a) Justifier l’existence de {z(0)} et montrer que {z(0)=\sqrt\pi}.

b) Montrer que {z} est définie sur {\mathbb{R}} et de classe {C^1}.

c) Montrer que {z'(x)=-z(x)/(2(x+i))}.

d) Donner les parties réelle et imaginaire du coefficient, puis déterminer {z(x)}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty\sqrt t e^{-xt}\,dt} quand elle existe.

Montrer que {f} est solution d’une équation différentielle du premier ordre.

a) Déterminer son ensemble de définition.

b) Montrer que {f(x)=1/x+o(1/x)} en {+\infty}.

a) Déterminer son domaine.

b) Montrer sa continuité sur {]0,+\infty[}.

c) Montrer qu’elle est de classe {C^1} et exprimer {f'} par une intégrale.

d) Déterminer ses limites en {+\infty} et {0^+}.

e) Donner un équivalent en {0^+}.

a) Étudier son domaine puis sa continuité.

b) Déterminer un équivalent en {+\infty}.

a) Pour {x\in\mathbb{R}}, montrer que {u_x(t)=(e^{-t}-e^{-2t})\cos(tx)/t} est intégrable sur {]0,+\infty[}.

Poser {f(x)=\int_0^\infty u_x(t)\,dt}.

b) Montrer que {f} est de classe {C^1}.

c) Justifier {f'(x)=x/(4+x^2)-x/(1+x^2)}.

d) Montrer l’existence de {K=\int_0^1(e^{-t}-1)/t\,dt}.

En déduire la limite en {a\to0^+} de {\int_a^{2a}e^{-t}/t\,dt}.

e) Poursuivre l’étude et calculer {f(x)}.

Calculer, pour {x\in\mathbb{R}}, {\varphi(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(tx)\,dt}par deux méthodes : à l’aide du développement en série entière du cosinus, puis à l’aide d’une équation différentielle d’ordre un.

Soit {F(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{x(1+x^2)}\,dx}.

Montrer que {F} est continue sur {\mathbb{R}}, puis de classe {C^1}.

En déduire {F}.

1) Montrer que {f} est bien définie sur {\mathbb{R}_+^\star}.

2) Montrer qu’elle est continue, puis {C^1} sur cet intervalle.

En déduire {f'} puis {f}.

3) Calculer {\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(at)-\arctan(bt)}t\,dt} pour {a,b>0}.

1) Exprimer {G(x)} en fonction de {F(x)=\int_0^x e^{-u^2}\,du}.

2) En déduire {\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,du}.

1) Donner le domaine de définition de {F}.

2) Montrer que {F} est de classe {C^1}.

3) Exprimer {F} à l’aide de fonctions usuelles.

Donner les primitives sur {\mathbb{R}} de {u\mapsto1/(au^2+b)}, où {a,b>0}.

Exprimer {\cos t} en fonction de {u=\tan(t/2)} lorsque {\cos(t/2)\ne0}. Pour {x>1}, poser {f(x)=\int_0^\pi\ln(x+\cos t)\,dt}.

Montrer que {f} est {C^1}, exprimer {f'} sans intégrale, puis expliciter {f}.

On considère {f(x)=\int_0^{+\infty} \frac{1-\cos(tx)}{t^2}e^{-t}\,dt}.

Donner son domaine, montrer qu’elle est {C^2} sur {\mathbb{R}}, exprimer {f''}, puis {f'} et {f} à l’aide de fonctions usuelles.

1) Montrer que {F} est {C^\infty} sur {]-1,+\infty[}.

2) Montrer {F(n+2)=\frac{n+1}{n+2}F(n)}.

Calculer {(n+1)F(n)F(n+1)}.

3) Donner un équivalent de {F(x)} quand {x\to+\infty}.

On pose {f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\sqrt t\,dt}.

Trouver une équation différentielle du premier ordre vérifiée par {f}, puis expliciter {f}.

En se ramenant à une équation différentielle, calculer {\int_0^{+\infty}\cos(xt)e^{-t^2}\,dt} pour {x\in\mathbb{R}}.

a) Déterminer le domaine {D_F} de {F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\frac{\sinh t}{t}\,dt}.

b) Montrer que {F} est de classe {C^1} et calculer sa dérivée.

c) En déduire {F(x)}.

a) Domaine de définition ?

b) Montrer que {f} est de classe {C^1} sur son domaine.

c) Simplifier {f(x)}, sachant que {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}.

a) Exprimer {G} en fonction de {F}.

b) En déduire {\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,du}.

a) Montrer que {f} est de classe {C^1}.

b) Trouver une équation différentielle vérifiée par {f}, puis simplifier {f(x)}.

a) Montrer que {\frac2\pi t\le\sin t\le t} pour {t\in[0,\pi/2]}.

b) Montrer que {F(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt} est bien définie sur {\mathbb{R}}.

c) Majorer {F} sur {\mathbb{R}^\star} et en déduire sa limite en {+\infty}.

d) Montrer que {F} est de classe {C^1} et calculer explicitement {F'(x)}.

1) Pour {x\in\mathbb{R}}, montrer que {t\mapsto e^{-t^2}\cosh(xt)} est intégrable sur {[0,+\infty[}.

2) La fonction {F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cosh(xt)\,dt} est-elle {C^1} ?

3) On admet {\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{2\pi}}.

Établir une équation différentielle pour {F} et donner une expression simple.

On admet {\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{2\pi}}.

Préciser le domaine de {f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(tx)\,dt} et l’exprimer à l’aide d’une équation différentielle.

Montrer que {\eta(x)=\int_0^1(1-t^2)^x\,dt} est bien définie et de classe {C^1} sur {]-1,+\infty[}.

Montrer que {F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}\sin(xt)/t\,dt} est {C^1} sur {\mathbb{R}} et l’exprimer avec les fonctions usuelles.

a) Montrer que {f} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer qu’elle est dérivable et satisfait une équation différentielle du premier ordre.

c) On donne {\int_{\mathbb{R}}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi}.

Exprimer {f} à l’aide de fonctions usuelles.

a) Déterminer son domaine de définition.

Montrer qu’elle est impaire.

b) Montrer que {f} est de classe {C^1}.

c) Calculer {f}.

Montrer la convergence de {\int_1^{+\infty}e^{-t}/t\,dt}.

Montrer l’intégrabilité de {g(x,t)=\cos(xt)(e^{-t}-e^{-2t})/t} sur {]0,+\infty[}.

Pour {f(x)=\int_0^{+\infty}g(x,t)\,dt}, montrer {f\in C^1}, calculer {f'}, puis {f} en utilisant {\int_0^{+\infty}(e^{-t}-e^{-2t})/t\,dt=\ln2}.

Donner un équivalent en {+\infty}.

Soient {f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^x\,dt} et {g(x)=\int_{x-1}^x\ln f(t)\,dt}.

Montrer que {f} est définie et continue sur {[0,+\infty[}. Pour {x\ge1}, relier {f(x)} à {f(x-1)}.

Établir la convergence de {\sum\limits_{n\ge2}(-1)^n/g(n)}.

a) Déterminer son domaine.

b) Étudier sa dérivabilité et calculer {f'}, en décomposant {1/((1+t^2)(1+x^2t^2))} en éléments simples pour {x\ne\pm1}.

c) Simplifier {f}.

d) Calculer {\int_0^{+\infty}\arctan^2(t)/t^2\,dt}.

a) Montrer qu’elle est définie sur {]0,+\infty[}, mais pas sur {[0,+\infty[}.

b) Montrer qu’elle est positive et décroissante.

c) Montrer qu’elle est {C^1} et déterminer une équation différentielle vérifiée par {F}.

a) Montrer qu’elle est définie sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer qu’elle est continue et dérivable.

c) Exprimer {\varphi'} puis {\varphi} avec des fonctions usuelles.

a) Montrer qu’elle est définie pour {x>0}.

b) Montrer {g\in C^\infty(\mathbb{R}_+^\star)} et déterminer {g'}.

c) En déduire {g}.

a) Montrer qu’elle est continue sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer qu’elle est {C^1} sur {]0,+\infty[}.

c) Calculer {f'(x)}.

a) Déterminer {D_g}.

b) Montrer que {g} est {C^1} et calculer {g'}.

c) Déterminer {(g(n))_{n\ge2}}.

d) Simplifier {g}.

1) Déterminer son domaine {D}, montrer qu’elle est {C^1} sur {D} et exprimer {f'} sans intégrale.

2) En déduire {\int_0^{+\infty}\ln x/(x^2-1)\,dx}.

Pour {x>0}, soit {f(x)=\int_0^{+\infty}\ln t/(x^2+t^2)\,dt}.

Montrer son existence et sa continuité, calculer {f(1)}, puis donner une expression explicite.

1) Montrer que {g} est définie.

2) Déterminer sa limite en {+\infty} ; indication : {\sin^2t\leq t^2}.

3) Montrer qu’elle est {C^1}.

4) Calculer {g'} puis {g}.

1) Montrer que {\psi} est définie et continue sur {\mathbb{R}_+}.

2) Montrer qu’elle est {C^1} pour {x>0}.

3) Calculer {\psi(0)} et sa limite en {+\infty}.

4) Montrer {\psi'(x)=-Ae^{-x}/\sqrt x}.

5) Montrer {\int_0^\infty\psi'(x)\,dx=-2A^2} et en déduire {A}.

1) Montrer son existence.

2) Montrer qu’elle est {C^1} et calculer {F'}.

3) Déterminer sa limite en {+\infty}.

4) Calculer {F}.

1) Déterminer son domaine.

2) Montrer la continuité puis la classe {C^1} sur ce domaine.

3) Conjecturer à l’aide de Python la valeur de {f(2)} puis la prouver.

4) Étudier la monotonie.

5) Déterminer les limites en {1^+} et en {+\infty}.

Soit {F(x)=\int_0^\pi\sin(x\sin t)\,dt}.

Montrer qu’elle est {C^1} sur {\mathbb{R}} et déterminer la limite de {F(x)/x} en zéro.

1) Montrer que {f} est définie et continue sur {\mathbb{R}_+}.

2) Relier {f(x)} et {f(x-1)}.

3) Montrer que {g} est dérivable et calculer {g'}.

4) Étudier {\sum\limits(-1)^n/g(n)}.

1) Déterminer son domaine {D}.

2) Montrer sa continuité.

3) Montrer {1-x\in D} et {f(1-x)=f(x)} pour {x\in D}.

4) Pour {h(x)=\int_0^1t^{x-1}/(1+t)\,dt}, montrer sa continuité pour {x>0}, puis {f(x)=h(1-x)+1/x-h(1+x)} pour {x\in D}.

Donner des équivalents aux bornes de {D}.

Soit {f(x)=\int_0^{+\infty}dt/(1+e^{tx}+e^{-t})}.

Déterminer son domaine {D}, montrer sa continuité et donner des équivalents aux bornes de {D}.

a) Montrer que {F} est de classe {C^1} sur {\mathbb{R}}.

b) Calculer {\lim_{a\to0}F(a)/a}.

a) Montrer que {f} est définie et de classe {C^1} sur {\mathbb{R}}.

b) Sachant que {f(0)=\sqrt\pi/2}, donner une expression de {f}.

a) Montrer que {I} est définie sur {]-1,+\infty[}.

b) Montrer qu’elle est de classe {C^1} et calculer sa dérivée.

c) Exprimer {I} à l’aide des fonctions usuelles.

a) Pour {x\neq\pm1}, trouver {a(x),b(x)} tels que {\frac1{(1+t^2)(1+x^2t^2)} =\frac{a(x)}{1+t^2}+\frac{b(x)}{1+x^2t^2}.}

b) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}}.

c) Montrer que {f\in C^1(\mathbb{R})} et exprimer {f'} par une intégrale.

d) Calculer {f}.

e) Calculer {I=\int_0^{+\infty}\arctan^2(t)/t^2\,dt}.

a) Étudier la convergence de {\int_0^1t^x\,dt} et déterminer le domaine de {f}.

b) i) Montrer que {0\leq f(x)\leq e^2/(1+x)}, puis déterminer la limite en {+\infty}.

ii) Montrer que {f(x)\to+\infty} en {-1^+}.

c) i) Montrer que {f\in C^1} et calculer {f'}.

ii) Relier {f(x)} et {f(x+1)}.

d) Déterminer {\alpha,\beta} tels que {f(x)=\alpha/x+\beta/x^2+o(x^{-2})} en {+\infty}.

e) Montrer que {f(x)\sim1/(1+x)} en {-1^+}.

Soit {f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)\,dt}.

Montrer qu’elle est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}, exprimer {f'} par une intégrale, trouver une équation différentielle puis calculer {f}.

Calculer {\lim_{t\to0^+}e^{-1/t}/t} et justifier {h(x)=\int_0^xe^{-1/t}/t\,dt} pour {x>0}.

Décrire les solutions de {(E):x^2y'+y=x}.

Montrer {e^{1/x}h(x)=x\int_0^{+\infty}e^{-u}/(1+xu)\,du}.

Montrer que {g(x)=x\int_0^{+\infty}e^{-u}/(1+xu)\,du} est l’unique solution {C^\infty} de {(E)}, et préciser sa limite en {+\infty}.

Soit {f(x)=\int_0^1(t^{x-1}-1)/\ln t\,dt}.

Déterminer son domaine, montrer qu’elle est {C^1}, calculer {f'} et exprimer {f} sans intégrale.

Soit {F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\sin(t)/t\,dt}.

Préciser son domaine, montrer sa régularité {C^1}, calculer {F'} et en déduire {F}.

a) Justifier {\int_0^{+\infty}\cos(xt)e^{-t}\,dt} pour tout réel {x}.

b) Montrer qu’elle vaut {K/(1+x^2)} pour une constante {K}.

c) Montrer que {\varphi} est définie sur {\mathbb{R}}.

d) Montrer {\varphi\in C^1}, exprimer sa dérivée puis {\varphi}.

a) Déterminer son domaine.

b) Montrer {f(n)=2n(f(n)-f(n+1))} pour {n\ge1}.

c) En déduire {f(n)=\frac{(2n-2)!\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}}.

d) Étudier la monotonie.

e) Montrer la continuité.

f) Nature de {\int_0^{+\infty}f(t)\,dt} ?

g) Équivalent de {f} à l’infini et autre approche de f) ?