Espaces vectoriels normés — CCINP et autres écoles

Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « espaces vectoriels normés », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★) axiomes d’une norme ; normes

Sur

{E=\mathbb{R}[X]}

, poser

{\theta_n(P)=\int_0^1P(t)t^n\,dt}

pour

{n\in\mathbb{N}}

a) Montrer que

{N(P)=\sup_{n\geq0}|\theta_n(P)|}

est bien défini.

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b) Montrer que

{N}

est une norme.

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Exercice 2. (★★) équivalence des normes ; équations du premier ordre ; variation de la constante

Sur

{E=\left\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0\right\}}

, poser

{N(f)=\lVert f+f'\rVert_\infty}

{N'(f)=\lVert f\rVert_\infty+\lVert f'\rVert_\infty}

Montrer que ce sont deux normes équivalentes, en exprimant ${f}$ avec ${g=f+f'}$ .

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Exercice 3. (★★) normes sur les polynômes ; bornitude sur la boule unité ; formes linéaires continues

Pour

{P=\sum\limits a_iX^i}

, poser

{N(P)=\max_i|a_i|}

sur

{\mathbb{R}[X]}

Montrer que c’est une norme et déterminer les ${a\in\mathbb{R}}$ pour lesquels ${P\mapsto P(a)}$ est continue.

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Exercice 4. (★★) normes sur les polynômes ; bornitude sur la boule unité ; formes linéaires continues

Sur

{\mathbb{C}[X]}

, poser

{\lVert P\rVert=\sup_k|a_k|}

Montrer que c’est une norme et étudier la continuité de ${P\mapsto P(b)}$ selon ${|b|}$ . Pour ${|b|=1}$ , utiliser ${P_n=\sum\limits_{k=0}^n\bar b^kX^k}$ .

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Exercice 5. (★★★) norme intégrale ; suites de Cauchy ; convergence uniforme locale

Sur

{C^0([0,1])}

, poser

{N_1(f)=\int_0^1|f|}

a) Montrer que c’est une norme.

b) Montrer qu’une suite convergente est de Cauchy.

c) Pour ${f_n(x)=\sum\limits_{k=1}^nx^k/k}$ , montrer la propriété de Cauchy et discuter la convergence pour cette norme.

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Exercice 6. (★★) boule unité ; normes ; applications linéaires continues

Sur

{E=\mathbb{C}[X]}

, pour

{P=\sum\limits_{k\geq0}a_kX^k}

, on pose

{\lVert P\rVert=\sup_{k\geq0}|a_k|}

1) Montrer que c’est une norme.

2) Étudier la continuité de ${f:P\mapsto P(b)}$ , ${b\in\mathbb{C}}$ , selon que ${|b|\lt 1}$ , ${|b|=1}$ ou ${|b|>1}$ . Dans le deuxième cas, utiliser ${P_n=\sum\limits_{k=0}^n\overline b^{\,k}X^k}$ .

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Exercice 7. (★★) norme subordonnée ; norme uniforme ; applications linéaires continues

Sur

{E=C^0([0,1],\mathbb{R})}

muni de

{\lVert \cdot\rVert_\infty}

, soit

{u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt.}

Montrer que

{u}

est un endomorphisme continu et calculer sa norme subordonnée.

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PSI

Exercice 1. (★★★) Intégration sur un segment ; axiomes d’une norme ; théorème de la moyenne

Sur

{E=C^2([0,1],\mathbb{R})}

, on pose

{N_0(f)=\int_0^1|f|,\quad N_1(f)=\left|\int_0^1f\right|+\int_0^1|f'|,}

{N_2(f)=\left|\int_0^1f\right|+\left|\int_0^1f'\right|+\left|\int_0^1f''\right|.}

1) Calculer ces trois quantités pour

{f(x)=\sin(2\pi x)}

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2) Montrer que

{N_1}

est une norme.

Est-ce le cas de ${N_2}$ ?

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3) Montrer qu’il existe

{c\in[0,1]}

tel que

{f(c)=\int_0^1f}

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4) Montrer

{N_1(f)\leq N_0(f)}

Existe-t-il une fonction non nulle donnant l’égalité ?

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5) Existe-t-il

{C\geq0}

tel que

{N_0(f)\leq CN_1(f)}

pour tout

{f}

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Exercice 2. (★★★) axiomes d’une norme ; boules fermées ; sous-espaces vectoriels

Soit

{E}

euclidien et

{0\leq k\lt 1}

. On pose

{F=\left\{f\in\mathcal L(E):\lVert fx\rVert\leq k\lVert x\rVert\text{ pour tout }x\right\}}

1) Déterminer

{F}

pour

{k=0}

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2) Vérifier que

{I\notin F}

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3) Montrer que

{F}

n’est pas un sous-espace vectoriel.

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4) Trouver une norme sur

{\mathcal L(E)}

pour laquelle

{F}

est une boule fermée.

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PC

Exercice 1. (★★★) Comparaison de normes ; Dimension ; Bases orthonormées

Soit

{E=C^0([0,1],\mathbb{R})}

{p\geq2}

. Pour

{f\in E}

, on pose

{\lVert f\rVert_p=(\int_0^1|f(t)|^p\,dt)^{1/p}}

a) Pour

{f_n(x)=x^n}

, calculer

{\lVert f_n\rVert_p}

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b) Montrer que

{\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt}

définit un produit scalaire.

Quelle est sa norme associée ?

Soient ${F}$ un sous-espace non nul de ${E}$ et ${C>0}$ . On suppose ${\lVert f\rVert_\infty\leq C\lVert f\rVert_p}$ pour tout ${f\in F}$ .

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c) Montrer que

{F\neq E}

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d) Montrer que

{\lVert f\rVert_p^p\leq\lVert f\rVert_\infty^{p-2}\lVert f\rVert_2^2}

, puis que

{\lVert f\rVert_\infty\leq C^{p/2}\lVert f\rVert_2}

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d) Pour une famille orthonormale

{(u_1,\ldots,u_n)}

{F}

, montrer que

{\left(\sum_{k=1}^n\lambda_ku_k(x)\right)^2 \leq C^p\sum_{k=1}^n\lambda_k^2.}

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e) En prenant

{\lambda_k=u_k(x)}

, montrer que

{\dim F\leq C^p}

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