Montrer les deux inégalités : {xf(x)\leq2\int_0^xf(t)dt-xf(0)} pour {0\leq x\leq1}, puis {\int_0^1xf(x)dx\leq\frac23\int_0^1f(x)dx}.

Montrer que {h=0}.

b) Montrer que {(f,g)\mapsto\int_a^b fg} définit un produit scalaire sur {E}.

c) Majorer {\int_a^b\sqrt x e^{-x}\,dx} avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Déterminer {\int_a^b g(t)\,dt}.

b) Même question si, pour tout {x\in\mathbb{R}}, {\int_a^b|f(t)+xg(t)|\,dt\ge\int_a^b f(t)\,dt}.

La conclusion reste-t-elle vraie avec seulement {f\ge0} ?

ii) les sommes de Riemann.

Calculer {I_0,I_1}, exprimer {I_{n+2}} en fonction de {I_n}, puis expliciter {I_n} selon la parité.

i) Montrer que {f'(x+1)=f'(x)} en choisissant des valeurs de {n}.

ii) Montrer que {x\mapsto\int_x^{x+1}f'(t)\,dt} est constante, puis que {f'} est constante.

b) Donner toutes les solutions.

b) Calculer {\int_{-\pi}^{\pi}\frac{te^{it}}{1+\cos^2t}\,dt}.

b) Relier {I_n,I_{n+1}} et donner {\lim nI_n}.

c) Trouver {a,b,c} tels que {I_n=a+b/n+c/n^2+o(n^{-2})}.

(ii) la convergence de la série des intégrales ;

(iii) la convergence vers zéro de l’intégrale du reste ?

Relier {\int_a^bf} à {\int_a^bf''P}, puis montrer {|\int_a^bf|\le(b-a)^3\lVert f''\rVert_\infty/12}.

b) Montrer leur régularité et {\int_a^bfg=G(b)f(b)-\int_a^bGf'}.

c) Avec {h(x)=F(b)G(x)-F(x)G(b)}, montrer l’existence de {c} tel que {F(b)G'(c)=F'(c)G(b)}, puis {\int_a^bfg=f(c)\int_a^bg}.

d) Si {f'} ne s’annule pas, montrer {\int_a^bfg=f(a)\int_a^cg+f(b)\int_c^bg} pour un {c}.

e) Si {f} est positive décroissante, montrer {\int_a^bfg=f(a)\int_a^cg} pour un {c}.

b) Montrer {\cosh\alpha=\sqrt2}.

c) Pour {I_n=\int_0^\alpha\sinh^n t\,dt}, montrer la décroissance et calculer {I_0,I_1}.

d) Montrer {(n+2)I_{n+2}+(n+1)I_n=\sqrt2}.

e) Montrer {I_n\sim1/(n\sqrt2)}.

f) Domaine de {f(x)=\sum\limits_{n\ge0}I_nx^n} ?

g) Montrer {f(x)=\int_0^\alpha dt/(1-x\sinh t)}.