Montrer que {A-B} et {A+B} sont inversibles.

Donner le rang et la valeur de {BA}.

b) résoudre {M(x,y,z)^{\mathsf T}=(2-m,1,m-2)^{\mathsf T}}.

b) Si {X^2+X=A}, poser {\Delta=P^{-1}XP}, calculer {\Delta^2+\Delta}, montrer la commutation avec {D} puis que {\Delta} est diagonale.

c) Résoudre l’équation réelle.

b) Pour {M,N} orthogonales, montrer {\operatorname{tr}(M^{\mathsf T}N)\le n}.

c) Pour {A,B} symétriques, montrer {\operatorname{tr}((AB)^2)\le\operatorname{tr}(A^2B^2)} et {\operatorname{tr}((AB+BA)^2)\le4\sqrt{\operatorname{tr}(A^4)\operatorname{tr}(B^4)}}.

2) Si {F(A,M)=0} pour tout {M}, montrer que {A=0}.

3) Si {u} est un endomorphisme et si une application {v} vérifie {F(u(A),B)=F(A,v(B))} pour tous {A,B}, montrer que {v} est linéaire.

4) {F} est-elle un produit scalaire ?

(i) Montrer qu’elle est semblable à une matrice {A'} de première colonne nulle.

(ii) Montrer qu’il existe {i,j} tels que {A'E_{ij}=E_{ij}A'=0}.

(iii) En déduire l’existence de {B\ne0} telle que {AB=BA=0}.

2) Pour {M=E_{12}+E_{23}}, déterminer son projeté orthogonal sur {S_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {I-A} est inversible et donner son inverse.

Si {P(0)=0}, montrer que {I+P(A)} est inversible.

i) Pour {a=b=c=1}, montrer que {(e_1,f(e_1))} est une base et donner la matrice de {f}.

ii) Même question pour {c\ne0} ; montrer que la diagonale est nulle.

i) Montrer {\lambda_{e_1+e_2}=\lambda_{e_1}=\lambda_{e_2}}.

ii) Montrer que {g} est une homothétie.

i) Montrer qu’il existe {x} tel que {(x,g(x))} soit libre.

ii) Montrer que {B} est semblable à {\begin{pmatrix}0&\alpha&\beta\\[4pt]1&a&b\\[4pt]0&c&-a\end{pmatrix}}.

iii) Montrer qu’elle est semblable à une matrice de diagonale nulle.