Déterminer sa loi, retrouver l’identité de Vandermonde {\sum\limits_{k=0}^n\binom{N_1}k\binom{N_2}{n-k}=\binom{N_1+N_2}n}, programmer une fonction Hypergeom(N1,N2,n) simulant {X}, calculer son espérance, puis programmer Moyenne(N1,N2,n,k).

Comparer moyenne empirique et espérance pour {N_1=10}, {N_2=13}, {n=5}, {k=100}.

Si {X} prend ses valeurs dans {I}, et si {X} et {f(X)} admettent une espérance, montrer {f(\mathbb E(X))\le \mathbb E(f(X))}.

Montrer {\operatorname{Cov}(L_1,L_2)=-(p-q)^2/(pq)}.

Poser {Y_i=X_1+\cdots+X_i} et {M=(\operatorname{Cov}(Y_i,Y_j))_{i,j}}.

Relier {M} à {A^TA}, où {A} est triangulaire supérieure, avec tous les coefficients diagonaux et au-dessus égaux à un.

Encadrer les valeurs propres de {M}.

2) En déduire {\mathbb E(C_n)=o(n)}.

3) Si les {X_n} sont d’espérance finie, montrer {\mathbb{P}(X_1\ge k)=o(1/k)}.

4) En déduire {\mathbb E(C_n)=o(\sqrt n)}.

b) Montrer qu’elles ont des moments de tout ordre et calculer leurs espérances.

c) Même question pour {T/U}.

d) Exprimer {V(T/U)} en fonction de {V(Y_1)}.

b) Calculer {S(t)} sur {]-R,R[}. Soit {X} à valeurs dans {\mathbb{N}} telle que {G_X(t)=\lambda S(t)} sur {[-1,1]}.

c) Que vaut {\lambda} ?

d) Calculer {P(X=n)}.

e) Calculer l’espérance et la variance de {X}.

b) Prouver {U^TSU=V(\sum\limits u_iX_i)}.

c) On ordonne ses valeurs propres {\lambda_n\le\cdots\le\lambda_1}.

i) Montrer {U^TSU\le\lambda_1\lVert U\rVert^2}.

ii) En déduire {f(U)\le\lambda_1}, avec égalité exactement pour les vecteurs propres associés à {\lambda_1}.

d) Pour {0\lt a\lt 1}, on choisit {S=\begin{pmatrix}1&a&a\\[4pt]a&1&a\\[4pt]a&a&1\end{pmatrix}}.

i) Donner les valeurs propres.

ii) En déduire le maximum de {f} et les vecteurs où il est atteint.

Déterminer sa loi et l’existence et les valeurs de son espérance et de sa variance.

Calculer {\mathbb{P}(S=1)}, {\mathbb{P}(S=2)}, {\mathbb{P}(S=3)} et {\mathbb E(S)}.

Montrer, pour {\lambda,\mu>0}, {\mathbb{P}(X\geq\lambda)\leq\frac{\sigma^2+\mu^2}{(\lambda+\mu)^2},\qquad \mathbb{P}(X\geq\lambda)\leq\frac{\sigma^2}{\lambda^2+\sigma^2}.}

Calculer {\mathbb E(Y)} et {\mathbb{P}(2X\lt Y)}.

Calculer espérance et variance.

Poser {X=\operatorname{card}\left\{i\le n:X_i=1\right\}} et {Z=\operatorname{card}\left\{i\le n:X_i=X_1\right\}}.

Donner la loi, l’espérance et la variance de {X}. {X,Z} sont-elles indépendantes ?

Calculer {G_Z} et {\mathbb E(Z)}.

b) Espérance et variance de {S_n} ?

b) Déterminer la limite de {V(S_n/n)}.

c) Montrer {P(|S_n/n-(p_1+\cdots+p_n)/n|>\varepsilon/2)\to0}.

d) Montrer {P(|S_n/n-p|>\varepsilon)\to0}.

2) Donner sa fonction génératrice et son rayon.

3) Calculer son espérance, si elle existe.

2) Soit {\mathbb{P}(X_k=n)=\binom nk(1-\lambda)^{n-k}\lambda^{k+1}} pour {n\geq k}.

Donner sa fonction génératrice, son rayon et son espérance.

Montrer que {Y=1/(2X+1)} possède une espérance et calculer celle-ci.

Donner sa loi, son espérance et sa variance.

Calculer {\operatorname{Cov}(Y_n,Y_{n+k})} pour {k\geq1}.

ii) En déduire {\int_0^1fg\geq(\int_0^1f)(\int_0^1g)}.

Soit maintenant {X} une variable discrète à valeurs dans {[1,+\infty[}, avec valeurs distinctes {x_k} et probabilités {p_k}. On pose {f_k(t)=p_ke^{-tx_k}}. On pose {F_X(t)=\mathbb E(e^{-tX})}.

b) Déterminer sa loi.

c) Calculer son espérance et sa variance.