a) Déterminer les solutions de la forme {t^r} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

b) Écrire {(*)} comme un système différentiel linéaire.

c) Résoudre {(**) : t^2y''+4ty'+2y=e^t} sur {\mathbb{R}_+^\star} par variation des constantes.

d) Vérifier qu’on peut chercher une solution particulière sous la forme {y(t)=z(t)/t}, avec {z\in C^2(\mathbb{R}_+^\star)}.

En déduire toutes les solutions.

Sur {E=C^1([0,1],\mathbb{R})}, soit {\langle f,g\rangle=\int_0^1(fg+f'g')}. Posons {V=\left\{f:f(0)=f(1)=0\right\}} et {W=\left\{f:f''=f\right\}}.

Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire, donner une base de {W}, montrer {V\perp W}, calculer {p_W(f)} et montrer {E=V\oplus W}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}.

Montrer que {f(x)\to0} lorsque {x\to+\infty} si {f+f'=e^{-x}}.

Plus généralement, montrer la même conclusion si {f(x)+f'(x)\to0}.

1) Trouver les solutions développables en série entière près de zéro.

2) Montrer qu’une solution est {C^2} et vérifie {(E):y''+y=0}.

3) Résoudre {(E)}.

4) À l’aide du théorème de Cauchy, trouver toutes les solutions de {(1)}.

On note {(E):t^2y''-2y=3t^2}.

Déterminer les solutions {t\mapsto t^\alpha} de l’équation homogène sur {\mathbb{R}_+^\star}, en déduire une base de son espace de solutions, puis résoudre {(E)} sur cet intervalle.

Rechercher les fonctions {C^1} {x,y,z,u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} vérifiant {x'=x+2y-2z}, {y'=x-y+u}, {z'=x-z+u}, {u'=2y-2z+u}. On note {f} l’endomorphisme de matrice {A=\begin{pmatrix}1&2&-2&0\\[4pt]1&-1&0&1\\[4pt]1&0&-1&1\\[4pt]0&2&-2&1\end{pmatrix}.}Déterminer ses polynômes caractéristique et minimal, justifier avec un minimum de calcul qu’il n’est pas diagonalisable, trouver une base dans laquelle sa matrice vaut {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\[4pt]0&1&0&0\\[4pt]0&0&-1&1\\[4pt]0&0&0&-1\end{pmatrix}}, puis résoudre le système.

a) Montrer que {g} est de classe {C^2} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

b) Calculer {g''(x)} et en déduire une équation différentielle vérifiée par {g}.

c) Déterminer {\lim_{x\to+\infty}g(x)}.

a) Montrer qu’il existe une unique solution développable en série entière vérifiant {y(0)=0}.

b) Résoudre sous forme intégrale ce problème de Cauchy.

c) Montrer que, pour {n\in\mathbb{N}}, {\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\binom nk=\frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}}.

a) Montrer que {E=P\oplus I}.

b) Résoudre {y''-y=\cosh x}.

c) Trouver {f\in E} telles que {f''(x)-f(-x)=\cosh x}.

a) Soit {A\in M_3(\mathbb{R})\setminus\left\{0\right\}} telle que {A^2=0}. Dimension du commutant de {A} ?

b) Soit {A=\begin{pmatrix}1&0&2\\[4pt]0&1&0\\[4pt]2&0&1\end{pmatrix}}.

i) Sans calcul, montrer que {A} est diagonalisable.

ii) Calculer ses valeurs propres et vecteurs propres.

iii) Résoudre {X'=AX}.

1) Montrer {E=P\oplus I}.

2) Déterminer les {f\in E} telles que {f''(x)+f(-x)=x+\cos x}.

1) Résoudre sur {\mathbb{R}^\star} puis sur {\mathbb{R}}.

2) Donner le développement limité à l’ordre trois d’une solution au voisinage de zéro.

Soit {A=\begin{pmatrix}-5&3\\[4pt]6&-2\end{pmatrix}}.

Montrer sa diagonalisabilité, donner ses valeurs propres, montrer l’existence de {B} telle que {B^3=A}, puis résoudre {X'(t)=AX(t)}.

a) Énoncer le théorème de Cauchy linéaire.

b) Avec {g(x)=f(e^x)}, transformer l’équation.

c) Déterminer toutes les solutions.

Résoudre {x'=y+z}, {y'=x}, {z'=x+y+z}.

a) Montrer qu’elle est diagonalisable.

b) Expliciter {P,D} avec {A=PDP^{-1}}.

c) Résoudre {X'=AX} en posant {U=P^{-1}X}.

d) Déterminer les solutions réelles de {X''=AX}.

e) Montrer que l’ensemble des solutions réelles bornées de cette dernière équation est un espace vectoriel et déterminer sa dimension.

1) Montrer son existence.

Est-elle paire ? Continue ?

2) Montrer qu’elle est {C^\infty}.

3) Montrer {f'(x)=\frac x2\int_0^\infty\cos(xt)/(1+t^2)\,dt}.

4) Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaite par {f}.

1) Pour {a} continue et {A} une primitive, montrer que les solutions de {y'+a(x)y=0} sont {\lambda e^{-A(x)}}.

2) Résoudre {(E)}.

1) Déterminer une solution développable en série entière au voisinage de zéro.

2) En déduire que {1/(1+x)} est solution.

3) Trouver une solution indépendante par le changement {y=u/(1+x)}.

1) Montrer que {h} est définie.

2) Montrer que les solutions sur {\mathbb{R}_+^\star} sont {x\mapsto\lambda e^{x/2}+h(x)e^x}, {\lambda\in\mathbb{R}}.

3) Montrer {h(x)=xe^{-1/x}\int_0^\infty e^{-u}/(1+ux)\,du} ; indication : {t=x/(1+ux)}.

4) Donner un équivalent de {h} en {0^+}.

1) Est-elle diagonalisable ?

2) La trigonaliser explicitement.

3) Résoudre {x'=-x-4y+\sinh t}, {y'=x+3y+te^t}.

1) Pour {a\in\mathbb{R}}, résoudre {x''+ax=0}.

2) Résoudre {x''=2y+z}, {y''=2x-z}, {z''=x+y}.

a) Résoudre {y''=-\omega^2y}, avec {y(0)=1} et {y'(0)=0}.

b) Résoudre {y''=\omega^2y}, avec les mêmes conditions initiales.

c) Montrer la formule d’addition de {\cosh} et en déduire que {\cosh} est solution.

d) Montrer que {f(0)\in\left\{0,1\right\}}.

Si {f(0)=0}, montrer que {f=0}.

Si {f(0)=1}, montrer que {f'(0)=0}.

e) Déterminer toutes les solutions.

a) Montrer que {K} est définie sur {\mathbb{R}}. On admet que {F} l’est aussi.

b) i) Pour {x>0}, montrer que {K(x)=xK(1)}.

ii) Montrer que {0\leq K(x)-F(x)\leq\pi/2}, puis que {F(x)\sim xK(1)} en {+\infty}.

c) Montrer que {F\in C^2(\mathbb{R})} et que {F''(x)=\int_0^{+\infty}\cos(2xt)/(1+t^2)\,dt}.

d) Montrer que, sur {\mathbb{R}_+}, {F''-4F=\pi-4xK(1)}.

e) Résoudre cette équation différentielle.

f) Exprimer {F(x)} pour {x\geq0}.

g) Montrer que {F} est paire.

Déterminer {F'(0)}, {K(1)} et l’expression de {F} sur {\mathbb{R}}.

a) Résoudre l’équation homogène sur {]0,+\infty[}.

b) i) Justifier que {f} est bornée sur {[0,x]}.

ii) Montrer que {u^{\alpha-1}f(u)} y est intégrable.

c) Montrer que {T_\alpha(f)} est solution de {(E)} et en déduire toutes les solutions.

d) Montrer qu’il existe {(a_n)} telle que {T_\alpha(f)(x)=\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n/(n+\alpha)}.

e) Montrer que {(E)} admet une unique solution.

a) Trouver les solutions homogènes de la forme {x^\alpha}.

b) Chercher les solutions sous la forme {y=z/x^2}.

a) Pour {q=1}, montrer que toutes les solutions sont bornées.

On note {S_q} l’espace des solutions et {(y_1,y_2)} sa base définie par {y_1(0)=1}, {y_1'(0)=0}, {y_2(0)=0}, {y_2'(0)=1}. On pose {F(y)(t)=y(t+T)}.

b) Montrer que {F} est un endomorphisme de matrice {A=\begin{pmatrix} y_1(T)&y_2(T)\\[4pt] y_1'(T)&y_2'(T) \end{pmatrix}.}

c) Montrer que {W=y_1y_2'-y_1'y_2} est constante.

d) Montrer que {\chi_A=X^2-\operatorname{tr}(A)X+1}.

e) Si {|\operatorname{tr}A|\lt 2}, montrer que {\chi_A} a deux racines conjuguées {\lambda,\overline\lambda}.

Montrer qu’il existe des solutions complexes non nulles {z_1,z_2} telles que {F(z_1)=\lambda z_1} et {F(z_2)=\overline\lambda z_2}.

Soit {E=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):f(0)=f(1)=0\right\}}.

Montrer que c’est un espace vectoriel, donner le domaine de {\cot(\pi x)} et ses équivalents en zéro et en un.

Pour {f\in E}, justifier la convergence de {I=\int_0^1ff'\cot(\pi x)\,dx}, montrer {2\pi I=\pi^2\int_0^1f^2(1+\cot^2(\pi x))\,dx}, puis trouver {\alpha} telle que {\int f^2\le\alpha\int(f')^2}. Indication : développer {\int_0^1|f'-\pi f\cot(\pi x)|^2}.

Étudier l’égalité.

Soit {f_0\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {f_{n+1}(x)=\int_0^xf_n(t)\,dt}.

Rappeler rayon et somme de {\sum\limits x^n/n!}.

Montrer {f_1\in C^1}, puis {f_n\in C^n} et {f_{n+1}'=f_n}. En admettant la majoration factorielle sur les segments, montrer que {F=\sum\limits_{n\ge1}f_n} est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}, puis {F'-F=f_0} et {F(x)=e^x\int_0^xe^{-t}f_0(t)\,dt}.

Démontrer la majoration factorielle.

1) Montrer que la suite est bien définie, décroissante et convergente.

2) Pour {v_n=((n+1)/n)^{3/2}u_{n+1}/u_n}, montrer qu’il existe {c>0} avec {\ln v_n=c/n+O(n^{-2})}.

3) En déduire {u_n\sim a/n^{3/2}} avec {a>0}.

4) Pour {S(x)=\sum\limits_{n\ge0}u_nx^n}, montrer la définition sur {[-1,1]}, puis {2x(1-x)S'+(3-2x)S=3}.

Résoudre cette équation.

Soit {E=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):f(0)=0,f'(1)=0\right\}} et {\Phi(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt}.

Montrer que {E} est un sous-espace, exprimer {\Phi(f)} à l’aide de deux intégrales séparées en {x}, montrer que {\Phi} est un endomorphisme injectif.

Pour un vecteur propre {f} de valeur {\lambda}, montrer {f\in C^2} et {\lambda f''+f=0}. Des valeurs propres négatives ou nulles sont-elles possibles ? {\Phi} est-il surjectif ?

Soit {(E):xy''+xy'-y=0} sur {x>0}.

Trouver une solution {x^\alpha}.

Étudier la convergence de {\int_1^{+\infty}e^{-t}/t^2\,dt} et la divergence de {\int_0^1e^{-t}/t^2\,dt}.

Pour {G(x)=\int_1^xe^{-t}/t^2\,dt}, donner les variations et les limites en zéro et à l’infini.

Avec {s(x)=xf(x)}, trouver et résoudre une équation pour {f}, puis exprimer toutes les solutions de {(E)} à l’aide de {G}.

Soit {f} réelle développable en série entière sur {]-r,r[}, {r>0}, et {\omega>0}.

Poser {T_\omega(f)(x)=x^{-\omega}\int_0^xu^{\omega-1}f(u)\,du}.

Pour {(E):y'+\omega y/x=f(x)/x} sur {]0,r[}, résoudre l’homogène, justifier l’intégrale, vérifier que {T_\omega(f)} est solution et donner toutes les solutions.

Montrer l’existence de {(a_n)} avec {T_\omega(f)(x)=\sum\limits_{n\ge0}a_nx^n/(n+\omega)}.

Montrer l’unicité d’une solution ayant une limite finie en zéro.

a) Trouver une primitive de {(2x-1)/x^2} sur chaque demi-droite.

b) Montrer {f\in C^\infty(\mathbb{R}^\star)} et l’existence de {P_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {f^{(n)}(x)=P_n(1/x)e^{-1/x}}.

c) Étudier les limites, la continuité et la dérivabilité à droite et à gauche en zéro.

d) Résoudre {x^2y'+(2x-1)y=0} sur chaque demi-droite.

e) On admet {P_1=1-2X}, {P_2=1-6+6X^2}, {P_3=1-12X+36X^2-24X^3}.

Déterminer degré et coefficient dominant de {P_n}.

f) {f} est-elle développable en série entière au voisinage de zéro ?

a) Rayon et somme de {\sum\limits_{n\ge0}x^n/n!} ?

b) Montrer que {f_n\in C^1} pour {n\ge1}, préciser {f_n'} et montrer {f_n\in C^n}.

c) En supposant que pour tout {r>0} il existe {K} tel que {|f_n(x)|\le K|x|^n/n!} sur {[-r,r]}, montrer que {F=\sum\limits_{n\ge1}f_n} existe et est {C^1} sur {\mathbb{R}}.

d) Montrer {F'-F=f_0}, puis {F(x)=e^x\int_0^xf_0(t)e^{-t}\,dt}.

e) Démontrer la majoration supposée.

a) Résoudre {y'+2\pi xy=0}, {y(0)=1}. On donne {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}.

b) Montrer que {b_n(t)=t^ne^{-\pi t^2}} est intégrable sur {\mathbb{R}}.

c) Calculer {\int_{\mathbb{R}}b_0}.

d) Pour {B_n(x)=\int_{\mathbb{R}}b_n(t)e^{2i\pi xt}\,dt}, montrer l’existence et la régularité {C^1}.

e) Montrer {B_0(x)=e^{-\pi x^2}}.

f) Montrer que chaque {B_n} est de la forme {P(x)e^{-\pi x^2}} avec {P} polynôme.

Déterminer les solutions sur {\mathbb{R}} de {2x^2y'+y=1}.

Résoudre {y''-5y'+4y=e^t\sin t}.

a) Donner toutes les solutions avec {g_0}.

b) Montrer l’unicité et exprimer la solution avec {g_0,g_0'}.

c) Montrer qu’elle vaut {-\frac{e^x}2\int_x^1f(t)e^{-t}\,dt-\frac{e^{-x}}2\int_0^xf(t)e^t\,dt}.