4) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle soit diagonalisable.

Déterminer les valeurs propres de {A\in M_n(\mathbb{R})} dont la première ligne et la première colonne ont tous leurs coefficients égaux à un, et dont les autres coefficients sont nuls.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} dont la première ligne et la première colonne sont constituées de un, et dont le bloc inférieur droit est {I_{n-1}}.

Déterminer ses valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres.

1) Pour {\lambda\in\mathbb{C}}, montrer que {P(x)=\det(\lambda I_n-A-xJ)} est un polynôme de degré au plus un.

2) En déduire {\chi_A}.

3) Étudier la diagonalisabilité de {A}.

1) Montrer que {f} est un endomorphisme.

Est-ce un automorphisme ?

2) On note {p=\deg B} et {\lambda_1,\ldots,\lambda_p} ses racines.

Montrer que zéro est valeur propre.

Si {\alpha\ne0} est une valeur propre réelle, montrer qu’il existe {i} tel que {A(\lambda_i)=\alpha}.

L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

1) Exprimer {f^ng-gf^n}.

2) En considérant {h\mapsto hg-gh}, montrer que {f} est nilpotente.

1) Est-elle inversible ?

2) Trouver un polynôme annulateur.

3) Montrer qu’elle est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

4) Donner ses sous-espaces propres.

5) Si {M} commute avec {A}, montrer que {\ker A} et {\operatorname{Im}A} sont stables par {M}.

1) Déterminer les éléments propres de {f}.

Est-il diagonalisable ?

2) Soit {C=\left\{k\in\mathbb{R}_+:\operatorname{tr}(f(M)^2)\leq k\operatorname{tr}(M^2)\text{ pour tout }M\in E\right\}}.

Montrer que {C} est non vide et déterminer son minimum.

1) Si {f^2} est inversible et diagonalisable, montrer, à l’aide d’un polynôme annulateur, que {f} est diagonalisable.

2) Si {f^2} est diagonalisable, non nécessairement inversible, et {\ker f=\ker f^2}, montrer encore que {f} est diagonalisable.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} de rang un.

Montrer qu’elle est diagonalisable si et seulement si {\operatorname{tr}A\ne0}.

1) Pour {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer qu’elle est diagonalisable et trouver ses valeurs propres.

2) Pour {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, donner un contre-exemple à la diagonalisabilité pour {n=2}.

1) {B} est-elle diagonalisable ? Indication : calculer {B^3}.

2) Calculer ses sous-espaces propres et leurs dimensions.

1) Pour {\lambda\ne0}, montrer {\lambda\in\operatorname{Sp}(MM^T)\iff\lambda\in\operatorname{Sp}(M^TM)}.

2) Montrer que les dimensions des espaces propres correspondants sont égales.

3) Relier les deux polynômes caractéristiques.

1) Montrer {\langle u(x),y\rangle=\langle x,w(y)\rangle}.

2) Si {F} est stable par {u}, montrer que {F^\perp} est stable par {w}.

3) Pour {A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\[4pt]1&0&1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}, calculer {\chi_A} et dire si {A,A^T} sont diagonalisables sur {\mathbb{R}}.

Déterminer les sous-espaces stables par {u}.

Soit {a\in\mathbb{R}}.

Calculer le polynôme caractéristique, puis étudier la diagonalisabilité de {A=\begin{pmatrix} 0&0&a\\[4pt] 1&0&0\\[4pt] 1&1&0 \end{pmatrix}.}

a) Calculer {P_2} et {P_3}.

b) Déterminer le rang de {A_n}.

En déduire que {X^{n-2}} divise {P_n}.

c) Déterminer {a,b,c} tels que {P_n=X^{n-2}(aX^2+bX+c)}.

Soit {A=(ij)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

Déterminer ses éléments propres.

a) Montrer que {f:M\mapsto M-M^T} est un endomorphisme de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

b) Déterminer son noyau et sa dimension.

Est-ce que {f} est bijectif ?

c) Calculer {f(M)} pour {M} antisymétrique.

d) Montrer que {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})=\mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \oplus\mathcal{A}_n(\mathbb{R})}.

e) Étudier la diagonalisabilité de {f}.

Soit {A\in GL_n(\mathbb{R})}.

Exprimer {\chi_{A^{-1}}} à l’aide de {\chi_A}.

a) Montrer que {\operatorname{Im}(u^2+\mathrm{id})\subset\ker u}.

b) En déduire que {\mathbb{R}^3=\ker(u^2+\mathrm{id})\oplus\ker u}.

c) Montrer que {0} est la seule valeur propre réelle possible de {u}.

En déduire que les deux noyaux précédents sont non nuls.

d) Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de {u} est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}.

a) La matrice {A} est-elle diagonalisable ?

Déterminer ses éléments propres.

b) Déterminer une matrice {R} telle que {R^2=A}.

c) Montrer que toutes les matrices {R} telles que {R^2=A} sont diagonalisables.

a) Montrer que {f} est un endomorphisme.

Déterminer son noyau.

b) Est-il diagonalisable ?

Quelle est sa trace ?

a) Montrer que {u} est un endomorphisme de {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}.

b) Trouver un polynôme annulateur de degré deux.

c) Déterminer les éléments propres de {u}.

d) Calculer {\det u} et {\operatorname{tr}u}.

a) Montrer que {Z_u} est un espace vectoriel.

b) Montrer que chaque {E_k(u)} est stable par tout {v\in Z_u}.

c) Déterminer les dimensions des {E_k(u)}.

d) Montrer que tout vecteur propre de {u} est vecteur propre de tout {v\in Z_u}.

e) Montrer qu’il existe une base {\mathcal{B}} telle que {v\in Z_u} si et seulement si {\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}v} est diagonale.

f) Déterminer {\dim Z_u}.

g) Montrer que {(\mathrm{id},u,\ldots,u^{n-1})} est libre et en déduire une base de {Z_u}.

a) Montrer que les valeurs propres de {A} sont des racines de {P}.

b) Peut-on avoir simultanément {\operatorname{tr}A=0} et {A^2+A^T=I_3} ?

Déterminer rang, image et noyau, puis diagonaliser {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1&0\\[4pt]1&0&0&0&1\\[4pt]1&0&0&0&1\\[4pt]1&0&0&0&1\\[4pt]1&1&1&1&0\end{pmatrix}.}

Pour {a\in\mathbb{R}}, soit {f:P\in\mathbb{R}_n[X]\mapsto(X-a)P'+P-P(a)}.

Déterminer son noyau, son image et ses éléments propres.

Soit {T=\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\[4pt]0&0&1&0&0\\[4pt]0&0&1&0&0\\[4pt]0&0&1&0&0\\[4pt]0&0&1&0&0\end{pmatrix}.}Préciser son rang et ses valeurs propres sans calculer son polynôme caractéristique.

Est-elle diagonalisable ?

Sur {\mathbb{C}_n[X]}, poser {T(P)=(X-1)^nP(X/(X-1))}.

Montrer que {T} est un endomorphisme et déterminer s’il est diagonalisable.

Soient {E} de dimension finie et {u\in L(E)} vérifiant {u^3=(u^2+u+\operatorname{id})/3}.

Montrer que {u} est bijectif, puis que chaque {u^n} est combinaison linéaire de {u^2,u,\operatorname{id}}.

Est-il diagonalisable ?

1) Montrer que {\det A\ge0} est nécessaire.

2) Pour {A=\begin{pmatrix}2+a&2&1+a\\[4pt]3-a&3&3-a\\[4pt]-2&-2&-1\end{pmatrix},}calculer le déterminant et une condition nécessaire sur {a}. On suppose ensuite {a\ge0}.

Calculer {\chi_A} et ses éléments propres, en distinguant {a=1} et {a=3}.

Montrer {A=PDP^{-1}} avec {D} diagonale.

Pour {a\notin\left\{1,3\right\}}, montrer que {M^2=D} implique {MD=DM}, déterminer tous les {M}, vérifier {M^2=D\Longleftrightarrow(PMP^{-1})^2=A}, puis en déduire tous les {B}.

Soit le système {u_{n+1}=u_n-2v_n-w_n}, {v_{n+1}=-u_n+v_n-w_n}, {w_{n+1}=-u_n-2v_n+w_n}, et {X_n=(u_n,v_n,w_n)^T}.

Trouver {A} telle que {X_{n+1}=AX_n} et exprimer {X_n} en fonction de {X_0}. {A} est-elle diagonalisable ?

Trouver {P} telle que {P^{-1}AP} soit triangulaire supérieure.

Expliciter {u_n,v_n,w_n}.

Soient {f,g\in L(E)}, {E} de dimension finie sur {\mathbb{K}}, tels que {f^2=g^2=\operatorname{id}} et {fg+gf=0}.

Montrer qu’ils sont des automorphismes diagonalisables de spectre {\left\{-1,1\right\}}, que {g} induit un isomorphisme de {\ker(f-I)} dans {\ker(f+I)}, et que {\dim E=2n}.

Montrer l’existence d’une base où les matrices sont respectivement {\begin{pmatrix}I_n&0\\[4pt]0&I_n\end{pmatrix}} et {\begin{pmatrix}0&I_n\\[4pt]-I_n&0\end{pmatrix}}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} non nulle telle que {A^3+9A=0}.

Montrer {\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)\subset\left\{0,3i,-3i\right\}}.

Discuter la diagonalisabilité sur {\mathbb{C}} et sur {\mathbb{R}}.

Si {n} est impair, montrer que {A} n’est pas inversible.

Montrer que {A} n’est pas symétrique.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} de même polynôme caractéristique {P}.

Montrer que si {P} a {n} racines distinctes, {A} et {B} sont semblables.

Montrer que sinon on ne peut rien conclure en général.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} de spectres disjoints.

Montrer que {\chi_A(B)} est inversible.

Si {AM=MB}, montrer {A^kM=MB^k}, puis {P(A)M=MP(B)} pour tout polynôme, et en déduire {M=0}.

Que conclure, en général, de l’existence d’un {M\ne0} tel que {AM=MB} ?

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} telle que {M^2+M+I=0}.

Est-elle diagonalisable et inversible ?

Montrer que {n} est pair, puis déterminer son déterminant et sa trace.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {A^2-5A+6I=0}.

Rappeler deux critères nécessaires et suffisants de diagonalisabilité.

Justifier que {A} est diagonalisable, de valeurs propres racines de {X^2-5X+6}, et soit {D} diagonale semblable à {A}.

Montrer que {f(M)=DM+MD} est un endomorphisme diagonalisable (indication : utiliser des blocs), puis faire de même pour {g(M)=AM+MA}.

Soit {f} sur un espace réel {E} de dimension {n\ge1}, admettant {n} valeurs propres distinctes {\lambda_1,\ldots,\lambda_n}.

Montrer que {P\mapsto(P(\lambda_1),\ldots,P(\lambda_n))} est un isomorphisme de {\mathbb{R}_{n-1}[X]} sur {\mathbb{R}^n}.

Si {gf=fg}, montrer que les espaces propres de {f} sont stables par {g}, que tout vecteur propre de {f} l’est de {g}, puis qu’il existe une base propre commune et un unique {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]} tel que {g=P(f)}.

Montrer que le commutant de {f} est un sous-espace et donner sa dimension.

Pour {\alpha\in\mathbb{R}^\star}, soit {A=(\alpha^{i+j-2})_{1\le i,j\le n}}.

Montrer qu’elle est diagonalisable, déterminer son rang et ses valeurs propres.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} antisymétrique de spectre complexe réel.

Montrer que ce spectre est inclus dans {\left\{0\right\}}, donner {\chi_A}, montrer {(A^TA)^n=0}, puis {A^TA=0}, et déterminer les solutions.

Montrer que l’ensemble des matrices trigonalisables de {M_n(\mathbb{R})} est fermé.

Étudier la diagonalisabilité de {A=\begin{pmatrix}a&0&b\\[4pt]0&a+b&0\\[4pt]b&0&a\end{pmatrix}} pour {(a,b)\in\mathbb{C}^2}.

Soit {M\in M_{2n+1}(\mathbb{R})} dont la dernière ligne et la dernière colonne sont constituées de {1}, tous les autres coefficients étant nuls.

Montrer que {M} est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

a) Déterminer {\ker f} et {\operatorname{Im}f}.

b) Déterminer ses éléments propres.

a) Trouver un annulateur de degré {3}.

b) {M} est-elle inversible ? diagonalisable ?

c) Montrer que les valeurs propres de {M^2} sont négatives ou nulles.

a) Montrer que {\operatorname{Sp}(A)\subset\left\{0,3i,-3i\right\}}.

b) {A} est-elle diagonalisable sur {\mathbb{C}} ?

c) Sur {\mathbb{R}} ?

a) Quelles sont ses valeurs propres ?

b) Est-elle diagonalisable ?

c) Déterminer {\dim\ker A}. Soit {\Phi\in L(M_3(\mathbb{R}))} définie par {\Phi(M)=AMA}.

d) Déterminer ses valeurs propres.

e) Est-elle diagonalisable ?

f) Quelle est son image ?

a) Est-elle diagonalisable ?

b) Déterminer son rang.

c) Montrer que {M_{-1}=P\Delta P^{-1}} pour un {P} inversible, où {\Delta=\operatorname{diag}(0,1,4)}.

d) Montrer l’équivalence entre l’existence de {A^2=M_{-1}} et celle de {B^2=\Delta}.

e) Si {B^2=\Delta}, montrer que {B\Delta=\Delta B}.

f) Déterminer les {B} tels que {B^2=\Delta}.

g) En déduire les {A} tels que {A^2=M_{-1}}.

a) Montrer que {\varphi} est un endomorphisme.

b) Donner sa matrice {A} dans la base canonique.

c) Montrer qu’il est diagonalisable, préciser ses valeurs et espaces propres.

d) {A} est-elle inversible ?

Donner son inverse le cas échéant.

a) Montrer que {\Phi} est un endomorphisme et déterminer sa matrice {A} dans la base canonique.

b) Montrer que {\Phi^2(1)=2+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\binom nk(-1)^kX^k}.

c) Expliciter {A^2} et vérifier qu’elle est triangulaire.

d) En déduire le noyau et l’image.

e) Montrer que {\lambda\in\operatorname{Sp}(A)} entraîne {\lambda^2\in\operatorname{Sp}(A^2)}.

f) Montrer que, si {\lambda\in\operatorname{Sp}(A^2)}, au moins une de ses racines carrées est valeur propre de {A}.

g) Déterminer le spectre de {\Phi}.

h) En déduire que {\Phi} est diagonalisable.

a) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {(a,b)\in\mathbb{R}^2} pour que {\begin{pmatrix}0&a\\[4pt]b&0\end{pmatrix}} soit diagonalisable sur {\mathbb{R}}.

b) Soit {A\in M_{2p}(\mathbb{R})} dont l’antidiagonale vaut {\alpha_1,\ldots,\alpha_{2p}}, les autres coefficients étant nuls.

i) Écrire {A}.

ii) Montrer que {E_i=\operatorname{Vect}(e_i,e_{2p+1-i})}, {1\le i\le p}, est stable.

iii) Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si toutes les restrictions à {E_i} le sont.

iv) En déduire une condition sur les {\alpha_i}.

a) Si {\chi} possède {n} racines réelles distinctes, montrer que {A,B} sont semblables.

b) Trouver deux matrices de même polynôme caractéristique non semblables.

a) Montrer que si {U,V} sont semblables, {R(U),R(V)} le sont pour tout polynôme {R}.

b) Exprimer {P(M)} avec {P(A),P'(A),B}.

c) Si {A} est diagonalisable et {B=0}, montrer que {M} l’est.

d) Réciproque ?

a) Expliciter {M^k} pour {k\in\mathbb{N}}.

b) Exprimer {P(M)}.

c) Si {M} est diagonalisable, montrer que {A} l’est.

d) Étudier la réciproque si {A} est inversible.

e) Si {A} n’est pas inversible et {M} est diagonalisable, montrer que {A=0}.

a) Diagonaliser {\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}.

b) Si {A} est diagonalisable, diagonaliser {B}.

a) Montrer que tout annulateur de {A} s’annule sur ses valeurs propres.

b) Montrer que {P(A)U=UP(B)} pour tout polynôme {P}.

c) Montrer que {\operatorname{Sp}(A)\cap\operatorname{Sp}(B)\ne\varnothing}.

a) Si {u} est diagonalisable, montrer que {u^2} l’est.

b) Donner un contre-exemple à la réciproque.

c) Pour {\lambda\ne0}, montrer que {\ker(u^2-\lambda^2I)=\ker(u-\lambda I)\oplus\ker(u+\lambda I)}.

d) Montrer la réciproque de a) si {u} est bijectif.

a) Justifier l’existence d’un vecteur propre {X}.

b) Pour un tel {X}, on pose {B=\begin{pmatrix}A&XX^T\\[4pt]XX^T&A\end{pmatrix}} et {Y_a=\binom X{aX}}. Pour quels {a} ce vecteur est-il propre pour {B} ?

c) {B} est-elle diagonalisable ?

Donner une base propre.

d) Pour {A=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]1&1&1\\[4pt]1&1&1\end{pmatrix}} et {X=(1/\sqrt2,-\sqrt2,1/\sqrt2)^T}, trouver un annulateur de {B} de degré trois.

a) {A} est-elle diagonalisable ?

b) Déterminer son rang et son spectre.

c) Déterminer son polynôme caractéristique.

a) Montrer que toute matrice de {\mathcal N} est trigonalisable.

Que dire si elle est diagonalisable ?

b) Déterminer {F\cap S_n(\mathbb{R})}.

c) Montrer {\dim F\le n(n-1)/2}.

a) Montrer que {\varphi} est un endomorphisme.

b) Montrer qu’il est injectif.

c) Déterminer ses valeurs et vecteurs propres.

1) Montrer qu’elles sont inversibles et diagonalisables.

2) Montrer que {n} est pair et qu’elles sont semblables.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} dont les {n-1} premières lignes sont constituées de un et dont la dernière ligne est constituée de {n-1}. La matrice est-elle diagonalisable ?

1) Est-elle inversible ?

Donner son inverse si oui.

2) Est-elle diagonalisable ?

Donner ses espaces propres.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} dont {a_{ij}=1} si {i=1}, {i=n}, {j=1} ou {j=n}, et zéro sinon.

Déterminer ses éléments propres.

Montrer que {f:P\in\mathbb{R}_n[X]\mapsto(X^2-1)P'-nXP} est un endomorphisme et déterminer ses valeurs propres.

1) Si {\lambda\ne0} est valeur propre de {fg}, montrer qu’elle l’est de {gf}.

2) Même question pour {\lambda=0}.

3) Que conclure sur les spectres ?

1) À quelles conditions est-elle diagonalisable ?

2) Sous ces conditions, donner une base propre.

1) Donner son spectre et son polynôme caractéristique.

2) Donner une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité.

1) Déterminer ses valeurs propres, sa diagonalisabilité et la dimension de son noyau.

2) Pour {\Phi:X\in M_3(\mathbb{C})\mapsto AXA}, déterminer les valeurs propres, la diagonalisabilité et l’image.

1) Déterminer le rang de {f} et en déduire {E=\ker f\oplus\operatorname{Vect}I_n}.

2) Montrer que {g(M)=M+\operatorname{tr}(M)I_n} est diagonalisable.

3) Pour {J} de trace nulle, soit {h(M)=M+\operatorname{tr}(M)J}. Son polynôme caractéristique est-il scindé ?

Est-il diagonalisable ?

1) Déterminer son rang et son spectre.

2) Exprimer {\chi_A(\lambda)} en fonction de {\lambda,X}.

3) Montrer {\det(I_n+XX^T)=1+X^TX}.

1) Montrer que les espaces propres de {f} sont stables par {g}.

2) Si {f} est diagonalisable, montrer que {g} l’est et qu’il existe {\alpha,\beta\in\mathbb{C}} tels que {g=\alpha I+\beta f}.

1) Est-il diagonalisable ?

2) Montrer {\operatorname{rg}f=2}.

3) Montrer {\operatorname{Im}f\subset\ker(f^2+f+I)} puis {\mathbb{R}^3=\ker f\oplus\ker(f^2+f+I)}.

4) Pour {x\ne0} dans le second noyau, montrer que {(x,fx)} est libre.

5) Montrer qu’une base donne la matrice {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&1&-1\end{pmatrix}}.

1) Déterminer son spectre et une matrice diagonale {D} semblable à {A}.

2) Montrer que toute matrice commutant avec {D} est diagonale.

3) Pour {P(X)=X^7+X+1}, identifier les matrices {M} telles que {P(M)=A}.

1) Si {\alpha\in\mathbb{R}}, montrer qu’elle est diagonalisable.

2) Donner son rang et son spectre.

3) Pour quels {\alpha\in\mathbb{C}^\star} est-elle diagonalisable ?

1) Pour {a,b\in\mathbb{R}}, donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\begin{pmatrix}0&a\\[4pt]b&0\end{pmatrix}} soit diagonalisable.

2) Sur {\mathbb{R}^{2p}}, la matrice de {f} a ses seuls coefficients éventuellement non nuls en position {(i,2p+1-i)}, égaux à {\alpha_i}.

Représenter cette matrice ; montrer que {E_i=\operatorname{Vect}(e_i,e_{2p+1-i})} est stable.

Montrer que {f} est diagonalisable exactement lorsque tous les induits sur ces plans le sont, et en déduire une condition sur les {\alpha_i}.

3) Que dire en dimension impaire ?

1) Montrer que {f} est un endomorphisme.

2) Donner son noyau, sa dimension et dire si {f} est inversible.

3) Montrer qu’il est diagonalisable et donner ses sous-espaces propres.

4) Montrer {\dim S_n(\mathbb{R})=n(n+1)/2}.

1) Si {U,V} sont semblables, montrer que {R(U),R(V)} le sont pour tout polynôme {R}.

2) Exprimer {P(M)} en fonction de {P(A),P'(A),B}.

3) Si {B=0} et {A} est diagonalisable, montrer que {M} l’est.

4) Si {\lambda} n’est pas valeur propre de {A}, justifier que {A-\lambda I} est inversible.

5) Si {M} est diagonalisable, montrer que {B=0} et que {A} est diagonalisable.

1) Montrer que {f} est un endomorphisme.

2) Montrer {f(A^k)=kA^k} pour {k\geq1}.

3) En déduire que {A} est nilpotente.

1) Une matrice {A\in E} est-elle diagonalisable ?

2) Relier les racines d’un polynôme annulateur à ses valeurs propres.

3) Déterminer {E}.

1) Si {A^3-2A^2+A-2I=0}, montrer qu’elle est inversible et exprimer son inverse.

2) Si {A^2+A+2I=0}, montrer que {n} est pair.

3) Si {A^3+A^2+2A=0}, montrer que son rang est pair.

Trouver les {M\in M_3(\mathbb{R})} tels que {\operatorname{tr}M=3} et {M^5=M^2}.

1) Montrer que ses valeurs propres sont racines de {X^3-4X}.

2) Caractériser les matrices vérifiant {(P)}.

Soient {E} de dimension {n\geq1} sur {\mathbb{K}}, une base {(e_1,\ldots,e_n)} et {v\ne0}.

Si {f(e_i)=v} pour tout {i}, déterminer son rang et sa diagonalisabilité éventuelle.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})} diagonalisable, montrer {(\operatorname{tr}A)^2\leq\operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)}.

1) Si {U} est diagonalisable, montrer que {U^2} l’est.

2) Donner un contre-exemple à la réciproque.

3) Pour {\lambda\ne0}, montrer {\ker(U^2-\lambda^2I)=\ker(U-\lambda I)\oplus\ker(U+\lambda I)}.

4) Si {U} est un automorphisme et {U^2} diagonalisable, montrer que {U} l’est.

5) Si {U} est diagonalisable, montrer que tout {Q(U)} l’est.

6) Si {Q(U)} est diagonalisable et {Q'(U)} bijectif pour un polynôme {Q}, montrer que {U} est diagonalisable.

1) Montrer {\operatorname{Sp}u\subset\left\{0,1\right\}}.

2) Montrer que zéro est valeur propre.

Que déduire ?

3) Montrer que un est valeur propre.

4) Montrer {E=\ker u^2\oplus\operatorname{Im}u^2} et {\operatorname{Im}u^2=\ker(u-I)}.

5) Pour {p=\dim\ker(u-I)}, {r=\dim\ker u}, {q=n-p-r}, montrer qu’une base donne {\begin{pmatrix}I_p&0&0\\[4pt]0&0&A\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}, où {A} est une matrice quelconque.

1) Vérifier que {\Phi} est un endomorphisme.

2) Montrer {\Phi^k(M)=A^kM}.

3) Montrer qu’un polynôme annule {A} exactement lorsqu’il annule {\Phi}.

4) En déduire l’équivalence de leurs diagonalisabilités.

5) Montrer qu’ils ont le même spectre, en considérant les colonnes.

6) Si {(X_1,\ldots,X_n)} est une base propre de {A}, donner une base propre de {\Phi}.

1) Pour {u,v\in\mathcal L(E)} et {\lambda\ne0}, montrer que {\lambda} propre pour {uv} l’est pour {vu}.

2) Montrer que le résultat vaut aussi pour zéro en dimension finie.

3) Sur {\mathbb{R}[X]}, soient {u(P)(x)=\int_0^xP(t)\,dt} et {v(P)=P'}.

Calculer les deux compositions et montrer que zéro n’est valeur propre que de l’une.

1) Montrer que c’est un endomorphisme.

2) Donner sa matrice {A} dans la base canonique et dire si elle est diagonalisable. Indication : calculer {A^2}.

3) Donner son spectre.

4) Donner les espaces propres.

5) {A} est-elle inversible ?

Donner son inverse.

6) {\varphi} est-elle un automorphisme ?

7) Quelle est l’interprétation géométrique de {A} ?

1) Montrer que les polynômes en deux matrices semblables sont semblables.

2) Calculer {M^k} pour {k\geq1}.

3) Exprimer {P(M)} à l’aide de {A,P(A),P'(A)}.

4) Si {M} est diagonalisable, montrer que {A} l’est.

5) Montrer alors que {A=0}.

1) Citer deux critères nécessaires et suffisants de diagonalisabilité réelle.

2) Montrer que {A} est diagonalisable, de spectre inclus dans {\left\{2,3\right\}} ; on note {D} une diagonale semblable.

3) Montrer que {f(M)=DM-MD} est un endomorphisme diagonalisable. Indication : écrire les matrices par blocs.

1) Montrer {B^2=B}.

2) Si {A} est diagonalisable réelle avec {p} valeurs propres distinctes, montrer par division euclidienne que {A^k\in\mathbb{R}_{p-1}[A]}.

3) En déduire {B\in\mathbb{R}_{p-1}[A]}.

4) Caractériser géométriquement {B} à l’aide des espaces propres de {A}.

1) Montrer que c’est un endomorphisme.

2) Donner ses valeurs propres et espaces propres, et étudier sa diagonalisabilité.

3) Pour {A=I_n}, {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, montrer que {u} est autoadjoint pour le produit scalaire canonique et retrouver b).

1) Donner son rang, la dimension du noyau, sa diagonalisabilité et la dimension propre associée à zéro.

2) Montrer {X^TAX\leq\lambda_{\max}X^TX}.

3) Caractériser le cas d’égalité.

4) Montrer que ses valeurs propres sont zéro, {\lambda} et {1-\lambda}, avec {\lambda} la plus grande.

Soient {a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}} et {A_n= \begin{pmatrix} -a_1&-a_2&\cdots&-a_n\\[4pt] 1&0&\cdots&0\\[4pt] 0&1&\ddots&\vdots\\[4pt] \vdots&\ddots&\ddots&0 \end{pmatrix}.}Montrer que {\chi_{A_n}(X)=X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n}.

a) Exprimer {u(e_k)}.

b) Calculer {v(e_k)}, en distinguant {k=0}.

c) Calculer {uv(e_k)} et {vu(e_k)}.

En déduire {u^{-1}}.

d) Pour {P=\sum\limits a_ke_k} et {\lambda\in\mathbb{R}}, montrer que {u(P)=\lambda P} équivaut à {(2W_k/\pi-\lambda)a_k=0} pour tout {k}.

e) Déterminer les éléments propres de {u} et de {v}.

a) Calculer {\ker f}.

b) Montrer que {\chi_f=X(X^2-a_3X-(a_1^2+a_2^2))}.

c) On suppose {a_1^2+a_2^2\neq0} et {4a_3^2+a_1^2+a_2^2\neq0}.

Montrer que {A} est diagonalisable et calculer ses sous-espaces propres.

d) Si {a_1^2+a_2^2=0}, montrer que {A} n’est pas diagonalisable.

a) Montrer que {1} est valeur propre sans calculer {\chi_A}.

b) Donner le spectre de {A}.

a) Si {\lambda} est valeur propre de {A}, montrer que {j\lambda} l’est aussi.

b) Montrer que {\lambda=0}.

a) Trouver ses valeurs propres avec le moins de calculs possible.

Est-elle diagonalisable ?

b) Donner une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité d’une matrice de rang {1}.

a) Montrer que {\operatorname{rg}M=1}.

b) Déterminer son spectre.

Est-elle diagonalisable ?

c) Déterminer ses espaces propres.

a) Donner le rang de {A}.

b) Donner une valeur propre évidente.

c) À quelles conditions {A} est-elle diagonalisable ?

Soient {a,b,c\in\mathbb{R}} et {M=\begin{pmatrix} 0&0&c^2\\[4pt] 0&b^2&0\\[4pt] a^2&0&0 \end{pmatrix}.}Déterminer ses valeurs propres.

a) Calculer {\operatorname{rg}(A-(a-1)I_n)}.

b) En déduire les valeurs propres et les sous-espaces propres.

a) Pour {\alpha=e^{i\pi/n}}, calculer {\alpha^n}.

b) i) Résoudre {z^n=-1} dans {\mathbb{C}}.

ii) Montrer que {(X-i,X+i)} est une base de {\mathbb{C}_1[X]}.

c) Pour {\lambda\in\mathbb{C}}, on pose {P(z)=\det(\lambda I_n-M+zB)}.

i) Montrer que {P(z)=a(z+i)+b(z-i)}.

ii) Montrer que {P(z)=\frac{(\lambda+i)^n}{2i}(z+i) -\frac{(\lambda-i)^n}{2i}(z-i).}

d) Si {\lambda} est valeur propre de {M}, montrer que {\lambda=\cos\theta/\sin\theta} pour un {\theta\in]0,\pi[} à déterminer.

e) La matrice {M} est-elle diagonalisable ?