a) {f} est-elle prolongeable par continuité en {(0,0)} ?

b) Possède-t-elle des dérivées partielles en {(0,0)} ?

c) Étudier sa différentiabilité en {(0,0)}.

1) Donner avec des quantificateurs la définition de la continuité en {(0,0)} d’une fonction {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}}, puis celle de sa différentiabilité en ce point.

2) Pour {f(x,y)=xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2)} hors de l’origine et {f(0,0)=0}, montrer qu’elle est continue puis de classe {C^1} sur {\mathbb{R}^2}.

1) Montrer que {K=g^{-1}(\left\{0\right\})} est compact.

2) Montrer que {f_{|K}} admet un maximum en un point {a}.

3) Calculer la différentielle et le gradient de {g}.

4) Calculer ceux de {f}.

5) Montrer que {a} est un vecteur propre de {u}.

Soit {F=\left\{(x,y):x+y=0\right\}} et {f(x,y)=x^2y^2/(x+y)} hors de {F}, {f=0} sur {F}.

Montrer {f\in C^1(\mathbb{R}^2\setminus F)} et {x\partial_xf+y\partial_yf=3f}.

Calculer les dérivées partielles à l’origine. {f} y est-elle continue ?

a) Déterminer les points critiques.

b) Déterminer leur nature globale.

1) Définir un point critique et expliquer son rapport avec les extrema.

2) Si {(x,y)} est critique, montrer {y+e^{y-1/y}=0}.

3) Montrer l’existence d’un unique point critique {(x_0,y_0)\in\mathbb{Z}^2}.

4) Montrer que {f} n’a pas d’extrémum.

Soient {T=\left\{(x,y):x\geq0,\ y\geq0,\ 1-x-y\geq0\right\}} et {f(x,y)=xy\sqrt{1-x-y}}.

Montrer que {f} admet un minimum et un maximum sur {T} et les déterminer.

Trouver les extrema globaux de {f(x,y)=x^2-2x+xy+y^2} sur {[0,2]\times[-1,0]}.

a) Déterminer les points critiques.

b) Existe-t-il un extremum global ?

c) Déterminer les extrema locaux.

Soit {F=\left\{(x,y):x\ge0,y\ge0,x+y\le1\right\}} et {f(x,y)=(x-y)^2-xy}.

Montrer que {F} est fermé, le dessiner et trouver les extrema de {f}.

a) Montrer que {f} possède un minimum local sur {\mathbb{R}^2}.

b) Ce minimum est-il global ?

a) Déterminer les points critiques.

b) Déterminer les extrema locaux et globaux.

Trouver les points critiques de {f(x,y)=xe^y+ye^x} sur {\mathbb{R}^2} et préciser leur nature.

a) Montrer que {h} est {C^1}, que l’origine est son seul point critique, et décider si elle y a un extremum.

b) Soit {f\in C^1(\mathbb{R}^2)} nulle sur {C}.

i) Justifier {f(t^2,t^3)=0} et en déduire {f_x(0,0)=0}.

ii) Pour {\varphi_t(u)=f(t^2,u)}, montrer l’existence de {\gamma(t)\in]-t^3,t^3[} avec {\varphi_t'(\gamma(t))=0}.

iii) Montrer que l’origine est critique pour {f}.

c) Représenter {C} dans un repère orthonormé.