a) Montrer que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}.

b) Montrer que {f(P)=(X-a)(P'-P'(a))-2(P-P(a))}est un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]}.

Trouver son noyau et son image.

Calculer les dimensions de {A_n(\mathbb{K})} et {S_n(\mathbb{K})}, sous-espaces des matrices antisymétriques et symétriques de {M_n(\mathbb{K})}.

En déduire le déterminant de {u:M\mapsto M^T}.

a) Montrer que l’ensemble {F} des matrices dont {X} est vecteur propre est un sous-espace de {M_n(\mathbb{R})} ; donner sa dimension.

b) Même question pour un vecteur {X} quelconque non nul.

a) Montrer que {f\in\mathcal L(\mathbb{R}_n[X])}.

b) Si {P\in\ker f}, montrer que {\int_0^1PQ=0} pour tout {Q\in\mathbb{R}_n[X]}.

En déduire {\ker f=\left\{0\right\}}.

c) Donner sa matrice dans la base canonique.

Est-elle inversible ? diagonalisable ?

d) Donner un développement à deux termes de {\operatorname{tr}f}.

a) Donner un exemple où noyau et image ne sont pas supplémentaires.

b) Montrer que, si {f} est diagonalisable, ils sont supplémentaires.

Que dire de la réciproque ?

c) Montrer que {(\dim\ker f^k)_{k\geq0}} est croissante, qu’il existe {k_0} tel que {\ker f^k=\ker f^{k_0}} pour tout {k>k_0}, puis que {\ker f^{k_0}} et {\operatorname{Im}f^{k_0}} sont supplémentaires.

Soient {A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]1&0&1\\[4pt]1&1&1\\[4pt]3&2&1\end{pmatrix}} et {B=(1,2,3,4)^T}.

Donner le rang et une base de l’image de {A}, une équation de cette image, et décider si {B} lui appartient.

Pour {f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}}, montrer que la linéarité réelle équivaut à {f(z)=az+b\bar z}, avec un unique couple {a,b}.

Montrer que {f} est un projecteur si et seulement si {a^2+|b|^2=a}, {b(a+\bar a)=b}, puis caractériser les projecteurs différents de zéro et de l’identité par {\operatorname{Re}a=1/2}, {|a|=|b|}.

Si {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^4)} vérifie {f^2=0}, montrer que {\operatorname{rg}f\leq2}.

Donner la matrice canonique du projecteur sur {P=\left\{x+y+z=0\right\}} parallèlement à {D=\left\{x=y/2=z/3\right\}}.

Soit {u} nilpotent et {u^k(x)\ne0}.

Montrer que {(x,ux,\ldots,u^kx)} est libre.

Pour deux nilpotents non nuls {u,v} de {\mathbb{R}^n} qui commutent, montrer {\operatorname{rg}(uv)\lt \operatorname{rg}v}.

En déduire que le produit de {n} nilpotents commutant deux à deux est nul.

Sur {E} de dimension {n\geq1}, soient {p_1,\ldots,p_n} non nuls, avec {p_ip_j=\delta_{ij}p_i}.

Montrer que leurs images sont en somme directe et que chaque {p_i} a rang un.

Pour un endomorphisme {f} d’un espace fini, montrer {\operatorname{rg}f+\operatorname{rg}f^3\geq2\operatorname{rg}f^2}. Utiliser les restrictions à {\operatorname{Im}f} et {\operatorname{Im}f^2}.

Rappeler et démontrer la formule du rang pour {f\in\mathcal L(E)}, {\dim E=n}, puis montrer {\operatorname{rg}f+\operatorname{rg}g-n\leq\operatorname{rg}(fg) \leq\min(\operatorname{rg}f,\operatorname{rg}g)}.

Soit {E} réel de dimension finie et {f^2=-I}.

Montrer que sa dimension est paire, que {\operatorname{Vect}(x,fx)} est stable, puis construire une base {(e_1,fe_1,\ldots,e_n,fe_n)} si {\dim E=2n} et donner la matrice de {f}.

Soit {A\in\mathbb{R}_n[X]\setminus\left\{0\right\}}.

Montrer que le reste de la division par {A} définit un projecteur {f} sur {\mathbb{R}_n[X]}, et donner noyau et image. Pour {\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ}, caractériser l’orthogonalité de ce projecteur.

Pour {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3}, {g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2} linéaires, avec {\operatorname{rg}(fg)=2}, calculer leurs rangs.

a) Montrer {E=\ker p\oplus\operatorname{Im}p} par le lemme des noyaux.

b) Montrer que {up=pu} équivaut à la stabilité de ces deux espaces, puis relier rang et trace de {p}.

c) La décomposition {E=\ker f\oplus\operatorname{Im}f} impose-t-elle que {f} soit un projecteur ?

Montrer qu’en dimension finie {f} est projecteur exactement lorsque {\operatorname{rg}f+\operatorname{rg}(f-I)=\dim E}.

a) Calculer {u^2x} pour {x\in\operatorname{Im}u}.

b) Montrer que la restriction {v} à l’image est un isomorphisme.

c) Montrer que le rang de {u} est pair.

a) Montrer que {v} induit un endomorphisme sur {\operatorname{Im}u} et que {\operatorname{rg}(vu)\lt \operatorname{rg}u}.

a) Montrer que le produit de {n} matrices nilpotentes de taille {n}, commutant deux à deux, est nul.

Soit {A\in M_3(\mathbb{R})} telle que {A^2=0} et {A\ne0}.

Montrer qu’elle est semblable à {\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}.

1) Montrer {\mathbb{R}^3=\ker f\oplus\ker(f^2+\operatorname{id})}.

2) Pour {x\ne0} dans {\ker(f^2+\operatorname{id})}, montrer que {(x,f(x))} est libre.

3) Montrer qu’il existe une base où la matrice de {f} est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}}.

4) Construire {u\in\mathcal L(\mathbb{R}^3)} tel que {u^2=f}.

a) Montrer que {E=\operatorname{Im}p\oplus\operatorname{Im}q}.

b) Montrer que {p} et {q} sont des projecteurs.

a) Montrer que {\Phi} est un endomorphisme de {\mathbb{R}[X]}.

b) Montrer qu’il existe {k\in\mathbb{N}^\star} tel que {(X-a)^k} divise {\Phi(P)} pour tout {P}.

Trouver le plus grand entier {k} convenable.

c) Déterminer le noyau et l’image de {\Phi}.

Soient {p} un projecteur d’un espace vectoriel réel {E} et {u\in L(E)} tel que {u^n=\operatorname{id}}. On suppose {\operatorname{Im}p} stable par {u}.

Montrer que {q=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nu^kpu^{n-k}} est un projecteur dont le noyau est stable par {u}.

Soit {f} sur un espace euclidien {E} tel que {\lVert fx\rVert\le\lVert x\rVert}.

Si {x\in\ker(f-I)\cap\operatorname{Im}(f-I)}, écrire {x=fy-y}, exprimer {f^n(y)}, puis montrer {E=\ker(f-I)\oplus\operatorname{Im}(f-I)}.

a) Montrer que {b} est racine de {\Phi(P)} et déterminer sa multiplicité si {\Phi(P)\ne0}.

b) Déterminer {\ker\Phi}.

c) Déterminer {\operatorname{Im}\Phi}.

Soient {u\in L(E,F)}, {v\in L(F,G)} et {w=v\circ u}.

Montrer que {w} est un isomorphisme si et seulement si {u} est injectif, {v} surjectif et {F=\ker v\oplus\operatorname{Im}u}.

a) Montrer que pour {u\in\mathcal A}, il existe {n,p\in\mathbb{N}^\star} tels que {u^{n+p}=u^n}.

b) Pour {m\ge n}, montrer que {u^{m+kp}=u^m} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

c) Montrer que {\mathcal A} contient un projecteur.

a) Caractériser cette propriété à l’aide des coefficients de {P}.

b) Montrer que {\ker u=\ker u^2}.

c) Si {u} est nilpotent, montrer que {u=0}.

a) Montrer que c’est un produit scalaire.

b) Montrer que {E=\left\{P:P(1)=0\right\}} est un sous-espace et déterminer sa dimension.

c) Déterminer {d(1,E)}.

a) Montrer {\langle p(x),x\rangle=\lVert p(x)\rVert^2}.

b) Montrer {\sum\limits_{i=1}^n\lVert p(e_i)\rVert^2=\operatorname{rg}p}.

Soient {a\in\mathbb{C}} et {U\in\mathbb{C}[X]\setminus\left\{0\right\}}.

Pour {f(P)=P+P(a)U}, montrer que {f} est un endomorphisme de {\mathbb{C}[X]}, que {\ker f\subset\operatorname{Vect}U}, et que l’égalité a lieu exactement si {U(a)=-1}.

Que vaut le noyau sinon ?

1) Énoncer le théorème du rang.

2) Quelles hypothèses ajouter pour que, pour {u\in\mathcal L(E,F)}, « {u} injective si et seulement si {u} surjective » soit vrai ?

Donner des contre-exemples illustrant leur importance.

3) Montrer que ces hypothèses équivalent à : pour tout {u\in\mathcal L(E,F)}, {u} injective si et seulement si {u} surjective.

1) Montrer {\operatorname{Im}p\oplus\operatorname{Im}q=E}.

2) Montrer que {p,q} sont des projecteurs.

1) Si {u} est injectif, que dire de {I_k,K_k} ?

2) Montrer {I_{k+1}\subset I_k} et {K_k\subset K_{k+1}}.

3) Si {u} n’est pas injectif, montrer qu’il existe {p\in\left\{1,\ldots,n\right\}} tel que {I_{p+1}=I_p}, {K_{p+1}=K_p}.

Montrer ensuite {K_{p+k}=K_p} et {I_{k+p}=I_k} pour tout {k\geq0}.

En déduire {E=\ker u^p\oplus\operatorname{Im}u^p}.

1) Montrer {\operatorname{Im}a\subset\ker a}.

2) Donner une base de l’image et du noyau.

3) Montrer que {A} est semblable à {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}.

1) Caractériser cette condition par les coefficients de {P}.

2) Montrer {\ker u=\ker u^2}.

3) Si {u} est nilpotent, montrer {u=0}.

1) Montrer {E=\ker f\oplus^\perp\operatorname{Im}f}. Indication : considérer {\langle f(x+y),x+y\rangle}.

2) Montrer que la restriction {g} à l’image est un automorphisme de celle-ci.

3) Pour {\lambda\in\mathbb{R}^\star}, montrer que {g-\lambda I} est un automorphisme.

Soient {P} le plan {x-2y+3z=0} et {D=\operatorname{Vect}((2,2,1))}.

Montrer qu’ils sont supplémentaires.

Déterminer les matrices du projecteur sur {P} parallèlement à {D}, et de la symétrie correspondante.

Soient {E} de dimension {n} et {F_1,F_2} deux sous-espaces de dimension {n-1}.

Montrer qu’il existe {G} tel que {E=F_1\oplus G=F_2\oplus G}.

a) Si {f} est un projecteur, montrer que {\operatorname{rg}f=\operatorname{tr}f}.

b) Réciproquement, si {\operatorname{rg}f=\operatorname{tr}f=1}, montrer que {f} est un projecteur.

a) Montrer que {F} est un espace vectoriel.

Quelle est sa dimension ?

b) Pour quels réels {\lambda} a-t-on {\lambda A\in E} ?

c) Déterminer les éléments de {E}.

a) Donner un supplémentaire simple de {H}.

b) Montrer que toutes les matrices nilpotentes appartiennent à {H}.

c) Conclure qu’un tel {H} n’existe pas.

Soit {f} un endomorphisme d’un espace vectoriel {E}.

Montrer que {\ker f+\operatorname{Im}f=E} si et seulement si {\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}(f^2)}.

a) Montrer que {u} est inversible et déterminer son inverse.

b) Montrer que {\operatorname{Im}(u-\mathrm{id})\subset\ker(u-\mathrm{id})}.

Montrer que {1} est la seule valeur propre.

L’endomorphisme est-il diagonalisable ?

c) Pour deux projecteurs {f,g}, montrer que {fg=g} équivaut à {\operatorname{Im}g\subset\operatorname{Im}f}.

d) Soit {v\neq0} tel que {v^2=0}. Soit {p_1} le projecteur sur {\operatorname{Im}v} parallèlement à un supplémentaire {S}. Posons {q_1=p_1-v}.

Montrer que {q_1} est un projecteur et que {\operatorname{Im}q_1=\operatorname{Im}p_1}.

e) Montrer qu’il existe deux projecteurs {p,q} tels que {u=p+q} et {\operatorname{Im}p=\ker q}.

Soit {f(P)=P(1-X)} sur {\mathbb{R}[X]}.

Déterminer son noyau et son image, puis montrer {\mathbb{R}[X]=\ker(f+I)\oplus\ker(f-I)}. Indication : calculer {f^2}.

Soit {\Gamma_k(A)=\left\{M\in M_n(\mathbb{C}):A^kM=A^{k-1}M\right\}}.

Montrer que c’est un sous-espace. Pour {A=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}, déterminer {\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3}.

Montrer {A} inversible si et seulement si {\Gamma_1=\Gamma_2}.

Pour {u_k=\dim\Gamma_k}, montrer que {(u_k)} est croissante et que {\min\left\{k\ge1:u_k=u_{k+1}\right\}} existe et vaut deux.

Soit {U\in M_{n,1}(\mathbb{R})} dont toutes les composantes valent un.

Pour {\varphi(X,Y)=XU^T+UY^T}, donner les dimensions des espaces de départ et d’arrivée, montrer la linéarité et déterminer le rang.

Soit {u} un endomorphisme d’un espace de dimension finie.

Montrer {E=\operatorname{Im}u\oplus\ker u} si et seulement si {\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2}.

a) Montrer {\operatorname{Im}f\subset\operatorname{Im}f^2}.

b) Montrer {\ker(f^2+I)\subset\ker f} et {\operatorname{Im}f\subset\ker(f^2+I)}.

c) Montrer l’égalité des images et {\ker f=\ker f^2}.

d) Montrer la stabilité de l’image et que la restriction {g} y vérifie {g^2=-I}.

e) Montrer que le rang est pair et que {\operatorname{Im}f\oplus\ker f=\mathbb{R}^3}.

f) Trouver une base où la matrice est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}.

a) Soit {A=\begin{pmatrix}1&0&1\\[4pt]0&1&1\\[4pt]1&-1&0\end{pmatrix}}, d’endomorphisme associé {f}.

i) Donner bases et dimensions du noyau et de l’image.

ii) Montrer leur somme directe égale à {\mathbb{R}^3}.

iii) Montrer que {X(X-1)^2} annule {f}.

b) Pour {u\in L(\mathbb{R}^n)} non injectif avec {\operatorname{Im}u\oplus\ker u=\mathbb{R}^n},

i) montrer qu’une base donne la matrice {\operatorname{diag}(S,0)} avec {S\in GL_r(\mathbb{R})} ;

ii) montrer {\chi_S(0)\ne0} et que {X\chi_S(X)} annule {u}.

c) Réciproquement, si {P(0)\ne0} et {XP(X)} annule {u},

i) montrer {\ker u\cap\ker P(u)=\left\{0\right\}} ;

ii) montrer {\operatorname{Im}u=\ker P(u)} puis la décomposition directe.

a) Montrer {\varphi\in L(E)}.

b) Déterminer son image et son noyau.

a) Montrer {\langle\varphi(x),y\rangle=-\langle x,\varphi(y)\rangle}.

b) Montrer {(\ker\varphi)^\perp=\operatorname{Im}\varphi}.

a) Calculer ces expressions pour {x\in\ker(u-I)} puis {x\in\operatorname{Im}(u-I)}.

b) Discuter leur convergence suivant les propriétés spectrales de {u}.

c) Cas où {u} est nilpotent ?

Soit {A\in M_4(\mathbb{C})} de rang deux telle que {A^2=0}.

Montrer {\operatorname{Im}A=\ker A} et que {A} est semblable à {\operatorname{diag}(J_2,J_2)}, avec {J_2=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}.