a) Montrer que c'est un produit scalaire.

b) Trouver une base orthonormée.

c) Montrer que {|\operatorname{tr}A|\leq\sqrt n\lVert A\rVert}.

d) Pour {G=\mathbb{R}I_n}, déterminer {G^\perp} et {d(M,G^\perp)}.

Soit {(e_1,\ldots,e_n)} une base orthonormée et {\lVert f_k-e_k\rVert\lt 1/\sqrt n} pour tout {k}.

Montrer que {(f_k)} est une base, et que le résultat peut échouer avec {\leq}.

Calculer {I_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}dt} et montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_0^\infty PQe^{-t}} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

Pour {L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})}, montrer que c'est un polynôme de coefficient dominant {(-1)^n/n!}, et que la famille {(L_n)} est orthogonale.

Soit {v\in\mathcal L(E)} sur un espace euclidien, tel que {\lVert v(x)\rVert\leq\lVert x\rVert} pour tout {x}.

Montrer {\ker(v-I)\oplus\operatorname{Im}(v-I)=E}, puis la convergence de {w_p(x)=\frac1{p+1}\sum\limits_{k=0}^pv^kx} et donner sa limite. On suggère de considérer {\lVert x+ty\rVert^2-\lVert v(x+ty)\rVert^2}.

Montrer que {\int_0^1PQ} définit un produit scalaire sur {\mathbb{R}[X]}.

Minimiser {\int_0^1(t^2-at-b)^2dt}, à l'aide d'une base orthonormée de {\mathbb{R}_1[X]}, puis par orthogonalité du résidu.

Calculer {\inf_{a,b\in\mathbb{R}}\int_0^\infty e^{-t}(t^2-at-b)^2dt}.

Soit {E=\operatorname{Vect}(1,t,e^t)} sur {[0,1]}.

Montrer que {\int_0^1fg} est un produit scalaire, trouver une base orthonormée de {F=\operatorname{Vect}(1,t)}, puis les {a,b} minimisant la distance entre {e^t} et {at+b}.

a) Donner la projection orthogonale sur un sous-espace dont une base orthonormée est connue.

b) Donner la matrice de projection sur la droite {6x=4y=z}.

a) Montrer que c'est un produit scalaire.

b) Projeter {\sin^2x} sur {\operatorname{Vect}(\cos x,\cos2x)}.

a) Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont supplémentaires orthogonales pour Frobenius.

b) Calculer la distance d'une matrice {M} aux symétriques.

Dans {M_n(\mathbb{R})} muni du produit scalaire canonique, calculer la distance de la matrice {M} dont tous les coefficients valent un à l'espace {F} des matrices de trace nulle.

Sur {C^0([0,1],\mathbb{R})} muni de {\langle f,g\rangle=\int_0^1fg}, soit {F=\operatorname{Vect}(1,t\mapsto t)}.

Calculer la distance de {\Phi:t\mapsto t^2} à {F}.

1) Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont supplémentaires orthogonaux.

2) Calculer la distance de {M=\begin{pmatrix}0&2&1\\[4pt]2&0&2\\[4pt]-1&-1&0\end{pmatrix}} à {S_3(\mathbb{R})}.

1) Montrer que {\langle f,g\rangle=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}fg} est un produit scalaire.

2) Déterminer le projeté orthogonal de {x\mapsto\sin^2x} sur {\operatorname{Vect}(\cos x,\cos2x)}.

a) Montrer que {f} est un produit scalaire.

b) Déterminer une base orthonormée de {E}.

c) Exprimer les coordonnées d'un polynôme dans cette base.

Que remarque-t-on ?

a) Montrer que {\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)} est un produit scalaire sur {\mathcal{M}_2(\mathbb{R})}.

b) Montrer que {E=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}} est un sous-espace vectoriel.

c) Donner une base orthonormée de {E^\perp}.

d) Déterminer la distance de {\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}} à {E^\perp}.

a) Montrer que {\varphi} est un produit scalaire.

b) Pour {F=\left\{P:\sum\limits_{k=0}^{n}P(a_k)=0\right\}}, déterminer {F^\perp}.

c) Déterminer la distance de {P\in E} à {F}.

Sur {\mathbb{R}_3[X]}, poser {\langle A,B\rangle=\sum\limits_{k=0}^3a_kb_k}.

Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.

Pour {H=\left\{P:P(1)=0\right\}}, donner dimension, base, puis base orthonormée.

Sur {E=C^0([-1,1],\mathbb{R})}, poser {\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg}. Soient {F} les fonctions nulles sur {[0,1]} et {G} celles nulles sur {[-1,0]}.

Montrer que c'est un produit scalaire, que {F,G} sont en somme directe orthogonale, dire s'ils sont supplémentaires, puis montrer {G=F^\perp}.

Soit {p} un projecteur d'un espace euclidien.

Développer {\lVert y+\lambda z\rVert^2}, puis montrer que {p} est orthogonal si et seulement si {\lVert p(x)\rVert\le\lVert x\rVert} pour tout {x}.

a) Montrer {\lVert \sum\limits\lambda_iu_i\rVert^2\le(\sum\limits\lambda_i^2)(\sum\limits\lVert u_i\rVert^2)}.

b) En déduire que {(u_i+e_i)_{1\le i\le n}} est une base.

a) Montrer que c'est un produit scalaire et calculer {\langle X^k,1\rangle}. Soit {Q=\sum\limits_{k=1}^na_kX^k} le projeté orthogonal de {1} sur {\operatorname{Vect}(X,\ldots,X^n)} et {P=1-\sum\limits_{k=1}^na_k(X+1)\cdots(X+k)}.

b) Montrer que {P(i)=0} pour {1\le i\le n} en calculant {\langle1-Q,X^i\rangle}.

c) En déduire {P}.

d) Montrer que {\inf_{\alpha\in\mathbb{R}^n}\int_0^{+\infty}(1+\alpha_1t+\cdots+\alpha_nt^n)^2e^{-t}\,dt=1/(n+1)}.

1) Énoncer Cauchy--Schwarz.

2) Pour {x_i>0} avec {\sum\limits_{i=1}^nx_i=1}, montrer {\sum\limits_{i=1}^n1/x_i\geq n^2}.

1) Pour {H=\left\{P:P(1)=0\right\}}, montrer que c'est un sous-espace et donner sa dimension.

2) Déterminer la distance de {X} à {H}.

3) Pour {n=3}, donner une base orthonormée de {H}.

1) Montrer que c'est un produit scalaire.

2) Donner une base orthonormée.

3) Calculer {d(X^2+X-2,\mathbb{R}_1[X])}.

1) Énoncer Cauchy--Schwarz et son cas d'égalité.

2) Montrer {|x+ty|/\sqrt{x^2+y^2}\leq\sqrt{1+t^2}} pour {x,y,t\in\mathbb{R}}.

3) Montrer que le supremum du quotient, pour {(x,y)\ne(0,0)}, vaut {\sqrt{1+t^2}}.

1) Montrer que c'est un produit scalaire.

2) Soient {F} les fonctions nulles sur {[0,1]} et {G} celles nulles sur {[-1,0]}.

Montrer que ce sont des sous-espaces orthogonaux et en somme directe.

3) Sont-ils supplémentaires ?

4) Montrer {G\subset F^\perp}.

5) Pour {g\in F^\perp}, définir {f_n\in F}, égale à {g(0)} sur {[-1,-1/n]}, affine sur {[-1/n,0]} et nulle sur {[0,1]}.

Calculer {\langle f_n,g\rangle} et montrer {g(0)\int_{-1}^0g=0}. En utilisant la fonction égale à {g-g(0)} sur {[-1,0]} et nulle sur {[0,1]}, montrer {g\in G}.

1) Si {u+v=2I}, montrer {u=v=I}.

2) S'il existe {m\in\mathcal L(E)} tel que {umu^{-1}+vmv^{-1}=2m}, que dire de {u,v,m} ?

1) Pour {x,y\in F}, montrer que {z=\langle x,v\rangle y-\langle y,v\rangle x} appartient à {F\cap G}.

2) Montrer que tout élément de {G} est limite d'éléments de {F\cap G}.

Trouver les plans tangents à {x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1} parallèles au plan {x+y+z=0}.

a) Vérifier qu'il s'agit d'un produit scalaire.

b) Montrer que {F=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]-b&a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}} est un sous-espace et en trouver une base.

b) Déterminer une base orthonormée de {F^\perp}.

c) En déduire la projection orthogonale de {J} sur {F^\perp}.

a) Donner {p(x)}.

b) Donner la matrice de la projection orthogonale sur le plan {x-2y+z=0}.

Soient {E} un espace euclidien et {f,g\in\mathcal{L}(E)} tels que {fg=gf}. Dans une base orthonormée, la matrice {S} de {f} est symétrique et celle {T} de {g} antisymétrique.

Montrer que {f(x)\perp g(x)} pour tout {x\in E}.

Soient {E} euclidien et {a} unitaire. Pour quels réels {k} la forme {\varphi(x,y)=\langle x,y\rangle+k\langle x,a\rangle\langle y,a\rangle} est-elle un produit scalaire ?