a) Calculer {\nabla q}.

b) Trouver le minimum et le maximum de {q} sur la sphère unité.

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} deux fois dérivable et majorée, avec {f''\geq\alpha^2f}, {\alpha>0}.

Montrer sa convexité, {f'\leq0}, déterminer les limites de {f,f'}, montrer {\alpha^2f^2-f'^2\leq0}, puis {f(t)\leq f(0)e^{-\alpha t}}.

Déterminer les extrema de {f(u,v)=uv(1-u-v)} sur {[0,1]^2}. Dans un triangle d’aire un, maximiser le produit des distances d’un point intérieur aux trois côtés.

Étudier les extrema sur {\mathbb{R}^2} de {(x,y)\mapsto x^4+y^4+4xy+1}.

Soient {K=\left\{(x,y):x,y\geq0,\ 0\leq x+y\leq1\right\}} et {f(x,y)=xy(1-x-y)}.

Montrer que {f} atteint ses extrema sur {K} et les déterminer.