Quelle est la probabilité que Zak ait besoin de deux fois plus de lancers qu’Yves ?

Si {\mathbb E(X^k)=\mathbb E(Y^k)} pour tout {k\in\mathbb{N}}, montrer qu’elles suivent la même loi.

Calculer son espérance directement à partir de sa loi, à l’aide de sa fonction génératrice, puis en interprétant la loi sans calcul.

2) Si le nombre {N} de passants suit {\mathcal P(\lambda)}, donner les lois de {X,Y} et l’espérance et la variance de {X}.

3) Montrer dans ce dernier cas l’indépendance et calculer {\operatorname{Cov}(X,Y)}.

Exprimer {G_S} en fonction de {G_X,G_Y}.

Donner la loi de {S} si {X\sim\mathcal B(n,p)}, {Y\sim\mathcal B(m,p)}, puis si {X\sim\mathcal P(\lambda_1)}, {Y\sim\mathcal P(\lambda_2)}.

Déterminer la loi de {Z=X+Y}.

Interpréter {T_1}, donner sa loi, son espérance et sa variance.

Interpréter {T_2}, calculer {\mathbb{P}(T_2-T_1=k,T_1=n)}, montrer l’indépendance de {T_2-T_1,T_1} et en déduire la loi de {T_2}.

Exprimer {X} en fonction des {X_i}, donner leurs lois, calculer {\mathbb{P}(X>k)}, puis montrer que {X} est d’espérance finie et la calculer.

Écrire pascal(p,r) simulant {X}, puis moyenne(p,r,k) renvoyant la moyenne de {k} simulations.

Calculer la loi et l’espérance de {X}.

Calculer {\mathbb{P}(X_1\ge m)} et {\mathbb{P}(X_1\le m)} pour {m\in\mathbb{N}}.

Poser {Y=\min(X_1,\ldots,X_n)}, calculer les mêmes probabilités pour {Y}, reconnaître sa loi et déterminer son espérance.

Poser {Z=X/Y}.

Montrer {Z\le X}, justifier l’existence de son espérance et de sa variance, calculer {\mathbb E(Z)}, puis donner sa loi.

2) Calculer {G_X(t)}, {\mathbb E(X)}, {V(X)}, {\operatorname{Cov}(X,Y)}.

3) Calculer {\mathbb{P}(X\ge k)} et retrouver l’espérance.

4) Déterminer la loi de {Z=\min(X,Y)}.

5) Calculer {\mathbb{P}(X\ge Y)}.

Déterminer {X(\Omega)} et {P(X=1)}, {P(X=2)}, {P(X=n)}.

b) Déterminer la loi de {Z}.

c) Calculer {\mathbb E(Z)}.

Déterminer la probabilité que {A} soit diagonalisable.

b) Calculer {\mathbb E(Z)}.

c) Donner la loi de {Z}.

Déterminer la loi de {Z=\min(X_1,X_2,X_3)}.

Quelle est la probabilité d’obtenir un unique six ?

Quelle est la probabilité que le dernier coffre contienne le trésor sachant que les {N-1} autres sont vides ?

Calculer la loi de {S=X+Y} et la loi de {X} sachant {S=n}.

Pour {X=\min(X_1,\ldots,X_n)}, calculer {\mathbb{P}(X>k)} puis sa loi.

Si oui, la calculer.

Calculer {\mathbb{P}(X_1=X_2)} et la probabilité que {M} soit diagonalisable.

Exprimer ses valeurs propres {I\le S}, calculer la probabilité d’inversibilité, la covariance de {I,S} et discuter leur indépendance.

Donner la loi de {X_1} et l’espérance de {S_n}.

Majorer la probabilité d’avoir au moins un sommet isolé.

Si {p_n=C\ln n/n}, {C>1}, montrer {\mathbb{P}(S_n=0)\to0}.

Diagonaliser {M=\begin{pmatrix}6&3&0\\[4pt]0&3&4\\[4pt]0&0&2\end{pmatrix}}, donner ses espaces propres et {M^n}.

Déterminer {A} telle que {U_{n+1}=AU_n}.

Donner les lois des rangs {T_1,T_2} des première et deuxième blanches tirées.

Donner la loi de {(X,Y)}.

Montrer, pour {t\ge1}, {\mathbb{P}(X\ge2\lambda)\le G_X(t)/t^{2\lambda}}, puis {\mathbb{P}(X\ge2\lambda)\le(e/4)^\lambda}.

Comparer à Bienaymé-Tchebychev.

Calculer la probabilité d’inversibilité, puis celle d’être de rang un.

b) Déterminer sa fonction génératrice.

c) Calculer {\mathbb E(X),V(X)}.

b) Calculer {\mathbb E(X_n)} et commenter. Soit {Y_n} le premier rang où toutes les boules ont été tirées.

c) Loi de {Y_2} ?

Déterminer {P(Y_3=j\mid X_3=i)}.

d) Loi de {Y_3} ?

b) Pour {1\lt r\lt N}, donner le support et montrer {P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}/\binom Nr}.

c) Relier {\binom pq} et {\binom{p-1}{q-1}} et montrer {\mathbb E(X)=r(N+1)/(r+1)}.

b) Loi de {Y} ?

c) {X,Y} sont-elles indépendantes ?

d) Loi de {Z=X-Y} ?

b) Rappeler le développement de {1/(1-x)} et justifier {\sum\limits_{k=n}^{+\infty}\binom nkx^{n-k}=1/(1-x)^{k+1}} pour {|x|\lt 1}.

c) Déterminer la loi de {X}.

b) Calculer {\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\binom nkx^n} pour {|x|\lt 1}.

c) Probabilité d’avoir exactement {k} garçons ?

d) Probabilité d’en avoir au moins deux sachant qu’il y en a au moins un ?

b) Pour {U=\min(X,Y)} et {V=\max(X,Y)}, sont-elles indépendantes ?

c) Même question pour {U+V} et {U-V}.

b) Déterminer la fonction génératrice de {X}.

c) En déduire sa loi.

b) Déterminer {P(Y>n)}.

c) Probabilité que {M} soit diagonalisable ?

d) Même question si {X,Y} sont indépendantes de loi {\mathcal B(n,1/2)}.

2) Calculer la probabilité que tous les {X_i} soient égaux à {X_1}.

3) Donner la loi de {N=\inf\left\{i:X_i\ne X_1\right\}}.

2) Même question pour le rang {X_2} de la deuxième verte.

Quel est le nombre moyen de tentatives (a) s’il écarte chaque clé infructueuse, (b) s’il la remet à chaque fois avec les autres ?

Calculer {\mathbb{P}(Y>k)} pour {k\in\mathbb{N}}, puis {\mathbb{P}(Y>X)}.

Montrer que {Z=X+Y} est de Poisson et déterminer la loi de {X} sachant {Z=n}.

2) Calculer {\mathbb{P}(X>2)}.

3) Calculer {\mathbb{P}(X>n)} pour {n\geq1}.

4) Calculer {\mathbb{P}(Z>n)}.

Déterminer {q}, les lois marginales et l’espérance de {Y}.

2) Calculer la probabilité que {M} soit diagonalisable.

Calculer la probabilité qu’elle soit définie positive.

Montrer que ces poids définissent une probabilité.

Déterminer {a}, puis {\mathbb E(X)} et {V(X)}.

Donner leur loi conjointe.

Déterminer la loi de {X}.

Poser {Z=X} si {X\ne0}, {Z=Y} sinon.

Déterminer la loi de {Z}.

Quel dé a-t-on intérêt à choisir ?

Déterminer la loi et l’espérance de {Z=|X-Y|}.

Pour {Y_n=(X_1+\cdots+X_n)/n}, calculer espérance et variance.

Montrer {\alpha\in[-1,1]}, puis déterminer la loi de {X}.

2) Montrer {\mathbb{P}(X_2=1\mid X_1=1)=(c+1)/(c+2)}.

3) Montrer que {X_2} suit une loi de Bernoulli.

4) Montrer {\mathbb{P}(X_{n+1}=1\mid S_n=k)=(1+ck)/(2+nc)}.

5) Montrer que chaque {X_n\sim\mathcal B(1,1/2)}.

Donner la loi de {\operatorname{tr}M} et calculer {\mathbb E(\det M)}.

Si l’on remplace {M_{13},M_{23},M_{31},M_{32}} par zéro, calculer les probabilités que {M} soit diagonalisable, puis inversible.

Montrer, pour {n\ge1}, {\mathbb{P}(X\ge n)\le \mathbb E(X^2)/n^2}.

2) Montrer {\mathbb{P}(X_{p+1}=k)=\sum\limits_{j=k}^n\mathbb{P}(X_p=j)/j}.

3) Montrer l’existence de l’espérance et {\mathbb E(X_{p+1})=\mathbb E(X_p)/2+1/2}, puis expliciter {\mathbb E(X_p)}.

4) Montrer {\mathbb E(X_{p+1}^2)=\mathbb E(X_p^2)/3+\mathbb E(X_p)/2+1/6}.

5) Relier {V(X_{p+1})} à {V(X_p)}.

Donner les lois du rang et de la trace de {M}.

Quelle est la probabilité que {M} soit la matrice d’un projecteur ?

b) Calculer {P(Y=k\mid X=i)}.

c) Loi, espérance et variance de {Z} ?

Trouver la loi de {Z=|X-Y|} et calculer son espérance.

b) Probabilité que PF apparaisse au moins une fois ?

c) Probabilité que la première séquence PP apparaisse sans avoir été précédée par PF ?

b) Montrer que {W=V+1} est géométrique et donner {\mathbb E(V)}.

c) {U,V} sont-elles indépendantes ?

Déterminer la probabilité que {M} soit diagonalisable.

b) Déterminer {\mathbb E(X)}.

c) Déterminer la loi de {X+Y}.

b) Relier {a_{n+2},a_{n+1},a_n}.

c) Montrer que deux Pile consécutifs apparaissent presque sûrement.