Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})}, avec {\operatorname{rg}B=1}.

Montrer que {\det(A+B)\det(A-B)\leq\det(A)^2}.

a) Que dire de {f^2} ?

Montrer que {\langle f^2(x),x\rangle\leq0} et {\langle f(x),x\rangle=0}.

b) Que dire de sa matrice {A} dans une base orthonormée ?

c) Donner deux relations entre {\det A} et {\det A^T}. Si {f} est inversible, que dire de {\dim E} ?

d) Montrer que toute valeur propre de {f^2} est négative.

Soit {\varphi:M_2(\mathbb{C})\to\mathbb{C}} multiplicative et telle que {\varphi(\operatorname{diag}(\lambda,1))=\lambda} pour tout {\lambda}.

Montrer que {\varphi=\det}.

Calculer le déterminant {\Delta_n(x)} de la matrice tridiagonale de diagonale {1+x^2} et de deux diagonales voisines égales à {-x}.

Soit {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}.

Calculer {\det(P(X+i+j))_{1\leq i,j\leq n}}.

Soit {E=\left\{1,\ldots,n\right\}}, {m=2^n-2}, et {\mathcal F} l’ensemble des parties non vides et strictes, notées {F_1,\ldots,F_m}.

Montrer qu’il existe une unique bijection {g:\mathcal F\to\mathcal F} avec {g(F)\cap F=\varnothing}.

Calculer le déterminant de {A\in M_m(\mathbb{R})} défini par {a_{ij}=1} si {F_i\cap F_j\ne\varnothing}, zéro sinon.

Pour {A=(\sin(i+j))_{1\le i,j\le n}}, calculer le rang et le déterminant. On pourra utiliser les vecteurs de cosinus et de sinus des entiers {1,\ldots,n}.

Rappeler la matrice de Vandermonde et son déterminant.

Montrer que les fonctions {f_k(x)=e^{kx}}, {1\le k\le n}, sont libres.

Montrer que {P=X^3+X+1} a trois racines complexes distinctes {\alpha,\beta,\gamma}, puis résoudre {x+y+z=\alpha x+\beta y+\gamma z =\alpha^2x+\beta^2y+\gamma^2z=0}.

Soit {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})} avec {a_{ii}=a}, {a_{ij}=b} si {i>j}, {a_{ij}=c} si {i\lt j}. Soit {J} la matrice dont tous les coefficients valent un.

Calculer {\det(xJ+A)} et en déduire {\det A}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} nilpotente.

Montrer {\chi_A=X^n} et calculer {\det(A+I)}.

Si {MA=AM}, montrer {\det(A+M)=\det M} d’abord lorsque {M} est inversible, puis en utilisant {M_k=M+I/k}, inversible à partir d’un certain rang.

Soient {A\in M_n(\mathbb{C})} et {\varphi(M)=M-\operatorname{tr}(M)A}.

Déterminer ses éléments propres et calculer son déterminant.

a) Pour {A,B\in F\setminus\left\{0\right\}}, montrer que {x\mapsto\det(xA-B)} est polynomiale.

Préciser son degré et son coefficient dominant.

b) Montrer qu’il existe {\alpha\in\mathbb{C}} tel que {\alpha A-B} ne soit pas inversible.

b) En déduire {\dim F\le1} et préciser la nature de {F}.

a) Rappeler le déterminant de Vandermonde.

Pour {n\in\mathbb{N}}, on veut montrer que {((X+k)^n)_{0\le k\le n}} est libre. Supposons {\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k(X+k)^n=0}.

b) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^n\alpha_k(X+k)^p=0} pour {0\le p\le n}.

c) Montrer que {\sum\limits_{k=0}^n\alpha_kk^p=0} pour {0\le p\le n} et conclure.

1) Calculer {D(x)} pour {A=\begin{pmatrix}1&4\\[4pt]-3&2\end{pmatrix}}.

2) Montrer que {D} est polynomiale de degré au plus un.

3) Calculer {\det A} lorsque {a_{ii}=a}, {a_{ij}=b} si {i>j} et {a_{ij}=c} si {i\lt j}.

1) Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, montrer {\det\overline A=\overline{\det A}}.

2) Si {A,B\in M_n(\mathbb{R})} commutent, montrer {\det(A^2+B^2)\geq0}.

1) Quel lien existe entre les racines d’un polynôme annulateur et les valeurs propres de {A} ?

2) Déterminer {\det A}.

3) Montrer {\operatorname{tr}A\in\mathbb{N}}.

1) Que dire de {\det A} si une matrice réelle {B} satisfait {B^2=A} ?

2) Pour {a\in\mathbb{R}}, soit {A=\begin{pmatrix}2+a&2&1+a\\[4pt]3-a&3&3-a\\[4pt]-2&-2&-1\end{pmatrix}}.

Calculer son déterminant et en déduire une condition nécessaire à l’existence de {B}.

3) Désormais {a\geq0}.

Déterminer les éléments propres et donner {P,D} avec {A=PDP^{-1}}.

4) Désormais {a\ne1,3}.

Montrer que {M^2=D} entraîne {MD=DM}, déterminer ces {M} et en déduire les {B} telles que {B^2=A}.

a) Montrer que {f} est un endomorphisme.

b) Calculer son déterminant.