a) Montrer que {f} est un endomorphisme symétrique.

b) Trouver ses éléments propres.

a) Si {u} possède deux valeurs propres réelles non nulles de signes opposés, montrer qu’il existe {z\ne0} tel que {u(z)\perp z}.

b) Même conclusion si {u} est symétrique de trace nulle.

c) Si {u} est simplement de trace nulle, introduire sa matrice {A} puis l’endomorphisme associé à {A+A^T}, et conclure encore.

a) Montrer que {F=\left\{x:\lVert p(x)\rVert=\lVert x\rVert\right\}}, que {\lVert p(x)\rVert\leq\lVert x\rVert} et que {\langle p(x),y\rangle=\langle x,p(y)\rangle}.

Que signifie la dernière identité ?

b) Si {p_Fp_G} est le projecteur orthogonal sur un sous-espace {H}, montrer que {F\cap G=H}, puis que {p_Fp_G=p_Gp_F}.

Soit {K:[0,1]^2\to\mathbb{R}} continue symétrique et {u(f)(x)=\int_0^1K(x,t)f(t)dt} sur {E=C^0([0,1])} muni du produit scalaire intégral. En utilisant Fubini, montrer que {u} est un endomorphisme autoadjoint et continu.

Rappeler Gram-Schmidt.

Montrer que toute {A\in GL_n(\mathbb{R})} s’écrit de façon unique {A=OT}, avec {O} orthogonale et {T} triangulaire supérieure à diagonale strictement positive.

Soient {a,b} indépendants dans un espace euclidien et {u(x)=\langle a,x\rangle a+\langle b,x\rangle b}.

Montrer sa symétrie, déterminer son noyau et ses éléments propres.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} dont la première ligne et la première colonne valent un, les autres coefficients étant nuls.

Déterminer son rang, ses espaces propres et la matrice de la projection orthogonale sur son image.

Pour {u,v} autoadjoints, montrer que {uv=vu} équivaut à l’autoadjonction de {uv}, puis à l’existence d’une base orthonormée propre commune.

Caractériser les symétries orthogonales de {\mathbb{R}^3} commutant avec la symétrie par rapport au plan {x+y+z=0}.

Si {u} euclidien vérifie {\langle ux,x\rangle=0} pour tout {x}, est-il nul ?

Montrer l’équivalence entre {uu^\star=u^\staru}, l’égalité {\langle ux,uy\rangle=\langle u^\starx,u^\stary\rangle} pour tous {x,y}, et {\lVert ux\rVert=\lVert u^\starx\rVert} pour tout {x}.

Pour {x_1,\ldots,x_n} dans un espace euclidien, soit {G=(\langle x_i,x_j\rangle)}.

Montrer {G\in S_n^+}, trouver {A\in M_n(\mathbb{R})} avec {G=A^TA}, et montrer que le rang de {G} est celui de la famille.

Soit {u} normal réel, {u^\staru=uu^\star}.

Pour {ux=\lambda x}, montrer {\lVert u^\starx\rVert^2=\lambda^2\lVert x\rVert^2}, puis que {u,u^\star} ont mêmes espaces propres.

Montrer leur orthogonalité pour des valeurs distinctes et que, si {u} est diagonalisable, il est symétrique.

Pour {f} autoadjoint, de plus petite valeur propre {a} et plus grande {b}, montrer {a\lVert x\rVert^2\leq\langle x,fx\rangle\leq b\lVert x\rVert^2}.

Pour la matrice tridiagonale de diagonale {k} et de diagonales voisines un, montrer que sa plus grande valeur propre est au plus {k+2}.

Soit {f:A\in M_n(\mathbb{R})\mapsto A^TA}.

Montrer que {f} est {C^1} et que {df_{I_n}(H)=H^T+H}.

Déterminer son noyau, puis en déduire que l’espace tangent à {O_n(\mathbb{R})} en {I_n} est {A_n(\mathbb{R})}.

Pour {A=\begin{pmatrix}x&1&0\\[4pt]1&0&-1\\[4pt]0&-1&0\end{pmatrix}}, {x\in\mathbb{R}}, discuter diagonalisation et inversibilité, puis calculer l’inverse lorsqu’il existe.

Donner la matrice de la rotation autour de la droite {x-y+z=x+y+z=0} telle que {R(e_1)=(e_1+e_3)/\sqrt2}.

Pour {u} autoadjoint et {p} projection orthogonale sur {F}, montrer que {pu} est autoadjoint exactement si {F} est stable par {u}.

a) Montrer {(\operatorname{Im}g)^\perp=\ker g}.

b) Montrer {n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}f^kx\to h(x)}.

Si {XX^{\mathsf T}X=-I}, montrer {X} symétrique puis déterminer {X}.

a) Déterminer {S^+(E)\cap O(E)}.

b) Montrer la stabilité de {S^+} par addition ; est-ce un espace vectoriel ?

c) Construire une racine carrée positive de tout {u\ge0}.

d) Montrer {\ker(u+v)=\ker u\cap\ker v} et {\operatorname{Im}(u+v)=\operatorname{Im}u+\operatorname{Im}v}.

1) Montrer {H_v\in O_n(\mathbb{R})}.

2) Quelle est la nature de l’endomorphisme associé ?

3) Pour {x,y\ne0} de même norme, montrer que {x-y} et {x+y} sont orthogonaux, puis qu’il existe {V\in O_n(\mathbb{R})} tel que {Vx=y}.

1) Montrer {a\lVert x\rVert^2\leq\langle fx,x\rangle\leq b\lVert x\rVert^2}.

2) Si {r\geq0} et {\langle fx,x\rangle\leq r\lVert x\rVert^2} pour tout {x}, montrer {b\leq r}.

3) Pour la matrice de diagonale {k\in\mathbb{R}}, de coefficients un immédiatement au-dessus et au-dessous, nulle ailleurs, montrer que sa plus grande valeur propre est au plus {k+2}.

Soient {a,b} deux vecteurs unitaires non colinéaires d’un espace euclidien {E}.

Montrer que {\varphi(x)=\langle a,x\rangle a+\langle b,x\rangle b} est autoadjoint et donner ses éléments propres.

Soient {E} euclidien de dimension {n\geq3} et {a,b\in E} non colinéaires.

Pour {f(x)=\langle a,x\rangle a+\langle b,x\rangle b}, déterminer le noyau et l’image, puis montrer que {f} est autoadjoint.

Pour {M,N\in S_n^+(\mathbb{R})}, montrer {0\leq\operatorname{tr}(MN)\leq(\operatorname{tr}M)(\operatorname{tr}N)}.

Sur {M_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire usuel, soit {A\in S_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe {\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}} tels que {\chi_A=\prod\limits_{k=1}^n(X-\lambda_k)} et {\lVert A\rVert^2=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k^2}.

1) Pour {f\in S(E)}, montrer {f\in C\iff f(F)\subset F}.

2) Pour {f\in S^+(E)}, montrer {f^2=p\iff f=p}.

Soit {E} un espace euclidien orienté de dimension {3}, {\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)} une base orthonormée directe, {e=(e_1-e_2+e_3)/\sqrt3} et {D=\mathbb{R}e}.

Déterminer la matrice de la rotation d’axe orienté par {e} et d’angle {2\pi/3}.

Montrer que, pour toute {A\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}, {(\operatorname{tr}A)^2\leq \operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)}.

a) Montrer que la matrice d’une projection orthogonale dans une base orthonormée est symétrique.

b) Montrer que toute matrice réelle {A} telle que {A^2=A} et {A^T=A} représente une projection orthogonale dans la base canonique.

c) Que dire de {M=\frac1{14}\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]2&4&6\\[4pt]3&6&9\end{pmatrix}} ?

a) Montrer l’équivalence entre {\langle u(x),x\rangle>0} pour tout {x\neq 0} et {\operatorname{Sp}(u)\subset\mathbb{R}_+^\star}. Un tel endomorphisme est dit défini positif.

b) Si {a,b} sont symétriques définis positifs, montrer qu’il existe un unique {c\in\mathcal{L}(E)} tel que {b=ac+ca}.

c) Montrer que {c} est symétrique défini positif.

a) Montrer que {A} est inversible.

b) Montrer que {A} est symétrique.

c) En déduire que {A=I_n}.

Sur {\mathbb{R}^3} euclidien, soit {A=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]c&a&b\\[4pt]b&c&a\end{pmatrix}}.

Caractériser par trois équations le fait que son endomorphisme soit une rotation.

Montrer que cela équivaut à ce que {a,b,c} soient les racines de {X^3-X^2+p}, avec {p\in[0,4/27]}.

Si {b=c\ne0}, déterminer axe et angle.

Soient {a,b,c\in\mathbb{R}} et {A=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]c&a&b\\[4pt]b&c&a\end{pmatrix}}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {A} soit une matrice de rotation vectorielle.

a) Montrer que {M^TM} est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres.

b) Montrer que {M\in O_n(\mathbb{R})}.

c) Pour {n=3}, déterminer toutes ces matrices.

a) Rappeler Cauchy-Schwarz.

b) Montrer {(\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i)^2\le r\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i^2}.

c) Pour {B\in S_n(\mathbb{R})}, montrer {(\operatorname{tr}B)^2\le\operatorname{rg}(B)\operatorname{tr}(B^2)}.

d) Soit {B} symétrique avec {b_{ii}=1} et {|b_{ij}|\le1/\sqrt n} pour {i\ne j}.

e) Exprimer {\operatorname{tr}(B^2)} et montrer qu’elle est au plus {2n}.

f) Montrer {\operatorname{rg}B\ge n/2}.

a) Montrer que {M} est inversible.

b) Montrer qu’elle est symétrique.

c) Montrer que {M=I_n}.

1) Pour {AX=\alpha X}, montrer {ABX=0}.

2) En déduire {AB=BA=0}.

Soit {E} euclidien de dimension {n} et {e_1,\ldots,e_n\in E} tels que {\lVert x\rVert^2=\sum\limits_{i=1}^n\langle x,e_i\rangle^2} pour tout {x}.

Montrer que cette famille est une base orthonormée.

1) Montrer {p(x)=x-\langle x,u\rangle u/\lVert u\rVert^2}.

2) Montrer {s(x)=x-2\langle x,u\rangle u/\lVert u\rVert^2}.

3) Pour {H=\left\{(x,y,z):x-y+z=0\right\}} dans {\mathbb{R}^3}, donner la matrice de {s}.

1) Montrer qu’elle conserve l’orthogonalité.

2) Si {a,b} sont unitaires, calculer {\langle a+b,a-b\rangle}.

3) Si {g} conserve l’orthogonalité, montrer que {g} est une similitude.

Conclure.

1) Montrer que {N} est symétrique.

2) Montrer {\langle NX,X\rangle\geq0} pour tout {X}.

3) Montrer {N^3=N}.

4) En déduire que {M} est orthogonale.

5) Pour {n=2}, déterminer toutes les matrices satisfaisant l’équation initiale.

1) Montrer qu’ils sont autoadjoints.

2) Montrer qu’ils sont positifs.

3) Montrer qu’ils ont les mêmes valeurs propres non nulles.

4) Montrer {\ker f=\ker(qp)} et {\ker g=\ker(pq)}.

5) Montrer {f=g} si et seulement si {pq=qp}.

1) Montrer que la rotation {\Phi} d’axe orienté {\operatorname{Vect}n} et d’angle {\theta} satisfait {\Phi(u)=\cos\theta\,u+(1-\cos\theta)\langle u,n\rangle n+\sin\theta(n\wedge u).}

2) Donner sa matrice pour {\theta=\pi/3} et {n=(1,1,1)^T/\sqrt3}.

Soient {A\in M_n(\mathbb{R})} et {B=A+A^T}.

Si {B^k=0} pour un {k\geq1}, montrer que {A} est antisymétrique.

1) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, montrer que {S=AA^T} est symétrique positive.

2) Si {S\in S_n(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {S=AA^T}.

Pour {u} sur un espace euclidien, considérons : (i) {u\in O(E)} ; (ii) {u^2=-I} ;

(iii) {\langle ux,x\rangle=0} pour tout {x\in E}.

Montrer que deux de ces propositions impliquent la troisième.

1) Justifier la diagonalisabilité de {M^TM}.

2) Déterminer ses valeurs propres.

3) Montrer {M/\sqrt2\in O_2(\mathbb{R})}.

4) Déterminer toutes les matrices vérifiant les hypothèses.

a) Montrer que {B} est diagonalisable.

b) Montrer que {0} est valeur propre de {B}.

a) Montrer que {A^TA} est nilpotente.

Est-elle diagonalisable ?

b) En déduire que {A^TA=0}, puis que {A=0}.

a) Pour un vecteur colonne réel {X}, montrer que {X^TAX} est réel, calculer sa transposée et montrer qu’il est nul.

b) Montrer que la seule valeur propre réelle possible de {A} est {0}.

En déduire que {M,N} sont inversibles.

c) Montrer que {M,N} commutent, ainsi que leurs inverses.

Montrer que {\Omega=MN^{-1}} est orthogonale et n’admet pas {-1} comme valeur propre.

d) Si {U\in O_n(\mathbb{R})} n’admet pas {-1} comme valeur propre, montrer qu’il existe une unique matrice antisymétrique {B} telle que {U=(I_n+B)(I_n-B)^{-1}}.

a) Justifier que {A} admet une plus petite et une plus grande valeur propre.

b) Montrer que ses coefficients diagonaux sont compris entre ces deux valeurs.

Soit {\Delta=\left\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\text{ pour tout }M\right\}}, et {f_A(M)=A^TMA}.

Montrer que {\Delta} est un sous-espace ; admettre d’abord {\Delta=\mathbb{R}I}.

Si {f_A=I}, montrer que {A} est orthogonale puis {A=\pm I}.

Montrer {f_A} bijective si et seulement si {A} est inversible.

Exprimer les colonnes de {AE_{ij}} et les lignes de {E_{ij}A}, puis démontrer {\Delta=\mathbb{R}I}.

Soit {M\in M_{2n+1}(\mathbb{R})} dont la ligne et la colonne centrales sont entièrement égales à un, tous les autres coefficients étant nuls.

Est-elle diagonalisable ?

Donner ses valeurs propres.

Dans {\mathbb{R}^4} euclidien, déterminer une base orthonormée de l’orthogonal de {F=\left\{(x,y,z,t):x+y+z+t=0,\ x-y+z-t=0\right\}}.

Pour trois réels distincts {a,b,c}, poser sur {E=\mathbb{R}_2[X]} {\langle P,Q\rangle=P(a)Q(a)+P(b)Q(b)+P(c)Q(c)}.

Montrer que c’est un produit scalaire.

Pour {F=\left\{P:P(a)+P(b)+P(c)=0\right\}}, déterminer {F^\perp} et {d(X^2,F)}.

Déterminer {m=\min_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}\int_0^{+\infty}(t^3-at^2-bt-c)^2e^{-t}\,dt}.

Pour {n\ge2}, poser {\Delta=\left\{A\in M_n(\mathbb{R}):AM=MA\text{ pour tout }M\right\}}, {f_A(M)=A^TMA}.

Montrer que {\Delta} est un sous-espace.

Si {f_A=I}, montrer que {A} est orthogonale, puis, en admettant {\Delta=\mathbb{R}I}, que {A=\pm I}.

Montrer {A} inversible si et seulement si {f_A} est bijective.

Décrire les colonnes de {AE_{ij}} et les lignes de {E_{ij}A}, puis établir {\Delta=\mathbb{R}I}.

Soit {f\in O(E)} dans un espace euclidien.

Montrer que {\ker(f-I)} et {\operatorname{Im}(f-I)} sont orthogonaux, puis supplémentaires orthogonaux.

Pour {A\in M_{5,10}(\mathbb{R})} et {B=A^TA}, justifier que {B} est bien définie et diagonalisable. Zéro est-il valeur propre de {B} ?

Soit {n} impair.

Montrer que toute {A\in M_n(\mathbb{R})} a une valeur propre réelle.

Pour {A} antisymétrique, montrer {\operatorname{Sp}_{\mathbb{R}}A=\left\{0\right\}}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, soit {\varphi_A(M)=AM^TA}.

Avec {\langle M,N\rangle=\operatorname{tr}(M^TN)}, montrer que {\varphi_A} est un endomorphisme symétrique.

a) Déterminer son rang.

b) Est-elle diagonalisable ?

Déterminer ses valeurs propres.

a) Si {f} est diagonalisable, montrer que {g} l’est.

b) Si les valeurs propres de {f} sont distinctes, montrer que celles de {g} le sont aussi.

c) Que dire d’une matrice symétrique réelle ?

Donner un contre-exemple symétrique complexe.

Soient {A=(a_{ij})\in S_n(\mathbb{R})} et ses valeurs propres {\lambda_1,\ldots,\lambda_n}.

Montrer {\operatorname{tr}(AA^T)=\sum\limits_{i,j}a_{ij}^2=\sum\limits_i\lambda_i^2}.