Sur les suites complexes, soit {L(u)_n=u_{n+1}}.

Déterminer {\ker(L-\lambda I)} et {\ker(L-\lambda I)^2}.

Pour {F} défini par {u_{n+4}=u_{n+3}/2+3u_{n+2}-7u_{n+1}/2+u_n}, montrer {F=\ker(2L-I)\oplus\ker(L+2I)\oplus\ker(L-I)^2}, puis donner sa dimension et une base.

La matrice {A=\begin{pmatrix}3&-1\\[4pt]1&2\end{pmatrix}} est-elle inversible ?

Calculer {A^n} pour tout {n\in\mathbb{Z}}.

Soit {A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]-1&2&1\end{pmatrix}}.

Montrer que {A^n=\alpha_nA+\beta_nA^2} pour {n\geq1}.

Programmer une fonction Python puissance(n), déterminer {\alpha_n,\beta_n}, puis tracer leur quotient, conjecturer sa limite et la prouver.

Soient {A} inversible, {B} nilpotente, complexes, avec {AB=BA}.

Montrer que {A\pm B} sont inversibles. Sans commutation, donner un cas où {A+B} n’est pas inversible.

Soit {u\ne0} sur {\mathbb{R}^3}, avec {u^3+u=0}.

Montrer {\mathbb{R}^3=\ker u\oplus\operatorname{Im}u} et {\operatorname{Im}u=\ker(u^2+I)} ; montrer {\operatorname{rg}u=2}, puis trouver une base où sa matrice est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} avec {4A^3+4A^2+A=0}.

Étudier la convergence de {(A^k)} et sa limite.

Qu’en déduire sur {A} ?

Montrer que {A^2+A+I=0} pour {A} réelle impose {n} pair.

Si {A^3+A^2+A=0}, montrer que son rang est pair.

Déterminer les {A\in M_n(\mathbb{C})} tels que {AA^T+2A^T+I=0}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} avec {A^3=-A}.

Montrer que son rang est pair.

Que dire si {A=A^T} ?

a) montrer {u^n=0} ;

b) si {u^{n-1}\ne0}, construire une base où la matrice {A} a sous-diagonale {1} et est nulle ailleurs ;

c) résoudre {X^2=A}.

a) Donner caractéristique, minimal et rang.

b) Construire une base où sa matrice est {E_{13}}.

c) En déduire la similitude de deux telles matrices réelles.

d) Montrer que des matrices semblables ont même rang.

e) Le résultat de c) reste-t-il vrai en taille {4} ?

a) Montrer que {P=X^3-X-1} a une unique racine réelle, strictement positive. b) Si {P(A)=0} pour une matrice réelle, montrer {\det A>0}.

a) Énoncer le lemme des noyaux. Soit {f} réel de minimal {(X^2+1)(X^2+4)}.

b) Trouver {x,y\ne0} avec {f^2x=-x}, {f^2y=-4y}.

c) En dimension {4}, montrer que {(x,fx,y,fy)} est une base et donner la matrice de {f}.

a) Pour une matrice {A} dans la base {(e_i)}, donner sa matrice dans {(e_1/t,\ldots,e_n/t^n)}, {t>0}.

b) Montrer que {N} est nilpotente exactement si {0} appartient à l’adhérence de sa classe de similitude.

Déterminer les {M\in M_n(\mathbb{R})} tels que {M^5=M^2} et {\operatorname{tr}M=n}.

1) Trouver un polynôme annulateur non nul.

2) Si zéro est valeur propre, déterminer le spectre et montrer que {A} est orthogonalement semblable à {\operatorname{diag}(1,0)}.

a) Trouver un polynôme annulateur de {A}.

b) Montrer que le spectre est inclus dans les racines d’un polynôme annulateur.

En déduire le spectre de {A}.

c) Montrer que {A} est orthogonale.

d) Déterminer {\det A}.

e) Déterminer les matrices {A} convenables.

Soit {A\in S_n(\mathbb{R})}.

Montrer l’existence d’un vecteur propre non nul {X} et poser {B=\begin{pmatrix}A&XX^T\\[4pt]XX^T&A\end{pmatrix}}.

Trouver les {a\in\mathbb{R}} tels que {(X,aX)^T} soit propre pour {B}.

Donner une base propre de {\mathbb{R}^{2n}}.

Pour {n=3}, {A} à tous ses coefficients égaux à un et {X=(1/\sqrt2,-\sqrt2,1/\sqrt2)^T}, donner un polynôme annulateur de degré trois.

a) Montrer que {M^4=M}.

b) Montrer que {M} est semblable à {\begin{pmatrix}0&a\\[4pt]0&b\end{pmatrix}}, avec {b\in\left\{0,1\right\}}.

c) Si {b=0}, que dire de {M} ?

d) Montrer que {M^2=M}.

a) Exprimer {A^2} en fonction de {A}.

b) Pour {B=2A-\operatorname{tr}(A)I_n}, trouver une condition nécessaire d’inversibilité.

a) La matrice {A} est-elle diagonalisable ?

b) Montrer qu’une valeur propre {\lambda} vérifie {\lambda^5+\lambda^4+\lambda^3+\lambda^2+\lambda=0}.

En déduire que {A=0}.

Pour {A\in M_2(\mathbb{R})}, soit {f:M\mapsto AM}.

Vérifier sa linéarité et montrer qu’il est bijectif exactement lorsque {A} est inversible, et diagonalisable exactement lorsque {A} l’est.