Montrer que {(u_p)} est constante et que {I_p\sim\sqrt{2\pi/p}}.

Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_0^\infty PQe^{-t}} est un produit scalaire. Sur {\mathbb{R}_n[X]}, poser {\varphi(P)=XP''+(1-X)P'}.

Montrer que c'est un endomorphisme et que {\langle\varphi(P),Q\rangle=-\int_0^\infty tP'Q'e^{-t}dt} ; en déduire sa symétrie.

Montrer que {I=\frac{\sqrt\pi}{2}\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac1{n\sqrt n}}. On admet {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}.

Montrer leur convergence et les calculer.

Montrer ensuite {\int_0^1e^{x\ln x}\,dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^n}.}

Montrer que {I_n} existe, puis que {I_n=2\sum\limits_{k\ge1}\int_0^{+\infty}\sinh x\,e^{-knx}\,dx}.

En déduire {\sum\limits_{k\ge1}1/(4k^2-1)}.

Calculer {\int_a^b\frac{dt}{t^{3/2}+t^{1/2}}} en effectuant le changement de variable {u=\sqrt t}.

b) Pour {n\in\mathbb{N}}, justifier la convergence de {R_n=\sum\limits_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^{3/2}+k^{1/2}}}.

c) Montrer que {2\arctan\frac1{\sqrt{n+1}}\le R_n\le2\arctan\frac1{\sqrt n}}.

d) Déterminer un équivalent simple de {R_n}.

b) Calculer {S(x)} pour {x\in D}.

c) Quelles sont les limites de {S} aux bornes de {D} ?

d) L'intégrale {\int_0^{+\infty}S(x)\,dx} est-elle convergente ?

b) Pour {n\in\mathbb{N}^\star}, montrer que {x\mapsto e^{-nx}} est intégrable sur {\mathbb{R}_+}.

c) Justifier l'existence et calculer {\int_0^{+\infty}xe^{-nx}\,dx}.

d) Montrer que {\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{e^x-1}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2}}.

b) Calculer {I+J} et en déduire {I}.

c) Effectuer le changement de variable {t=n^{4/3}x} dans {I_n}.

d) Déterminer la limite de {n^{5/3}I_n} et un équivalent de {I_n}.

Montrer que {\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}\sin(xt)\,dt>0}.

Justifier son existence et montrer {I_n\sim n\int_0^{+\infty}\sin^2u/u^2\,du}.

Montrer que {I=S}.

Prouver la convergence et calculer {I=\int_1^{+\infty}(1/t-\arctan(1/t))\,dt}.

Montrer sa convergence et préciser sa limite.

Montrer {I_n\sim\frac1n\int_0^1\ln(1+u)/u\,du}, puis, sachant {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^{n-1}/n^2=\pi^2/12}, montrer {I_n\sim\pi^2/(12n)}.

b) Calculer {\int_0^{+\infty}t^ne^{-t}\,dt}.

c) Calculer {\inf_{a,b\in\mathbb{R}}\int_0^{+\infty}e^{-t}(t^3-at-b)^2\,dt}.

d) Soit {H=\left\{P\in\mathbb{R}_N[X]:\int_0^{+\infty}te^{-t}P(t)\,dt=0\right\}}.

Montrer que {H} est un espace vectoriel et déterminer {d(X+1,H)}.

b) Montrer que {F(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}x^n/n^2} pour {x\in[0,1]}.

b) Montrer sa convergence et déterminer sa limite.

c) Montrer {I_n\sim\frac1n\int_0^1\frac{\ln(1+u)}u\,du}.

d) Sachant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}, montrer {I_n\sim\pi^2/(12n)}.

b) Justifier {I_n}.

c) Montrer {\lim I_n=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}1/(k\,k!)}.

b) Simplifier {f_\alpha(t)} sur {[0,\pi/2]}.

c) Pour quels {\alpha} l'intégrale {\int_0^{\pi/2}f_\alpha(t)\,dt} converge-t-elle ? Pour {n\in\mathbb{N}}, soit {u_n(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\sin^\alpha(t)\cos^n(t)\,dt}.

d) Pour quels {\alpha} la série {\sum\limits u_n(\alpha)} converge-t-elle ?

e) Calculer {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}u_n(3)}.

Montrer son existence et déterminer sa limite.

Montrer son existence et étudier la convergence de {(U_n)}.

2) Montrer {\int_0^{+\infty}\cos(\sqrt x)e^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^nn!/(2n)!}.

Montrer l'existence de {I=\int_0^1f(t)\,dt}, exprimer {f} en série et calculer {I} en sachant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}.

Montrer que {w_{n+1}(a)-w_n(a)=O(n^{-2})}.

En déduire que {n^{1/a}u_n(a)} converge vers {L>0}.

Montrer que {(I_n)} converge et déterminer sa limite.

ii) Montrer que {I_{n+1}=(n+1)I_n}, puis que {I_n=n!}.

i) Étudier ses variations.

ii) Montrer que {\varphi(x)^n\leq(2/e)^{n-1}\varphi(x)}.

iii) Montrer que {\frac1{\sqrt n}\int_0^{+\infty}(1+t)^ne^{-t}\,dt \longrightarrow0.}

Calculer {\int_k^{k+1}(x-1/2-\lfloor x\rfloor)/x\,dx}.

Montrer que {f'(x)\ge1/(2x)} à partir d'un certain rang et en déduire {f(x)\to+\infty}.

Montrer que {F} est bien définie sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer que {S(x)=\sum\limits_{n\ge0}(-1)^nx^{4n+3}/((2n+1)!(4n+3))} est définie sur {\mathbb{R}}, {C^\infty} et bornée.

Montrer que le domaine de définition de {F} est exactement {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer son intégrabilité et déterminer la limite de {u_n=\int_0^{+\infty}f_n(x)\,dx}.

Montrer que {I} converge et donner un équivalent de {u_n}.

Montrer son intégrabilité et étudier la convergence de {I_n=\int_0^{+\infty}h_n(t)\,dt}.

Montrer son existence et déterminer sa limite.

Montrer son existence et la calculer avec {t=\sqrt x\,u}.