Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « arithmétique dans ℤ et dans K[X] », regroupés par filière.
MP–MPI
Exercice 1. (★★★) indicatrice d’Euler ; divisibilité ; nombres premiers
a) Coder une fonction PremierDiviseur qui retourne, pour {n\geq2}, son plus petit diviseur premier.
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b) Soient {n\geq2} et {p} un diviseur premier de {n}. On rappelle que {\varphi} désigne l’indicatrice d’Euler.
Montrer que si {p^2\mid n}, alors {\varphi(n)=p\varphi(n/p)}, sinon {\varphi(n)=(p-1)\varphi(n/p)}.
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c) En déduire une fonction récursive en Python qui calcule {\varphi(n)}.
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Exercice 2. (★) lemme de Gauss ; congruences ; entiers premiers entre eux
Soient {a,b,c\in\mathbb{Z}^\star}, {\gcd(a,b)=1}.
Montrer que {a\mid c}, {b\mid c} entraînent {ab\mid c}.
Résoudre {x\equiv6\pmod{17}}, {x\equiv4\pmod{15}}.
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Exercice 3. (★★) nombres premiers ; factorisation ; divisibilité
Soient {a,n} deux entiers supérieurs ou égaux à deux.
Montrer que, si {a^n-1} est premier, alors {a=2} et {n} est premier.
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Exercice 4. (★) congruences ; anneaux Z/nZ ; équations polynomiales
Résoudre {x^2+x+1=\overline0} dans {\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}} et dans {\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}}.
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