Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « calcul asymptotique », regroupés par filière.
MP–MPI
Exercice 1. (★★★) développement asymptotique ; convergence dominée ; changement de variable
Pour {n\in\mathbb{N}}, poser {a_n=\int_0^1dt/(1+t^n)}.
a) Montrer que la suite converge et donner sa limite.
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b) Donner un développement asymptotique à deux termes.
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Exercice 2. (★) équivalents ; sommes de Riemann
Pour {p,n\in\mathbb{N}^\star}, poser {S_p(n)=\sum\limits_{i=1}^{n-1}i^p}.
a) Calculer {S_1(n),S_2(n)} et donner leurs équivalents en {+\infty}.
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b) Donner un équivalent de {S_p(n)} pour {p} fixé quelconque.
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Exercice 3. (★★) développement asymptotique ; convergence dominée ; intégration par parties
Pour {n\in\mathbb{N}}, soit {I_n=\int_1^e(\ln t)^n\,dt}.
1) Déterminer sa limite.
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2) Montrer {I_{n+1}=e-(n+1)I_n} et en déduire un équivalent.
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3) Donner un développement asymptotique à deux termes.
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Exercice 4. (★★★) développement asymptotique ; convergence dominée ; changement de variable
Pour {n\in\mathbb{N}}, soit {I_n=\int_0^1dt/(1+t^n)}.
Déterminer sa limite et un développement asymptotique à deux termes.
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PSI
Exercice 1. (★★) Développements limités ; Bijections et fonctions réciproques
Soit {f(x)=x+\ln(1+x)}.
a) Montrer que {f} est une bijection de son domaine sur un intervalle à préciser. On note {g} sa réciproque.
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b) Donner {g(0)} et {g'(0)}.
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c) Montrer que {g} admet un développement limité à tout ordre en {0}.
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d) Calculer ce développement à l’ordre {3}.
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Exercice 2. (★★) Suites numériques ; Fonctions d’une variable réelle ; équivalents
1) Pour {n\geq1}, montrer que {xe^{\sqrt x}=\sqrt n} possède une unique solution {x_n\geq0}.
2) Déterminer sa limite.
3) Donner un équivalent de {x_n}.
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PC
Exercice 1. (★★) Primitives ; Développements limités ; Intégrabilité
Soit {f(x)=\int_x^{4x}\sin t/(1+t)\,dt}.
a) Déterminer le domaine de définition.
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b) Donner un développement limité en {0} à l’ordre {3}.
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Exercice 2. (★★) développements limités ; bijections et fonctions réciproques ; dérivation et composition
Montrer que {f(x)=xe^{x^2}} est une bijection de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{R}} et déterminer un développement limité d’ordre {5} de {f^{-1}} en zéro.
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Exercice 3. (★★★) Taylor-Young à l'ordre deux ; matrice hessienne ; points critiques
Soit {f(x,y)=x\ln y-y\ln x}.
a) Montrer que {(e,e)} est critique.
b) Calculer de deux manières un développement limité d’ordre {2} de {x\mapsto f(x-e,x+e)}.
Qu’en déduire ?
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